“正多邊形與圓”關(guān)系的探究與思考

陳莉

“正多邊形與圓”是人教版九年級(jí)上冊(cè)第二十四章第三節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，教材中有一道練習(xí)題：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎？各角相等的圓內(nèi)接多邊形呢？如果是，說(shuō)明理由；如果不是，舉出反例。

案例呈現(xiàn)

近期，筆者觀摩了兩節(jié)“正多邊形與圓”相關(guān)教學(xué)內(nèi)容的校級(jí)公開課，現(xiàn)就呈現(xiàn)探究這道習(xí)題的兩個(gè)教學(xué)片段。

教學(xué)片段1：教師出示練習(xí)題，學(xué)生獨(dú)立思考后回答。

生1：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形，因?yàn)楦鬟呄嗟瓤梢酝瞥龌∠嗟龋苫∠嗟瓤梢酝瞥鰣A周角相等，即這個(gè)內(nèi)接多邊形的各角也相等，所以它是一個(gè)正多邊形。

（師生對(duì)學(xué)生1的回答表示認(rèn)同）

生2：各角相等的圓內(nèi)接多邊形也是正多邊形，因?yàn)檎噙呅胃鹘窍嗟?，?duì)于外接圓而言就是圓周角相等，由圓周角相等也可以推出弧相等，由弧相等則可進(jìn)一步推出弦相等，所以多邊形各邊相等，因此它是一個(gè)正多邊形。

師：對(duì)這個(gè)問(wèn)題，同學(xué)們有不同的意見嗎？

生3：各角相等的圓內(nèi)接多邊形不一定是正多邊形，如矩形，它的各角都是直角，但它不是正多邊形。

師：矩形是同學(xué)們熟悉的平面幾何圖形，本節(jié)課我們復(fù)習(xí)正多邊形定義時(shí)，就已給出判斷：矩形不是正多邊形。通過(guò)這個(gè)反例，說(shuō)明了各角相等的圓內(nèi)接多邊形不一定是正多邊形。

教學(xué)片段2：學(xué)生對(duì)“各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形”這一結(jié)論的判斷與教學(xué)片段1相同，這里重點(diǎn)呈現(xiàn)“各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎”的討論。

師：各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎？

（學(xué)生紛紛表示“是”，教師請(qǐng)學(xué)生說(shuō)明理由）

生1：（該生的判斷和理由與教學(xué)片段1中的學(xué)生2一致）。

教師追問(wèn)：那矩形呢？它各角相等，各邊也相等嗎？

生2：首先，矩形是個(gè)反例。其次，即使這個(gè)圖形不是矩形，它也可能各角相等但不是正多邊形，比如一個(gè)正多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)往左移一點(diǎn)或往右移一點(diǎn)，它的角度沒(méi)有改變，但它的各邊就不相等了。

（教師肯定了生2不僅想到特殊的反例矩形，還想尋找一般的反例，并試圖畫出生2所說(shuō)的一般反例圖形，但沒(méi)有成功）。

生3：如果頂點(diǎn)移動(dòng)，這個(gè)角的度數(shù)沒(méi)有發(fā)生改變，但左右相鄰兩個(gè)角的度數(shù)改變了，這個(gè)多邊形就不滿足各角相等的條件了。

師：目前看來(lái)只有矩形能證明這個(gè)命題為假命題。

發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題

結(jié)合這兩個(gè)教學(xué)片段及課下的調(diào)研，筆者了解到，對(duì)“各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形”這一問(wèn)題，教師的預(yù)設(shè)是學(xué)生舉出矩形作為反例說(shuō)明結(jié)論錯(cuò)誤即可。但課堂教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、不斷建構(gòu)生成的過(guò)程，往往會(huì)生發(fā)出一些值得思考、有價(jià)值的問(wèn)題。在這兩節(jié)課中，學(xué)生的表現(xiàn)超出了教師的預(yù)設(shè)，不僅類比“各邊相等”的思路進(jìn)行“各角相等”條件下的推理，還思考除矩形之外的其他反例圖形。學(xué)生的活躍思維不禁促使筆者思考如下問(wèn)題：各邊相等、各角相等，由圓的知識(shí)可以推出弧相等，為什么由“各邊相等”能得到圓內(nèi)接正多邊形的結(jié)論，而“各角相等”卻不能得到？學(xué)生思維的漏洞在哪里？“各角都相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形”的反例只有矩形嗎？還有沒(méi)有其他的反例？

分析問(wèn)題、解決問(wèn)題

學(xué)生錯(cuò)誤原因的分析。這道習(xí)題一般是在探究了“正多邊形與圓”的關(guān)系后讓學(xué)生練習(xí)，借助圓的知識(shí)對(duì)正多邊形進(jìn)行判定，進(jìn)一步體會(huì)“正多邊形與圓”的關(guān)系的內(nèi)在規(guī)律。以正五邊形為例，在探究正多邊形與圓的關(guān)系過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了由弧相等推弦相等、圓周角相等，從而得出多邊形各邊相等、各角相等，對(duì)圓中弧、弦、圓周角之間的相互轉(zhuǎn)化，學(xué)生已經(jīng)有了一定的基礎(chǔ)。既然能由各邊相等推弧相等，從而得到正多邊形的結(jié)論，那么由各角相等推弧相等，得到正多邊形的結(jié)論，是學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的遷移，學(xué)生認(rèn)為合理且正確。盡管用矩形的反例，說(shuō)明了“各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形”這一結(jié)論錯(cuò)誤，但學(xué)生并不知道自己推理中的漏洞在哪里。

教學(xué)反思

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，要讓學(xué)生“發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力”。教師經(jīng)常鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，其實(shí)，教師自己在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和解決問(wèn)題也很重要，有問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生的思考才會(huì)更深入。主動(dòng)研究與學(xué)習(xí)，能讓教師的知識(shí)如源頭活水常備常新，在教學(xué)中游刃有余，更好地指導(dǎo)學(xué)生。如果教師自身就是“求索者”“好奇心的激發(fā)者”，那他也一定可以成為學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題的“引領(lǐng)者”。

責(zé)任編輯/楊亮亮