克羅內克積的特征向量

孫云歡 ，白紅信

（1.保定學院 數據科學與軟件工程學院，河北 保定 071000；2.北京工業大學 理學部，北京 100124）

矩陣的克羅內克積是一種特殊的矩陣乘積運算.矩陣的克羅內克積不受普通矩陣乘積對行數和列數的影響，它是任意大小的兩個矩陣間的運算，雖然其運算較普通矩陣繁瑣，并沒有被充分、廣泛地了解，但是在矩陣理論中具有廣泛的應用，比如對于求解矩陣方程[1]具有很大的幫助，而且在其他領域中也有非常廣泛的應用，比如電信技術[2]、信息處理、圖像處理[3]等.

本文著重探究矩陣克羅內克積的特征向量，以克羅內克積基本運算性質為基礎，利用矩陣理論的可對角化矩陣和相似矩陣作為橋梁，對一般矩陣的克羅內克積的特征向量進行探究，為人們更好地理解克羅內克積奠定基礎.

1 預備知識

1.1 定義

定義2[5]設矩陣A、B為數域P上的2個n階矩陣，若存在可逆矩陣Q，使得Q-1AQ=B，則稱矩陣A與矩陣B相似，記作A≈B.

1.2 引理

引理2[6]設存在可逆矩陣Q，滿足Q-1AQ=B，μ是A與B的一個特征值.若β是矩陣B的屬于特征值μ的一個特征向量，則Qβ是矩陣A的屬于特征值μ的一個特征向量.

引理3[6]2個相似矩陣屬于同一特征值的特征子空間同構.

2 矩陣的克羅內克積的特征向量

設矩陣A、B，已知矩陣A、B的特征向量，下面探究矩陣A、B的克羅內克積A?B的特征向量的表示形式.

2.1 可對角化矩陣的克羅內克積的特征向量

定理1 設矩陣A為n階方陣，矩陣B為m階方陣，且A、B為可對角化矩陣.設λ1、λ2、…、λn為矩陣A的特征值，μ1、μ2、…、μm為矩陣B的特征值，A的屬于特征值λi的特征向量為αi（i=1，2，…，n），B的屬于特征值μj的特征向量為βj（j=1，2，…，m），且α1、α2、…、αn線性無關，β1、β2、…、βm線性無關.則A?B的特征向量為

證明 由于 A、B 為可對角化矩陣，則存在可逆矩陣 T=（α1，α2，…，αn），P=（β1，β2，…，βm）使得

且有（T-1AT）?（P-1BP）=（T-1?P-1）（A?B）（T?P）=（T?P）-1（A?B）（T?P），且A?B也是可對角化矩陣，T?P為可逆矩陣，由A?B的特征向量構成.

所以A?B的特征向量為

2.2 不可對角化矩陣的克羅內克積的特征向量

下面探究考慮當矩陣A、B為不可對角化矩陣且只有一個特征值的情形.

在線性空間的一組基下，線性空間中的每一個線性變換都與Pn×n中矩陣唯一對應.設線性變換V1在一組基 ε1、ε2、…、εn下的矩陣為 A，線性變換 V2在一組基 δ1、δ2、…、δn下的矩陣為 B，線性變換 V 在基 η1、η2、…、ηn2下的矩陣為A?B，又每個n級的復數矩陣A都與一個若爾當形矩陣相似.設n階矩陣A、B為不可對角化矩陣且只有一個特征值.

2.2.1 命題

證明 可以計算得知矩陣M2的特征向量在基ε1、ε2下的坐標為e1=（0，1）T，N2的特征向量在基δ1、δ2下的坐標為 e1=（0，1）T.

令 P=M2?N2.

我們知道矩陣A?B的特征值為λμ，且相似矩陣有相同的特征值，則P=M2?N2的特征值也為λμ.設矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、η3、η4下的坐標為 X=（x1，x2，x3，x4）T.

1）若 λ=μ=0，則 x1=0，x2、x3、x4為任意常數.故矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、η3、η4下的坐標為（0，0，0，1）T，（0，1，0，0）T，即特征向量在基 η1，η2，η3，η4下的坐標為 e1?e1，e1?e2，e2?e1.

