基于非線性容量負(fù)載模型下電網(wǎng)的級聯(lián)故障分析

高潔，馬杰，楊麗新

(陜西科技大學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，西安 710021)

級聯(lián)失效是一種常見于基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)中的傳播擴(kuò)散現(xiàn)象。網(wǎng)絡(luò)中突發(fā)的自然災(zāi)害或人為破壞會引起多個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)故障，進(jìn)一步導(dǎo)致整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的崩潰。近年來，美國紐約的多次大規(guī)模停電事件,對生產(chǎn)生活造成極大損失。因此分析電網(wǎng)的級聯(lián)失效規(guī)律，構(gòu)建有效的模型，具有實(shí)際意義。Motter等[1]提出了被廣泛使用的經(jīng)典容量負(fù)載模型。Kim等[2]通過對不同實(shí)際網(wǎng)絡(luò)探究發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)中較小容量的節(jié)點(diǎn)反而有較大比例的剩余容量，表明負(fù)載與容量不具有線性關(guān)系。Wang等[3]提出了一個(gè)加權(quán)級聯(lián)失效模型，定義連邊權(quán)重為兩端節(jié)點(diǎn)的冪函數(shù)。崔文巖等[4]基于網(wǎng)絡(luò)的度和介數(shù)提出的加權(quán)模型，有效地提高了網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。劉軍[5]提出了時(shí)變負(fù)載的級聯(lián)失效模型。謝本凱等[6]改變節(jié)點(diǎn)狀態(tài)探究級聯(lián)失效。丁明等[7]將電氣特征引入電網(wǎng)的級聯(lián)故障模型中，發(fā)現(xiàn)小世界電網(wǎng)脆弱性很難由外部環(huán)境改變。王文波[8]將電氣介數(shù)指標(biāo)融入級聯(lián)故障模型。王文韜[9]將級聯(lián)故障深入耦合電網(wǎng)。但目前大多數(shù)關(guān)于電網(wǎng)的級聯(lián)故障研究沒有考慮電網(wǎng)實(shí)際的電氣特征，具有一定的局限性。

現(xiàn)基于非線性級聯(lián)失效模型，通過構(gòu)建具有電氣特征的加權(quán)網(wǎng)絡(luò)和一般無權(quán)網(wǎng)絡(luò)來探究IEEE118系統(tǒng)面對不同攻擊策略的魯棒性表現(xiàn)，分析網(wǎng)絡(luò)對級聯(lián)故障的抗毀性。

1 構(gòu)建IEEE118網(wǎng)絡(luò)非線性容量負(fù)載模型

無權(quán)電網(wǎng)用G={V,E,A}表示。其中V為節(jié)點(diǎn)集,E為邊集，A為鄰接矩陣，表達(dá)式為

(1)

節(jié)點(diǎn)表示電網(wǎng)中的發(fā)動機(jī)、負(fù)荷、變壓器等,邊是電網(wǎng)中傳輸線路。但是由于電網(wǎng)中節(jié)點(diǎn)的異質(zhì)性(不同類的節(jié)點(diǎn)設(shè)備)，不同設(shè)備有不同的電氣特征[10]。為了更好地在網(wǎng)絡(luò)中表達(dá)不同設(shè)備自身的信息,采用線路導(dǎo)納的標(biāo)幺值作為邊的權(quán)值,線路的導(dǎo)納決定了電網(wǎng)的潮流分布，從而體現(xiàn)不同節(jié)點(diǎn)間的連接強(qiáng)度。加權(quán)電網(wǎng)用G={V,E,Z}表示。加權(quán)矩陣為Z，表達(dá)式為

(2)

式(2)中：ωij為電路的導(dǎo)納標(biāo)幺值。

無權(quán)網(wǎng)絡(luò)中的鄰接矩陣單純描述點(diǎn)邊之間的物理連接關(guān)系，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)引入電網(wǎng)的電氣特征來描述電網(wǎng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，能更好地刻畫電網(wǎng)。

1.1 兩種網(wǎng)絡(luò)特征刻畫

1.1.1 度與權(quán)的差別

無權(quán)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)i的度定義為鄰居節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即

(3)

加權(quán)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)i的強(qiáng)度[11](即權(quán)si)與度類似，公式為

(4)

1.1.2 節(jié)點(diǎn)間最短距離

在加權(quán)網(wǎng)絡(luò)中，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑dij定義為相異權(quán)矩陣中節(jié)點(diǎn)(i,j)間邊權(quán)值ωij的倒數(shù)

dij=1/ωij

(5)

則節(jié)點(diǎn)(i,k)間的最短路徑為

(6)

相似權(quán)矩陣則相反，即

dij=ωij

(7)

節(jié)點(diǎn)(i,k)間的最短路徑[12]為

dik=ωij+ωjk

(8)

