圓雛曲線的-類定值應用

徐蘭 車樹勤

直線與圓錐曲線的位置關系是高考考查的重點與難點，其運算量大常讓同學們望而生畏。由于圓錐曲線中橢圓與雙曲線都是中心對稱圖像，所以隱含著很多定值關系。大家如果能夠把這些關系梳理清楚，那么對直線與圓錐曲線的位置關系問題就可以化繁為簡。

直線經過原點與橢圓或雙曲線相交的弦我們稱為中心弦，那么橢圓或雙曲線上任意一點與中心弦的兩點形成的兩條直線的斜率之積為定值，稱為中心弦特征。任意一條直線與圓錐曲線相交時，原點與弦的中點連線的斜率與直線的斜率之積為定值，稱為中點弦特征。具體看-下這些結論：

0），A，B分別是橢圓上關于原點對稱的兩個點，P是橢圓上任意一點，直線PA，PB的斜

B》0），A，B分別是雙曲線上關于原點對稱的兩個點，P是雙曲線上任意一點，直線PA，

0），O為坐標原點，A，B分別是直線與橢圓的兩個交點，P是弦AB的中點，直線OP，

B》0），O為坐標原點，A，B分別是直線與雙曲線的兩個交點，P是弦AB的中點，直線

0）的右焦點為F（1，0），過焦點F且與x軸不重合的直線與橢圓C交于A，B兩點，點B關于坐標原點的對稱點為P，直線PA，PB分別交直線x=4于M，N兩點。

（1）求橢圓C的標準方程

（2）記M，N兩點的縱坐標分別為yM，yN，則yM·yN是否為定值？若是，請求出該定值;若不是，請說明理由。

當AB的斜率存在時，設直線AB的斜率為k，設B（xo，yo），A（xA，yA），則P（-x0，

點評：解法一運算量較大，設出，點P坐標，先表示出直線AP的方程，再與橢圓聯立方程組求出，點A的坐標，這種設，點求，點的運算很多同學都解不出來，即使解出來花費時間也過多。解法二中用中心弦特征的結論，

直線AB，AP的斜率積為定值一，利用直線AB的斜率表示出AP的斜率，就完全避免了復雜的運算，有種豁然開朗的解題感覺。

運用這些結論可以快速找到解題的方向并且避免解析幾何復雜的運算，如果用來解決小題就更加得心應手了。

練一練：

1.平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：

（責任編輯 徐利杰）