巧用逆向思維 解答數學難題

摘 要：在初中教育教學中，數學是一門既抽象、難度又大的科目，尤其是在解題環節，各種各樣的難題層出不窮，對于師生雙方來說均是一個嚴峻挑戰.不少初中數學教師為幫助學生更好的解答數學難題，都在巧用逆向思維，指導他們創新解題思路，提高思維水平與解題能力.

關鍵詞：逆向思維;數學難題

中圖分類號：G632 ? 文獻標識碼：A ? 文章編號：1008-0333（2022）08-0068-03

收稿日期：2021-12-15

作者簡介：王康平（1977.12-），女，福建省福州人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.

逆向思維指的是對司空見慣、似乎已成定論事物或觀點反過來思考的一種思維方式.初中數學教師可指導學生巧用逆向思維解答難題，使其敢于“反其道而思之”，思維向對立面的方向發展，讓他們從問題的相反面深入探索，從而樹立新思想、創立新形象.

1 巧妙利用逆向思維，解答二次函數難題

初中數學知識屬于小學的后續、延伸與進階，難度和深度也隨之提升，學生在日常學習過程中，遇到的難題也更多，教師可引領學生巧妙運用逆向思維處理題目，使其別具匠心的解答數學難題，讓學生慢慢消除畏難情緒.

例1 如果方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0，x2-2（k+1）x+k2-2=0，x2-（2k+1）x+（k-2）2=0中至少有一個方程存在實數根，求k的取值范圍.

解析 由于“至少有一個方程有實數根”與“三個方程均無實數根”是相互對立的，那么先從這個問題的反面思考，即為從三個方程均無實數根的角度來考慮，也就是從△1、△2、△3三者均小于0中求出k的取值范圍，再從實數中排除這個k的取值范圍即可.

2 巧妙運用逆向思維，解答幾何證明難題

證明題也是初中數學教學中比較常見的一種題目類型，對學生的邏輯思維能力、分析能力、空間意識與認知水平要求更高.教師可以指引學生巧妙運用逆向思維解決結論難以論證的數學難題，從結論著手展開分析與探討，從而理清證明思路、確定證明流程，使其找到正確的證明方法，增強解題自信.

例2 如圖1，在△ABC中，AB>AC，AD⊥BC于D，P為AD上任意一點，求證：PB-PC>AB-AC.

解析 本題是一道思維含量很高的題目.學生如果按照正向思維的思路分析題目，這道幾何證明題很難從給出的已知條件確定證明思路與找到證明方法，假如運用逆向思維從要求證的結論出發，就能輕松的找到切入點，利用垂直平分線的性質，將線段AC、PC轉移，再根據三角形三邊關系定理證明即可.

3 巧妙應用逆向思維，解答一元一次方程難題

在以往的初中數學課程教學中，大部分學生分析和解決題目時，容易陷入到思維定勢當中，正遷移方面有利于題目的求解，負遷移則不利于解題的正確性.所以，初中數學教師在解題教學中，可引導學生巧妙應用逆向思維，從結論往回推，使其擺脫思維定式的負遷移，最終順利解答數學難題.

例3 小明的媽媽購買幾桶牛奶，第一天，全家人喝掉全部牛奶的一半零半桶;第二天，又喝掉第一天剩下的一半零半桶;第三天，小明把家中僅剩下牛奶的一半零半桶喝完，這時媽媽所購買的牛奶剛好全部喝完，求媽媽一共購買了多少桶牛奶？

解析 本道題從正面較難求解，教師可指引學生應用逆向思維分析這一難題，設牛奶第二天喝完后還剩x桶，則x2-12=1，解得x=1，這表明牛奶第二天喝完后還剩余1桶，第二天沒喝之前則為3桶，由此推理出第一天沒喝之前的牛奶是7桶，也就是說媽媽一共購買了7桶牛奶.這樣學生使用逆向思維解答了常規思維無法解決的問題，提升了學生的解題效率.

4 巧妙采用逆向思維，解答反比例函數難題

逆向思維和常規思維不同，是反過來思考問題，采用大部分人沒有想到的思維方式去探討問題，目的是希望“出奇制勝”，結果通常別有所獲.具體到解答初中數學難題而言，教師可指導學生換個視角思考，將復雜問題變得簡單化，以此鍛煉他們解題思維的發展，使其解題速度和正確度得以提高.