1.1.3 兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涮卣鲗Ρ?/p>

表1為兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涮卣鲗Ρ龋梢钥闯觯訖?quán)IEEE118電網(wǎng)具有更小的平均路徑長度，更大的聚類系數(shù)，小世界網(wǎng)絡(luò)特征更為顯著，更符合電網(wǎng)的實(shí)際情況。

表1 兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涮卣鲗Ρ?/p>

1.2 構(gòu)建非線性容量負(fù)載模型

1.2.1 加權(quán)電網(wǎng)的級聯(lián)失效模型

(1)初始負(fù)荷。加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)負(fù)載表示為

(9)

式(9)中：Γi為節(jié)點(diǎn)i的鄰居節(jié)點(diǎn)的集合；γ為負(fù)載參數(shù)，γ>0。

(2)非線性模型節(jié)點(diǎn)容量Ci。

(10)

式(10)中：α、β為容量參數(shù)。節(jié)點(diǎn)的容量并不是沒有上限，令α∈[0,1],β≥0。

(3)負(fù)載重分配策略。當(dāng)節(jié)點(diǎn)i失效后，鄰居節(jié)點(diǎn)j按照自身剩余容量接收負(fù)荷的比例為

(11)

則此時(shí)節(jié)點(diǎn)j接收節(jié)點(diǎn)i的額外負(fù)荷為

(12)

1.2.2 無權(quán)電網(wǎng)的級聯(lián)失效模型

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中所有連邊的權(quán)重都相等時(shí)si=ki，即為無權(quán)電網(wǎng)，ki為節(jié)點(diǎn)i的度值。無權(quán)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)負(fù)載公式為

(13)

容量與負(fù)載重分配同上述加權(quán)電網(wǎng)模型。

1.2.3 測度

網(wǎng)絡(luò)最大連通比例為

G=N′/N

(14)

式(14)中:N′和N分別為級聯(lián)前后最大連通子圖的節(jié)點(diǎn)數(shù)目。

網(wǎng)絡(luò)效率的計(jì)算公式為

(15)

式(15)中:dij為節(jié)點(diǎn)i,j間的最短路徑長度。

1.3 模型的理論分析

節(jié)點(diǎn)i失效后，節(jié)點(diǎn)負(fù)載會轉(zhuǎn)移到鄰居節(jié)點(diǎn)。當(dāng)Lj+ΔLij>Cj時(shí)，鄰居節(jié)點(diǎn)j也會失效，它的負(fù)荷也會進(jìn)一步分配給鄰居節(jié)點(diǎn)，可能會引發(fā)相鄰節(jié)點(diǎn)的失效，形成級聯(lián)故障。只有當(dāng)Lj+ΔLij≤Cj,此時(shí)節(jié)點(diǎn)j不會失效，級聯(lián)故障中斷。容量參數(shù)α的閾值α*是避免網(wǎng)絡(luò)失效的最小值，α*越小網(wǎng)絡(luò)對級聯(lián)失效的抗毀性更強(qiáng)[13]。

為了避免級聯(lián)失效，必須滿足以下不等式

Lj+ΔLij≤Cj

(16)

將初始負(fù)載、容量、重分配公式代入可得

(17)

定義P(s′|si)是權(quán)為si節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)為s′的條件概率，由貝葉斯公式可得

(18)

由于加權(quán)網(wǎng)絡(luò)由電氣特征構(gòu)建，節(jié)點(diǎn)間不具有相關(guān)性，則條件概率

P(s′|si)=s′P(s′)/〈s〉

(19)

將其代入式(17)可得

(20)

由此可知，參數(shù)α的閾值為

(21)

令

(22)

則求α*的最小值即轉(zhuǎn)化為求Z的Zmin。

對式(22)中β求導(dǎo)可得

(23)

由于β≥0，故Z′(β)<0恒成立，Z(β)為單調(diào)減函數(shù)。故β越大越易取得Zmin，α*越小。

對式(22)的γ求導(dǎo)可得

(24)

由式(24)可知，當(dāng)β>1時(shí)，Z′(γ)<0，Z(γ)為單調(diào)減函數(shù)，故γ越大越易取得Zmin，α*越小。當(dāng)0<β<1時(shí)，Z′(γ)>0,故Z(γ)為單調(diào)增函數(shù)，故γ越小越易取得Zmin，α*越小。

綜上可得，當(dāng)β>1時(shí)，更大的γ,β有更小的α*；但當(dāng)0<β<1時(shí)，更小的γ,更大的β有更小的α*，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)對級聯(lián)失效的抗毀性更強(qiáng)。

