“三招”破解導函數零點不可求問題

葛松

在導數問題中經常會出現一類導函數的零點不可求的問題.此類問題一般較為復雜，由于導函數的零點不可求，我們很難根據導函數的零點確定函數的單調區間，判斷出函數的單調性，求得函數的極值.當零點不可求時，很多同學往往不知所措.下面，筆者介紹三個破解導函數零點不可求問題的“妙招”.

一、多次求導

在導函數的零點不可求出時，可對導函數再一次進行求導，討論二階、三階導函數的解析式及其性質.在解題時，同學們要勇于嘗試，通過再次或多次求導，逐步判斷出函數的增減性，求得函數的最值，獲得問題的答案.

例1 .已知函數 f x=x（ex -1）-ax2，當 x ≥0時，f x≥0，求 a 的取值范圍.

解：

解答本題，一共進行了三次求導，使得最后一階的導數變得簡單，這樣便能夠用后一階導函數的正負來判斷前一階函數的增減性，使問題順利得解.

二、設而不求

當導函數的零點不可求時，也可以通過設而不求的方法來解題.先設出零點，將其看作已知的值，把函數的定義域劃分為幾個單調區間，在每個單調區間上討論函數的單調性，求得函數的極值、最值.

例2.

解：

本題中求導后的函數為超越式方程，其零點存在，但零點不可求，于是設出零點x0，并確定其范圍，然后根據導函數與函數單調性之間的關系確定函數的單調區間，確定函數的最小值點為x0，建立關于x0 的不等式，即可求得 t 的最值.

三、采用放縮法

既然導函數的零點不可求，我們不妨轉換解題的思路，不用導數法，而是運用放縮法來解題.在解題時，可根據一些重要的不等式結論，如 ex ≥1 +x、lnx +1≤x、（1+x）n ≥1 +nx（n ≥1，n ∈ N）等來對函數式進行合理放縮.一般在這些重要不等式取等號時，函數式取得最值.

例3 .

證明：

解答本題的關鍵是根據重要不等式ex ≥1 +x，將目標不等式進行放縮，然后運用不等式的傳遞性證明結論.

雖然導函數的零點不可求問題很難處理，但是我們只要仔細研究導函數，對其進行多次求導，設出零點，合理進行代換;對函數式進行合理放縮，就能順利解題.此類問題的運算量較大，同學們在解題的過程中要謹慎計算，避免出錯.

（作者單位：安徽省潁上第一中學）