美的數學方程式

范薈

美與數學似乎是兩個截然不同的領域，美常常與感性、意識等詞語相關聯，而數學則是追求理性的終極模型。“人們認識美、探索美的秘密是一個極為古老的課題。”在探索這個秘密的過程中，古代的智者們發現美竟然與數學有著緊密的聯系，甚至有一個神秘的數學定律與大自然和藝術作品中的許多美的形式完全契合。這個數學定律就是“黃金分割率”，它是許多美的形式的數學模型，是美學與科學的奇妙共舞。

在遙遠的古希臘，有一位著名數學家、哲學家叫畢達哥拉斯。相傳有一天他走在街上，聽到有節奏的“叮叮當當”的聲音，發現是鐵匠打鐵時發出的有規律的、悅耳的敲擊聲，于是他停下腳步，駐足傾聽。伴隨著鐵錘的敲擊，畢達哥拉斯發現敲擊聲與間隔產生的規律性的節奏恰好形成一個比例，并且可以用數學方程表達出來。后來，數學家歐幾里得等人進一步闡述了這一數學概念。而這個比例有著許多奇妙的性質，它不僅深受數學家的癡迷，被運用于數學研究，還被藝術家所推崇，常運用于建筑、繪畫、書法、音樂之中。這個比例被稱為“黃金比例”或是“神圣比例”。

簡單來說，黃金比例就是將一條線段分為兩部分，其中較短部分與較長部分的長度之比等于較長部分與整體長度之比。如上圖所示，如果將黃金分割率簡化成數學比例關系，就是B C∶A B = A B∶AC，比值約為0.618。將這個比例關系延伸出來，還有許多有趣的數學關系，比如說神奇而迷人的斐波那契數列，又稱“黃金分割數列”。

數列可以簡單理解為前后有規律的一組數排成的隊列。我們所說的斐波那契數列從第三個數字開始，每一個數字都等于它前面兩個數字之和。如果將這個數列用圖形表現出來，那么神奇的事情就發生了，它形成了一個弧度優雅而美麗的螺旋線。看到這個螺旋的弧線，你會聯想到什么呢？是浩瀚大海中螺旋形的貝殼，還是浩渺宇宙中的螺旋星系？其實，大自然中還蘊藏著無窮無盡的黃金比例。它可能蘊含在一朵花的乾坤之內，也可能彰顯在一棵樹的枝葉之上，還有可能潛藏在一幅颶風圖的奧秘之中。

黃金分割雖然是一種數學上的比例關系，但是它卻能產生和諧感與韻律感，其中蘊藏著豐富的美學價值，被古今中外的藝術家不斷運用于藝術創作之中。在這些與黃金比例相關的藝術作品中，有一些可以直接通過作品體現出比例之美，或是藝術家明確指出自己作品與黃金分割的關系，還有一些作品則似乎是在無意中與黃金比例產生了微妙的聯系。

最早運用黃金比例的是古希臘時期的建筑。例如古希臘的帕特農神廟，經測量發現，廟身的高與寬的比非常接近黃金比例，其上部裝飾部分的高度與下側柱子的高度的比也約等于0.618。帕特農神廟代表了古希臘建筑藝術的最高水平，可謂是古代建筑的典范之作。古羅馬時期的建筑大師維特魯威曾在他的著作《建筑十書》中充分強調了黃金比例在建筑設計中的重要性。

維特魯威運用黃金比例建立了立柱、房間和整座建筑物的比例標準。雖然他傾盡心力研究建筑中的黃金比例，但是并不推崇千篇一律的設計，他贊成建筑師在設計時應該有自己的變化。維特魯威不僅對建筑的黃金比例進行了深入闡述，還引申出對人體比例的詳細論述。他強調：“實際上，沒有均衡或比例，就不可能有任何神廟的位置。即與姿態漂亮的人體相似，要有正確分配的肢體。”維特魯威在書中還對手、肘等身體各個部位與軀干的比例關系一一作出闡述，這對后世對于人體與建筑藝術的研究影響極為深遠。