例4 在平面直角坐標系中有三點A（2，4），B（3，5），P（a，a），將線段AB繞點P順時針旋轉90°得到CD，其中A，B對應點分別為C，D.若a=4，將函數y=4x（x>0）的圖像繞點P順時針旋轉90°得到新圖像，直線AB與新圖像的交點為E，F，則EF的長為（直接寫出結果）.

解析 本題主要考察反比例函數和一次函數的交點問題，可巧用逆向思維來解題：設直線AB的解析式是y=kx+b，把點A（2，4）與B（3，5）代入其中，得到直線AB的解析式為y=x+2，直線AB與新圖像的交點在過A點與AB垂直的直線上，該直線的解析式是y=-x+6，所以反比例函數同y=-x+6的兩交點距離就是EF的距離.

5 巧妙應用逆向思維，解答圖像平移類難題

函數圖象平移是初中數學的重要知識點，習題情境復雜多變.為更好的提高學生解答該類習題的能力，不僅要求學生能深入的理解函數圖象平移的規律，搞清楚函數圖象平移方向與相關參數之間的關系，而且要求學生掌握相關的解題技巧，尤其能夠結合具體的習題情境采用逆向思維進行分析，迅速的找到正確答案.

例5 如圖2，拋物線y=-12x2+7x-452與x軸交于A、B兩點，將拋物線在x軸上方的部分記作C1，將C1向左平移得到C2， C2和x軸交于B、D兩點，若直線y=-12x+m和C1、C2共有三個不同的交點，則m的取值范圍為（ ?）.

A.52C.52gzslib202204031116解析 令y=-12x2+7x-452=0，解得B（5，0），A（9，0），平移后C1、C2有共同的交點B.則可得D（1，0），C2對應的拋物線為y=-12（x-3）2+2，直線y=-12x+m和C1、C2共有三個不同的交點.若其剛好過點B時和C1、C2有兩個交點，繼續向上平移，會出現三個交點，將B（5，0）代入y=-12x+m，解得m=52，要想滿足題意則m>52.采用逆向思維，從給出的選項出發排除BD兩項.觀察A、D兩項，A項52

6 巧妙應用逆向思維，解答情境新穎的難題

初中數學測試中往往會出現一些情境較為新穎的習題，對學生理解能力要求較高.解答該類習題需要認真審題，吃透題意，根據題干創設的情境靈活應用逆向思維找到解題的突破口.

例6 已知如圖3所示的計算機程序，如果x為正整數，最后輸出的結果為656，則開始輸入的x值可能有（ ?）.

A.2個 ?B.3個 ?C.4個 ?D.5個

圖3解析 解答該題的關鍵在于能夠讀懂圖中表示的運算規則.若知道了最后的輸出結果，可采用逆向思維進行逆向運算求出x的值.根據題意可知如果只循環一次便輸出結果可得5x+1=656，解得x=131;若循環兩次輸出結果則由5x+1=131，解得x=26;若循環三次輸出結果則由5x+1=26，解得x=5;若循環四次輸出結果則由5x+1=5，解得x=4/5，其不是正整數，因此，這種情況是不存在的.分析可知輸入的X的值可能有131、26、5共3個，選擇B項.

7 巧妙應用逆向思維，解答綜合性難題

初中數學部分習題考查的知識點較多，綜合性較強，需要積極聯系所學采用逆向思維，判斷相關參數之間的關系.

例7 若點P（x，y）的坐標滿足x+y=2a-b-4x-y=b-4，且點P不在x軸上，若關于z的不等式yz+x+4>0的解集為z<23，求關于t的不等式at>b的解集.

解析 該題考查的知識點較多，主要有：二元一次方程組的解法、不等式、點的坐標等.根據題意不難求解出x=a-4，y=a-b，∵點P不在x軸上，∴a-b≠0.∵yz+x+4>0，∴（a-b）z+a>0，∵其解集為z<23，根據不等式知識可知，a-b<0，則a0，b>0，則由不等式at>b可得t>ba=52，∴不等式at>b的解集為t>52.

參考文獻：

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