丟番圖方程的算法研究及其推廣

司 標，龐曉麗

（保定學院 數據科學與軟件工程學院，河北 保定 071000）

丟番圖方程即不定方程，通過改變方程中未知元的個數以及元的次數而得到不同的答案，是由古希臘丟番圖所命名，內容主要是：當丟番圖方程的元、次數不同時，探討各個元的整數解或有理數解，在對大量的不定方程研究之后，給出了方程的特殊解.中國古代也有不定方程的相關研究，比如孫子定理.近現代，對于丟番圖方程中橢圓曲線方程的研究推動了密碼學的發展.

丟番圖方程形式眾多，如二元多次不定方程（例如Pell方程）、三元二次不定方程（解為勾股數）、三元n次不定方程（即費馬大定理）；在數學史上很多有趣的題目中也蘊含著丟番圖方程，如勾股數、四平方數和定理、丟番圖生平等.本文主要研究二元不定方程Pell方程：x3±a=Dy2.

對于Pell方程x3±1=Dy2（D＞0，因子無平方數，且模6不為1），Nagell證明了當僅模6為5時，方程x3±1=Dy2除平凡解：x=-1，y=0，再無其他解，而之后Ljunggren又給出了此方程只有一組整數解的證明，但兩人的證明方法復雜，并不是用的初等方法，在1952年Ljunggren用初等解法給出了x3±1=2y2的解[1].

20世紀80年代，柯召、孫琦研究了方程x3±1=Dy2，D＞6，因子無平方數，且因子模6不為1時，除平凡解外，所有的非平凡整數解均已解決[2]，曹玉書在1988年給出了x3±27=Dy2，D＞0，因子無平方數，且模6不為1，何時有解，并求所有非平凡整數解[3].

本文用另外一種證明方法給出x3±27=Dy2所有非平凡整數解，并給出x3±729=Dy2的所有非平凡整數解.

1 引理和結論

此引理為引用柯召給出x3±1=Dy2（D＞0，因子無平方數，且因子模6不為1）的所有解的結果，方便證明中應用

本文給出了

的全部非平凡整數解，這里D＞0，因子無平方數，且因子模6不為1.

1.1 引理[1-2]

引理 1[2]方程（1），D 不是 2或 3的倍數，整數解：x=-1，y=0；x=0，y=1；x=2，y=3.

引理 2[2]方程（1），D 為 2 的倍數，整數解：x=-1，y=0；x=0，y=1；x=23，y=78.

引理3[2]方程（1），D為3的倍數，整數解：x=-1，y=0.

引理 4[2]方程（1＇）整數解：x=1，y=0.

1.2 結論

以下定理為本文得出的結論，即式（2）（2＇）（3）（3＇）的所有非平凡整數解

定理 1 方程（2）的非平凡整數解：當 D=3 時，x=0，y=3；當 D=6 時，x=3，y=3；當 D=6 時，x=69，y=234；當 D=11 時，x=8，y=7.

定理2 方程（2＇）的非平凡整數解：D=2時，x=5，y=7.

定理 3[4]方程（3）的非平凡整數解：當時 D=33 時，x=24，y=21；當 D=1 時，x=0，y=27；當 D=1 時，x=18，y=81；當 D=2 時，x=9，y=27；當 D=2 時，x=207，y=2 106；當 D=74 時，x=65，y=61.

定理 4[4]方程（3＇）的非平凡整數解：當 D=47 時，x=56，y=61；當 D=6 時，x=15，y=21.

2 定理證明

2.1 定理1證明

1）若3整除x

a）當 3 不整除 D 時，可令 x=3x1，y=9y1，則（2）式變為，化簡為：，由引理3得該方程無非平凡整數解.

b）當 3 整除 D 時，可令 x=3x1，y=3y1，D=3D1，則（2）式變為，化簡為：

由引理 1[2]和引理 2[2]知，方程（4）恰有 4 組非平凡整數解：（D1，x1，y1）=（1，0，1），（1，2，3），（2，1，1），（2，23，78），所以（2）有 4 組解：當 D=3 時，x=0，y=3；當 D=6 時，x=3，y=3；當 D=6 時，x=69，y=234.

2）若 3不整除 x時，則（2）式可化為

易知（x+3）與（x2-3x+9）互素，且 3不整除（x2-3x+9），由（5）式知必存在二正整數 a、b滿足 a、b互素，且

由（5＇）式得

從而得到：

又由于 D＞0，3 不整除 b，知（6＇）式中的 i只能等于 0 或 3，于是得到：b=7，Da2=11，D=11，a=1，x=Da2-3=8，y=ab=7，所以方程（2）有一組解：當 D=11時，x=8，y=7，定理 1證完.

2.2定理2證明

1）若3整除x

a）當 3 不整除 D 時，可令 x=3x1，y=9y1，則（2＇）式變為，化簡為：，由引理4[2]得該方程無非平凡整數解.

b）當 3 整除 D 時，可令 x=3x1，y=3y1，D=3D1，則（2＇）式變為，化簡為，由引理4[2]得該方程無非平凡整數解.

2）若 3 不整除 x時，則（2＇）式可化為

易知（x-3）與（x2+3x+9）互素，且 3不整除（x2+3x+9），由（7）式知必存在二正整數 a、b滿足 a、b互素，且

由（7＇）式得

從而得到：

又由于 D＞0，3 不整除 b，知（8＇）式中的 i只能等于 0 或 3，于是得到：b=7，Da2=2，D=2，a=1，x=Da2+3=5，y=ab=7，所以方程（2＇）有一組解：當 D=2 時，x=5，y=7；定理 2 證完.

2.3 定理4證明

1）若3整除x

a）當 3 不整除 D 時，可令 x=3x1，y=9y1，則（3＇）式變為，化簡為：，再令x1=3x2，y1=3y2，帶入得：，化簡得：，由引理 4[2]知，方程無非平凡整數解.

b）當 3 整除 D 時，可令 x=3x1，y=3y1，D=3D1，則（3＇）式變為，化簡為：

由定理 2 知，方程（9）恰有一組解：（D1，x1，y1）=（2，5，7），所以（3＇）有一組解：當 D=6 時，x=15，y=21.

2）若 3 不整除 x時，則（3＇）式可化為

易知（x-9）與（x2+9x+81）互素，且 3不整除（x2+9x+81），由（10）式知必存在二正整數 a、b滿足 a、b互素，且

由（10＇）式得

從而得到：

又由于 D＞0，3 不整除 b，知（11＇）式中的 i只能等于 0 或 5，于是得到：b=61，Da2=47，D=47，a=1，x=Da2+9=56，y=ab=61，所以方程（3＇）有一組解：當 D=47 時，x=56，y=61；定理 4 證完.

定理3同定理1類似，略.

本文給出了丟番圖方程中一類方程的一種特殊解，丟番圖方程是在整系數下求出整數解，因為沒有特定方法，求一般解比較困難，對于Pell方程x3±a=Dy2中，本文給出a為3的0次方，3的三次方以及3的六次方的三種情況，求出非平凡整數解，完善了丟番圖方程.