大約1 5 0 0年后，在維特魯威的啟迪下，著名畫家達·芬奇用鋼筆和墨水繪制了素描手稿《維特魯威人》。這份紙質手稿雖然尺幅較小，但它的珍貴不言而喻。從作品的名字中就可以看出達·芬奇受到維特魯威對人體比例的研究的影響。畫面是一個比例優美、肌肉結實的男子，身體分別擺出“十”字形和“火”字形兩種姿勢，兩種姿勢頭部重疊，以頭和四肢為端點，分別可以畫出一個正方形和圓形。手稿上下各有一段文字。神奇的是，從這幅小小的手稿中，可以發現許多人體與數學的奧秘。

例如，雙腳并攏、雙臂水平伸出的呈“十”字形的姿勢恰好詮釋了一句話：“人伸開的手臂的寬度等于他的身高。”而畫中男子兩臂微微傾斜上舉，兩腿叉開，呈“火”字形的姿勢外接一個圓形，而圓心就是人的肚臍。如果細細分析《維特魯威人》，其中包含的比例關系十分豐富，甚至男子面部的比例都是均衡的三等分。

2 0世紀最著名的建筑大師、現代主義建筑的主要倡導者勒·柯布西耶的著作《模度》是對人體尺度和自然之間的數學關系的研究成果。這也是對維特魯威、達·芬奇關于人體和建筑比例關系的進一步發展。

關于黃金比例的運用頻頻出現在知名建筑物的結構以及世界名畫構圖之中。例如埃及金字塔、巴黎圣母院、埃菲爾鐵塔，例如《最后的晚餐》《蒙娜麗莎》《戴珍珠耳環的少女》《圣保羅的皈依》等都暗含著黃金比例。

無獨有偶，我國當代書法家啟功在書法結字中也運用到了黃金分割，他提出：“楷書又叫真書，結字有個規律，規律就是合乎黃金分割即黃金率，這是我偶然發現的。”啟功在自己的書法中也切身實踐著他的黃金結字律的理論。他對于書法字形結構的黃金比例實際上是將正方形進行黃金分割，按照0 . 3 2 8∶0 . 6 1 8的比例畫線，最終四條線交匯就形成四個黃金分割點。啟功認為，當楷書的字的重心在這四個點上時，字形最為美觀。

黃金分割不僅被運用于建筑、繪畫、書法之中，它甚至還啟發著音樂家創作出美妙動人的樂曲。有人曾統計過莫扎特的各種鋼琴協奏曲，發現其中的許多段落都與黃金比例相符合。例如，莫扎特《安魂曲》的第一段中，第一部分有3 8次節拍，第二部分有6 2次節拍，二者的比值約為0.618。現在我們無法求證莫扎特對音樂節拍與黃金分割的關系是否有意為之，但是他的鋼琴曲悅耳動聽、令人陶醉卻是不爭的事實。

在眾多美術、音樂作品中我們都能發現黃金比例的身影。難道它就是美的終極規律嗎？黃金比例具有均勻、協調等特性，符合人的審美心理，而它恰巧又可以與數學完美契合，因而對美的形式和審美規律有一定的意義。但我們還要明白，美是千變萬化的，美的形式是多種多樣的，縱使有一定的規律可循，其規律也并不僅僅是黃金分割一種。在我國傳統繪畫理論中就有“丈山尺樹，寸馬分人”的比例關系，書法中也有利用“九宮格”“米字格”等來分析字形結構的……

藝術的形式多種多樣，關于美的奧秘又何止是一種規律能概括所有呢？“路漫漫其修遠兮”，在前人探索美的奧秘后，仍然需要后來人對美的本質進行更深層的挖掘和探索。C07FE95F-CF58-4D75-ADC1-B718617454A0