巧換元，妙解題

呂相紅

換元法的應用原理是等量代換，即把一個式子或者其中的某一部分看成一個整體，用一個變量去代替它，從而達到化簡式子的目的.在解題時，需根據實際情況選擇合適的代數式，靈活進行換元，可以化簡代數式，轉換解題的思路.下面談一談兩種常用的換元技巧.

一、三角換元

三角換元是將變量用三角函數替換的方法.當遇到形如 a2 + b2 = r2 的代數式時，可將其與三角函數關系式 sin2 x + cos2 x = 1進行類比，令 a = r sin x ，b = r cos x ，通過等量代換將問題轉化為三角函數問題，利用三角函數的基本公式、性質、圖象解題.在換元的過程中要關注自變量和角度 x 的取值范圍.

例1.已知 a2 + b2 = 1，x2 + y2 = 1，求證：ax + by ≤ 1.

證明：因為 a2 + b2 = 1，x2 + y2 = 1，

所以設 a = sin α ，b = cos α ，x = sin β ，y = cos β ，

所以 b = cos α ，x = sin β ，y = cos β ，

那么 ax + by = sin α sin β + cos α cos β = cos（α - β） ≤ 1 .

我們先將已知條件和所求目標關聯起來，發現需要分別求得 a、b、x、y ，于是根據 a2 + b2 = 1 ， x2 + y2 = 1 的結構特征，進行三角換元，將目標式轉化為三角函數式，根據兩角和公式將其化簡為余弦函數，再利用余弦函數的有界性證明不等式成立.

二、均值換元

均值換元是指將兩個變量用其平均值和一個新元表示出來，以實現換元. 若 x + y = 2S ，則可設x2 + y2 = 1，其中 S 是x，y的平均值，t 是新元.這樣便將變量用新元 t 替換，從而達到減少一個元的目的，使問題變得簡單.

例 2.如果 （z - x）2 - 4（x - y）（y - z）= 0， 求證：x，y，z成等差數列.

證明：設 x - y = a ，y - z = b ，則 x - z = a + b ，可得 （a + b）2 - 4ab = 0 ，

所以 （a - b）2 = 0 ，解得 a = b ，將 x - y = a，y - z = b代入（z - x）2 - 4（x - y）（y - z）= 0 ，

可得 x - y = y - z ，

所以 x，y，z 成等差數列.

解答本題，需先仔細觀察已知關系式的特征，明確 x - y 、y - z 、z - x 可輪換的特點，然后通過均值換元將目標式化簡，從而明確 x，y，z 之間的關系.

例3.已知△ABC 的內角 A，B，C 成等差數列，且其對邊a，b，c滿足 2b2 = 3ac ，求角 A .

解：因為△ABC 的內角 A，B，C 成等差數列，

所以ìí?A + B + C = 180°， 2B = A + C，

可得 b = 60° ，A + C = 120°.

因為 2b2 = 3ac ，

所以由正弦定理可得 2 sin2B = 3 sin A sinC，得 sin A sinC = 12 ，設ìí?A = 60° + α， C = 60° - α，

其中 -60° < α < 60° ，

所以 sin（60° + α）sin（60° - α）= 12 ，

可得 cos2α = 34，解得 cos α = ± 23 ，

所以 a = ±30° ，可得 A = 90° 或 A = 30°.

在解答本題時，我們需先利用三角形的內角和為180o的性質以及正弦定理建立三個角之間的關系式，然后根據 A + C = 120° 這一關系進行均值換元，建立關于 α 的關系式，求得 α 的值，即可求得角 A 的大小.

換元法在解答高中數學問題中應用廣泛，但在實際應用的時候要注意幾個問題，如，是否選擇合適的代數式進行換元，是否考慮變量的取值范圍，新元的取值范圍是否滿足題意，換元后的代數式該如何處理等.只有處理好了這些問題，才能巧妙地運用換元法破解難題.

（作者單位：江蘇省濱海縣八灘中學）