2）若 λ=0，μ≠0，則 x1=0，x2=0，x3、x4為任意常數.故矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、η3、η4下的坐標為（0，0，0，1）T、（0，0，1，0）T，即特征向量在基 η1、η2、η3、η4下的坐標為 e1?e1，e1?e2.

3）若 λ≠0，μ=0，則 x1=0，x3=0，x2、x4為任意常數.故矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、η3、η4下的坐標為（0，0，0，1）T、（0，1，0，0）T，即特征向量在基 η1、η2、η3、η4下的坐標為 e1?e1，e2?e1.

證明 令P=M3?N3.

我們知道矩陣 M3、N3的特征向量分別在基 ε1、ε2、ε3和基 δ1、δ2、δ3下的坐標都是 e1，矩陣 P 的特征值為 λμ，設特征向量在基 η1、η2、…、η9下的坐標為 X=（x1，x2，…，x9）T.

1）若 λ=μ=0，矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、η9下的坐標為

e1?e1，e1?e2，e1?e3，e2?e1，e3?e1；

2）若 λ=0，μ≠0，矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、η9下的坐標為

e1?e1，e1?e2，e1?e3；

3）若 λ≠0，μ=0，矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、η9下的坐標為

e1?e1，e2?e1，e3?e1；

4）若 λ≠0，μ≠0，矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、η9下的坐標為

2.2.2 例題

例題1 考慮n階矩陣A、B，設

求解矩陣A?B的特征向量.

解 令矩陣P=Mn?Nn.

矩陣 Mn、Nn分別在基 ε1、ε2、…、εn和基 δ1、δ2、…、δn下的坐標都為 e1，矩陣 P 的特征值為 λμ，設 P在基 η1、η2、…、ηn2下的坐標為 X=（x1，x2，…，xn2）T，則由歸納法得：

1）當 λ=μ=0 時，矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、ηn2下的坐標為 e1?e1，e1?e2，…，e1?en，en?e1，en-1?e1，…，e2?e1，共有 2n-1 個特征向量.

2）當 λ=0，μ≠0 時，矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、ηn2下的坐標為 e1?e1，e1?e2，…，e1?en，共有n個特征向量.

3）當 λ≠0，μ=0 時，矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、ηn2下的坐標為 e1?e1，e2?e1，…，en?e1，共有n個特征向量.

4）當 λ≠0，μ≠0 時，矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、ηn2下的坐標為

所以矩陣P的特征向量共有n個，可以給上述自由未知量賦n組值，令分別為（1，0，0，…，0），（0，1，0，…，0），（0，0，1，…，0），…，（0，0，0，…，1，0），（0，0，0，…，1）.

于是便得到矩陣P的特征向量，其中一個特征向量在基下的坐標為e1?e1.

我們得知了2個若爾當形矩陣的克羅內克積的特征向量，因為矩陣A、B分別和若爾當形矩陣相似，即A≈Mn，B≈Nn.故存在數域P上的可逆矩陣Q1和Q2，使得數域P上的矩陣A、B滿足

我們已經知道了矩陣Mn?Nn的特征向量，并記特征向量為β，且

由引理2，則（Q1?Q2）β是A?B屬于特征值λμ的一個特征向量.

這樣我們就求得了矩陣A?B的特征向量.

3 結論

1）當2個矩陣都為可對角化矩陣時，這兩個矩陣的克羅內克積的特征向量就是它們的特征向量分別作克羅內克積.

2）當2個矩陣為不可對角化矩陣時，它們的特征向量分別作克羅內克積一定是它們的克羅內克積的特征向量.若這2個矩陣都為n階矩陣，可分為3種情況：如果這2個矩陣的特征值都為0，則它們的克羅內克積的特征向量共有2n-1個；如果這2個矩陣的特征值其中一個為0，另一個不為0，則它們的克羅內克積的特征向量共有n個；如果這2個矩陣的特征值都不為0，則它們的克羅內克積的特征向量共有n個.

本文只研究了2個可對角化矩陣的克羅內克積的特征向量和2個不可對角化且只有一個特征值的矩陣的克羅內克積的特征向量，對于不可對角化有多個特征值的矩陣的克羅內克積的特征向量還有待進一步研究.