聚焦圓錐曲線“三定”問題

徐春生

圓錐曲線“三定”問題是指“定點(diǎn)問題、定直線的方程問題和定值問題”。這類試題是高考命題的熱點(diǎn)，其難度較大，常以解答題的形式出現(xiàn)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想。

一、定點(diǎn)問題

1.直線過定點(diǎn)問題

（1）求橢圓C的方程。

（2）設(shè)M為橢圓C的左頂點(diǎn)，A，B是橢圓C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線MA，MB的傾斜設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，則k1k2=1。

點(diǎn)評：解決動(dòng)直線L過定，點(diǎn)問題的思路：

設(shè)動(dòng)直線L的方程（斜率存在）為y=kx+t，由題設(shè)條件將t用k表示為t=mk，得y=k（x+m），故動(dòng)直線L過定，點(diǎn)（-m，0）。

2.曲線過定點(diǎn)問題

例2已知拋物線C：x2=-2py經(jīng)過點(diǎn)（2，-1）。

（1）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程。

（2）設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=-1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B。求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)。

解析：（1）由拋物線C：x2=-2py經(jīng)過點(diǎn)（2，-1），解得p=2。

所以拋物線C的方程為x2=-4y，其準(zhǔn)線方程為y=1。

（2）拋物線C的焦點(diǎn)為F（0，-1），設(shè)直線L的方程為y=kx-1（k≠0）。

綜上，以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)（0，1）和（0，-3）。

點(diǎn)評：本題抓住圓的幾何特征“直徑所對的圓周角為90”，巧用向量DA·DB=0求得定，點(diǎn)坐標(biāo)，學(xué)習(xí)中應(yīng)體會(huì)向量解題的工具性。

二、定直線的方程問題

例3已知拋物線C：x2=2py（p》0）

的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，AB|=8。

（1）求拋物線C的方程。

（2）過點(diǎn)D（1，2）的直線L交拋物線C于點(diǎn)M，N，點(diǎn)Q為MN的中點(diǎn)，QR⊥x軸交拋物線C于點(diǎn)R，且QR=RT。證明：動(dòng)點(diǎn)T在定直線上。

解析：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）。

則x1+x2=2衛(wèi)，y1+y2=x1+x2+衛(wèi)=3衛(wèi)。

所以|AB|=y1+y2+p=4p=8，解得=2。

因此，拋物線C的方程為x2=4y。

（2）方法-：易知直線L的斜率存在，設(shè)

的方程為y=k（x-1）+2，Q（xo，y0），因?yàn)?k-2（k-2）-4=0，所以動(dòng)點(diǎn)T在定直線x-2y-4=0上。

設(shè)Q（x，y5），則直線MN的斜率k=

所以動(dòng)點(diǎn)T在定直線x-2y-4=0上。點(diǎn)評：本題第二問給出了探求圓錐曲線中的定直線問題的兩種方法：方法一是參數(shù)法，先利用題設(shè)條件探究出動(dòng)點(diǎn)T的坐標(biāo)（包含參數(shù)），再消去參數(shù)，即得動(dòng)點(diǎn)T在定直線上;方法二是相關(guān)，點(diǎn)法，即先設(shè)出動(dòng)，點(diǎn)T的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)題設(shè)條件得到已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)R的坐標(biāo)，再將動(dòng)，點(diǎn)R的坐標(biāo)代入已知的曲線方程，即得動(dòng)，點(diǎn)T在定直線上。

三、定值問題

例4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已

（2）試探究△POQ的面積S是否為定值，并說明理由。

解析：（1）因?yàn)閗1，k2均存在，所以x1x2≠0。

綜合①②可知，△POQ的面積S為定值1。

點(diǎn)評：圓錐曲線中的定值問題的常見類型：（1）證明代數(shù)式為定值，依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式，化簡即可得出定值;（2）證明，點(diǎn)到直線的距離為定值，利用，點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得;（3）證明某線段長度為定值，利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形求得。

（責(zé)任編輯 徐利杰）