巧用逆向思維 解答數學難題

王康平

(福建省福州第十一中學 350001)

逆向思維指的是對司空見慣、似乎已成定論事物或觀點反過來思考的一種思維方式.初中數學教師可指導學生巧用逆向思維解答難題，使其敢于“反其道而思之”，思維向對立面的方向發展，讓他們從問題的相反面深入探索，從而樹立新思想、創立新形象.

1 巧妙利用逆向思維，解答二次函數難題

初中數學知識屬于小學的后續、延伸與進階，難度和深度也隨之提升，學生在日常學習過程中，遇到的難題也更多，教師可引領學生巧妙運用逆向思維處理題目，使其別具匠心的解答數學難題，讓學生慢慢消除畏難情緒.

例1如果方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0，x2-2(k+1)x+k2-2=0，x2-(2k+1)x+(k-2)2=0中至少有一個方程存在實數根，求k的取值范圍.

解析由于“至少有一個方程有實數根”與“三個方程均無實數根”是相互對立的，那么先從這個問題的反面思考，即為從三個方程均無實數根的角度來考慮，也就是從△1、△2、△3三者均小于0中求出k的取值范圍，再從實數中排除這個k的取值范圍即可.

2 巧妙運用逆向思維，解答幾何證明難題

證明題也是初中數學教學中比較常見的一種題目類型，對學生的邏輯思維能力、分析能力、空間意識與認知水平要求更高.教師可以指引學生巧妙運用逆向思維解決結論難以論證的數學難題，從結論著手展開分析與探討，從而理清證明思路、確定證明流程，使其找到正確的證明方法，增強解題自信.

例2如圖1，在△ABC中，AB>AC，AD⊥BC于D，P為AD上任意一點，求證：PB-PC>AB-AC.

圖1

解析本題是一道思維含量很高的題目.學生如果按照正向思維的思路分析題目，這道幾何證明題很難從給出的已知條件確定證明思路與找到證明方法，假如運用逆向思維從要求證的結論出發，就能輕松的找到切入點，利用垂直平分線的性質，將線段AC、PC轉移，再根據三角形三邊關系定理證明即可.

3 巧妙應用逆向思維，解答一元一次方程難題

在以往的初中數學課程教學中，大部分學生分析和解決題目時，容易陷入到思維定勢當中，正遷移方面有利于題目的求解，負遷移則不利于解題的正確性.所以，初中數學教師在解題教學中，可引導學生巧妙應用逆向思維，從結論往回推，使其擺脫思維定式的負遷移，最終順利解答數學難題.

例3小明的媽媽購買幾桶牛奶，第一天，全家人喝掉全部牛奶的一半零半桶；第二天，又喝掉第一天剩下的一半零半桶；第三天，小明把家中僅剩下牛奶的一半零半桶喝完，這時媽媽所購買的牛奶剛好全部喝完，求媽媽一共購買了多少桶牛奶？

4 巧妙采用逆向思維，解答反比例函數難題

逆向思維和常規思維不同，是反過來思考問題，采用大部分人沒有想到的思維方式去探討問題，目的是希望“出奇制勝”，結果通常別有所獲.具體到解答初中數學難題而言，教師可指導學生換個視角思考，將復雜問題變得簡單化，以此鍛煉他們解題思維的發展，使其解題速度和正確度得以提高.

解析本題主要考察反比例函數和一次函數的交點問題，可巧用逆向思維來解題：設直線AB的解析式是y=kx+b，把點A(2，4)與B(3，5)代入其中，得到直線AB的解析式為y=x+2，直線AB與新圖像的交點在過A點與AB垂直的直線上，該直線的解析式是y=-x+6，所以反比例函數同y=-x+6的兩交點距離就是EF的距離.

5 巧妙應用逆向思維，解答圖像平移類難題

函數圖象平移是初中數學的重要知識點，習題情境復雜多變.為更好的提高學生解答該類習題的能力，不僅要求學生能深入的理解函數圖象平移的規律，搞清楚函數圖象平移方向與相關參數之間的關系，而且要求學生掌握相關的解題技巧，尤其能夠結合具體的習題情境采用逆向思維進行分析，迅速的找到正確答案.

圖2

6 巧妙應用逆向思維，解答情境新穎的難題

初中數學測試中往往會出現一些情境較為新穎的習題，對學生理解能力要求較高.解答該類習題需要認真審題，吃透題意，根據題干創設的情境靈活應用逆向思維找到解題的突破口.

例6已知如圖3所示的計算機程序，如果x為正整數，最后輸出的結果為656，則開始輸入的x值可能有( ).

圖3

A.2個 B.3個 C.4個 D.5個

解析解答該題的關鍵在于能夠讀懂圖中表示的運算規則.若知道了最后的輸出結果，可采用逆向思維進行逆向運算求出x的值.根據題意可知如果只循環一次便輸出結果可得5x+1=656，解得x=131；若循環兩次輸出結果則由5x+1=131，解得x=26；若循環三次輸出結果則由5x+1=26，解得x=5；若循環四次輸出結果則由5x+1=5，解得x=4/5，其不是正整數，因此，這種情況是不存在的.分析可知輸入的X的值可能有131、26、5共3個，選擇B項.

7 巧妙應用逆向思維，解答綜合性難題

初中數學部分習題考查的知識點較多，綜合性較強，需要積極聯系所學采用逆向思維，判斷相關參數之間的關系.