2 探究容量參數(shù)對網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響

2.1 參數(shù)α對兩種IEEE118網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響

容量參數(shù)α越大，需要的網(wǎng)絡(luò)線路成本越高。為了探究α對加權(quán)IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和無權(quán)IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)魯棒性的影響，基于級聯(lián)失效模型分別攻擊無權(quán)網(wǎng)絡(luò)和加權(quán)網(wǎng)絡(luò)。令α∈[0,1],β=1，γ=0.3。對兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)攻擊10個(gè)節(jié)點(diǎn)，計(jì)算級聯(lián)故障后網(wǎng)絡(luò)的最大連通比例與網(wǎng)絡(luò)效率。因?yàn)殡S機(jī)攻擊的不確定性，重復(fù)上述操作100次，結(jié)果取均值。

如圖1所示，無權(quán)IEEE118網(wǎng)絡(luò)在α≤0.35時(shí)，網(wǎng)絡(luò)最大連通比例略大于加權(quán)IEEE118網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的魯棒性均較差。當(dāng)α>0.35后，無權(quán)IEEE118網(wǎng)絡(luò)和加權(quán)IEEE118網(wǎng)絡(luò)的魯棒性都開始急劇提高，但加權(quán)IEEE118網(wǎng)絡(luò)的魯棒性整體上明顯強(qiáng)于無權(quán)網(wǎng)絡(luò)。這是因?yàn)樵诰W(wǎng)絡(luò)中大部分節(jié)點(diǎn)都不是關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，攻擊這些節(jié)點(diǎn)不會造成大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)崩潰，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)更凸顯這種異質(zhì)性，對隨機(jī)攻擊的魯棒性更強(qiáng)。當(dāng)α>0.55，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性增勢趨于穩(wěn)定，而無權(quán)網(wǎng)絡(luò)直至α>0.7魯棒性才趨于穩(wěn)定。加權(quán)電網(wǎng)容量參數(shù)α的閾值α*更小,對級聯(lián)失效的魯棒性更強(qiáng)。

圖1 不同α值下兩種IEEE118系統(tǒng)的最大連通比例

由圖1知，α∈[0.55,0.75]時(shí)魯棒性變化趨于穩(wěn)定，在此區(qū)間網(wǎng)絡(luò)在此區(qū)間可兼顧成本與網(wǎng)絡(luò)性能，對實(shí)際電網(wǎng)有一定參考作用。圖2仿真圖的性質(zhì)與圖1基本一致。

圖2 不同α值下兩種IEEE118系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)效率

2.2 參數(shù)β對兩種IEEE118網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響

參數(shù)β越大，需要的線路網(wǎng)絡(luò)成本越高。為探究對加權(quán)IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和無權(quán)IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)魯棒性的影響，令α=0.55,γ=0.3對兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相同序列的隨機(jī)攻擊10次，計(jì)算網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。重復(fù)上述操作100次，結(jié)果取均值。

如圖3所示，首先從整體看，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性強(qiáng)于無權(quán)IEEE118網(wǎng)絡(luò)。放大局部圖可知，兩種網(wǎng)絡(luò)魯棒性都在β>1后開始急劇增加并逐漸趨于穩(wěn)定，但是加權(quán)網(wǎng)絡(luò)在β≥1.2之后趨于穩(wěn)定，無權(quán)網(wǎng)絡(luò)直到β≥1.4才逐漸趨于穩(wěn)定的。這是因?yàn)榧訖?quán)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的差異性較大，對隨機(jī)攻擊網(wǎng)絡(luò)的魯棒性更強(qiáng)。

圖3 不同β值下兩種IEEE118系統(tǒng)的最大連通比例

圖4仿真圖的性質(zhì)與圖3基本一致。綜上加權(quán)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的異質(zhì)性較大，容量參數(shù)的閾值更小，對隨機(jī)攻擊網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效抗毀性更強(qiáng)。

圖4 不同β值下兩種IEEE118系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)效率

3 蓄意攻擊對兩種網(wǎng)絡(luò)的影響

3.1 負(fù)載攻擊對網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響

令α=0.55,β=1.2,γ=0.3，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)具有較好的魯棒性。對兩種網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行蓄意攻擊，攻擊方式為最大負(fù)載攻擊(HL)和最小負(fù)載攻擊(LL)，對排序前十的節(jié)點(diǎn)依次攻擊，網(wǎng)絡(luò)的魯棒性變化如圖5、圖6所示。

圖5 HL攻擊下兩種IEEE118系統(tǒng)的最大連通比例

圖6 LL攻擊下兩種IEEE118系統(tǒng)的最大連通比例

如圖5、圖6所示，HL攻擊中明顯加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性差，在第十次攻擊后加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的性能只有50%,而無權(quán)網(wǎng)絡(luò)性能仍保持在85%以上。LL攻擊下加權(quán)IEEE118網(wǎng)絡(luò)的性能較無權(quán)網(wǎng)絡(luò)下降更快，說明加權(quán)網(wǎng)絡(luò)對蓄意攻擊魯棒性較差，符合實(shí)際電網(wǎng)的特征。

