聚焦圓錐曲線的最值（范圍）問題

王佩其

基本策略一、利用定義和幾何關系

例1已知點P在離心率為2的雙曲

解析：設左焦點為F1，由題意可得：

|PF|-|PF1|=2a，lPF|=2a+|PF1|。

△PAF的周長=|AP|+|PF|+|AF

=AP+PF，+AF+2a≥AF1+|AF|+2a。

當且僅當A，P，F1三點共線時取等號，所以AF1+AF+2a=20。

點評：遇見橢圓和雙曲線中的最值問題，常把到左焦點的距離轉化為到右焦，點的距離，反之也可以;遇見拋物線中的最值問題，常把到焦，點的距離轉化為到準線的距離，反之亦可。

基本策略二、利用基本不等式

0）有相同的焦點F1，F2，點P是橢圓C1與雙曲線C2的一個公共點，e1，e2分別是橢圓C1和雙曲線C2的離心率，若PF1⊥PF2，則4e+e？的最小值為（）。

解析：由題意設焦距為2c，橢圓長軸長為2a1，雙曲線實軸長為2a2。

不妨令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義知|PF1|-|PF2|=2a2。①

由橢圓定義知|PF1+|PF2=2a1。②

又因PF1⊥PF2，故PF1|2+|PF2|2=2

點評：當欲求的表達式中出現兩個變量且求最值時，利用基本不等式解題是首選。

基本策略三、利用函數思想例3已知過拋物線y2=2px（p》0）的焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，且AF=3FB，拋物線的準線l與x軸交于C，AA1⊥1于點A1，且四邊形AA1CF的面積為63。過K（-1，0）的直線1'交拋物線于M，N兩點，且KM=λKN（入∈（1，2]），點G為線段MN的垂直平分線與x軸的交點，則點G的橫坐標x。的取值范圍為（）。

解析：過B作BB1⊥1于B1。設直線AB與準線1的交點為D，由拋物線的性質可

知AA1=AF，BB1=BF，CF=衛。

點評：函數思想就是把圓錐曲線的最值或取值范圍問題轉化為函數的最值或值域問題，采用這種策略的關鍵是合理引入參數建立函數關系式，并確定參數的取值范圍。

基本策略四、利用不等式

b》0）的一個焦點是F（1，0），O為坐標原點，過點H（3，0）的直線交橢圓C于點A，B。假設P為橢圓上一點，且滿足OA+OB=tO戶，當！PA-PB《3時，求實數t2的取值范圍。

解析：設P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的直線方程為y=k（x-3）。

點評：最值或取值范圍問題，本質上體現了一種不等關系，因此利用題中的代數和幾何關系（如角度、向量、斜率等）或判別式，建立不等式也是求解圓錐曲線最值或取值范圍問題的-種基本方法。

（責任編輯 徐利杰）