3.2 拓?fù)涮卣鞴魧W(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響

對兩種網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行度(權(quán))攻擊與介數(shù)攻擊，參數(shù)不變，仍然選取排序最大的10個(gè)節(jié)點(diǎn)攻擊來比較級聯(lián)失效規(guī)模。

如圖7所示，可以看出，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)對權(quán)攻擊在整體上魯棒性明顯強(qiáng)于無權(quán)網(wǎng)絡(luò)，這是因?yàn)榧訖?quán)網(wǎng)絡(luò)所加權(quán)重為電氣特征，相對無權(quán)鄰接矩陣對拓?fù)涔粲懈玫聂敯粜浴?/p>

圖7 度/權(quán)攻擊下兩種IEEE118系統(tǒng)的最大連通比例

如圖8所示，兩種IEEE118網(wǎng)絡(luò)對介數(shù)攻擊的級聯(lián)故障的抗毀性都較差，攻擊高介數(shù)節(jié)點(diǎn)在第十次攻擊時(shí)網(wǎng)絡(luò)性能就只有10%左右，相比度或權(quán)攻擊網(wǎng)絡(luò)性能仍保持在50%以上，網(wǎng)絡(luò)對介數(shù)攻擊的魯棒性較差。

圖8 介數(shù)攻擊下兩種IEEE118系統(tǒng)的最大連通比例

繪制加權(quán)IEEE118系統(tǒng)的拓?fù)鋱D來探究介數(shù)攻擊下網(wǎng)絡(luò)魯棒性差的原因，如圖9所示。如表2所示，兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)介數(shù)排序前10節(jié)點(diǎn)重復(fù)率高達(dá)80%，故魯棒性表現(xiàn)相似。

圖9 加權(quán)IEEE118電網(wǎng)的拓?fù)鋱D

表2 兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)介數(shù)排序

通過數(shù)據(jù)對比(數(shù)據(jù)見文獻(xiàn)[14])發(fā)現(xiàn)這些加權(quán)介數(shù)排序前十節(jié)點(diǎn)(圖9中紅色節(jié)點(diǎn))在IEEE118中對應(yīng)的是9臺變壓器的兩端節(jié)點(diǎn)(除77號節(jié)點(diǎn))，對這些節(jié)點(diǎn)進(jìn)行蓄意攻擊對于電網(wǎng)的傳輸破壞性極大，更易發(fā)生級聯(lián)故障。節(jié)點(diǎn)V77(圖9中黑色節(jié)點(diǎn))是網(wǎng)絡(luò)中唯一連接兩個(gè)變壓器節(jié)點(diǎn)的普通節(jié)點(diǎn)，故節(jié)點(diǎn)介數(shù)高，在網(wǎng)絡(luò)中也很重要。因此在實(shí)際電網(wǎng)中給這些節(jié)點(diǎn)增加權(quán)重可以有效提高網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。

4 結(jié)論

對加權(quán)電網(wǎng)和無權(quán)電網(wǎng)在非線性容量負(fù)載模型中進(jìn)行了深入的分析與對比,得到以下結(jié)論。

(1)引入電網(wǎng)電氣特征的加權(quán)電網(wǎng)較無權(quán)電網(wǎng)對隨機(jī)攻擊有更好的魯棒性。這是因?yàn)榧訖?quán)電網(wǎng)的強(qiáng)異質(zhì)性使節(jié)點(diǎn)容量差異性大，隨機(jī)攻擊時(shí)移除的節(jié)點(diǎn)大部分容量較小，不會造成大規(guī)模的級聯(lián)失效。

(2)加權(quán)電網(wǎng)較無權(quán)網(wǎng)絡(luò)在最大和最小負(fù)載攻擊下的魯棒性差，表明實(shí)際電網(wǎng)對蓄意攻擊的魯棒性差。

(3)加權(quán)電網(wǎng)對基于網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞墓簟獧?quán)攻擊強(qiáng)于相應(yīng)無權(quán)網(wǎng)絡(luò)的度攻擊，這是因?yàn)橐氲墓?jié)點(diǎn)權(quán)重是基于電網(wǎng)的電氣特征，對基于網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的蓄意攻擊抵抗性強(qiáng)于僅由電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)構(gòu)建的無權(quán)電網(wǎng)。但兩種網(wǎng)絡(luò)對介數(shù)攻擊的魯棒性均較差，分析發(fā)現(xiàn)高介數(shù)節(jié)點(diǎn)為變壓器節(jié)點(diǎn)，在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中可以通過增大高介數(shù)節(jié)點(diǎn)的保護(hù)來提高電網(wǎng)的魯棒性。