從線面平行談立體幾何復習策略

巨小鵬

(陜西省漢中市龍崗學校 723102)

將某些方法融入知識進行整合復習，以思維為突破口，讓學生覺得有新意，能調動學生復習的積極性，又能啟迪學生自覺理解知識的系統結構.立體幾何的解題策略無非就是：①利用向量一做到底；②利用純傳統方法；③利用傳統方法加向量法相結合.

1 目標學情解析

1.1 教學目標

以線面平行為突破口，梳理其證明方法，復習鞏固立體幾何解題策略.

1.2 目標內容解析

知識層面：讓學生理解線面平行不僅僅單一地從線線平行入手或者面面平行入手，也讓學生理解二面角的平面角問題的解題策略；

思想方法層面：讓學生深刻理解向量法和傳統方法各有優勢；從核心素養方面培養學生幾何直觀和空間想象能力、邏輯推理能力以及數學運算能力.

1.3 學情分析

學生基礎較好，學習新知能力較強，富有空間想象能力和邏輯推理能力.

1.4 重難點

重點：掌握向量法和傳統方法的立體幾何解題策略.

難點：構建抽象結構的空間想象能力并靈活選擇解題方法.

2 教學過程

2.1 復習提問

立體幾何中證明線面平行有哪些方法？什么是二面角的平面角?

(學生從定義和判定定理出發，也有從向量出發，但是向量法并不全面，暫且不說，給出例題再做補充)

2.2 例題引入

例1如圖1，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=3，AC=2，點E是PD的中點.

(1)求證：PB∥平面AEC；

(開始點名讓學生在黑板板演，然后鼓勵學生依次展示分享自己的其他方法，然后補充答案，學生對此印象更加深刻)

圖1 圖2 圖3

2.2.1 第(1)問解析

思路1如圖2，連接BD交AC于點F，連接EF.因為ABCD為平行四邊形，所以F是BD的中點.

又E是PD的中點，所以EF∥PB.

又EF?平面AEC，PB?平面AEC，

所以PB∥平面AEC.

(學生最初并沒有思路3和思路4，通過引導，思路3就出來了，再點撥鼓勵，才有思路4的脫穎而出，此處強調總結向量法解題的策略，思路4應該是最優方法，也是通法，也體現了向量法的優越性.)

2.2.2 第(2)問解析

得M(0，3λ，3-3λ).

設平面AEC的法向量為n1=(x1，y1，z1).

得n1=(0，1，1).

設平面MAC的法向量為n2=(x2，y2，z2).

設二面角M-AC-E的平面角的大小為θ，則

化簡，得9λ2-9λ+2=0.

解法2(傳統法)連接BD交AC于點F，連接EF.因為ABCD為平行四邊形，所以F是BD的中點.

所以在等腰△EAC中，EF⊥AC.

可證得CA⊥面PAB.

可知CA⊥AM.

在面ACM中,過中點F可作FN//AM,

即∠EFN為二面角M-AC-E的平面角.

借助坐標，利用向量，然后解三角形即可.

總結提升第(1)問傳統方法思路大概有三種：①利用中點找中位線；②利用平行四邊形；③找出面面平行，必要的時候需要割補.但是都離不開中點，不如找中位線方便簡單.利用向量求證線面平行方法如上面解答的三種思路，不做贅述，需要提醒的是，求點坐標的時候有兩種思路：①向坐標軸作垂線；②利用向量相等，第二種思路常常簡便得多，但是容易被忽略.

2.3 變換題型反饋

例2 如圖4，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．

圖4

(1)證明：MN∥平面C1DE；

(2)求二面角A-MA1-N的正弦值．

2.3.1 第(1)問解析

解法1連接ME，B1C，所以ME為ΔB1BC的中位線.

又N為A1D中點，且A1DB1C,

所以MEND.

所以四邊形MNDE為平行四邊形.

所以MN∥DE.

又MN?平面C1DE，DE?平面C1DE,

所以MN∥平面C1DE.

解法2 取AD的中點，連接NG,GB，證明NM∥GB∥DE即可.

解法3連接DE，延長DE交AB的延長線于點G，證明NM是△A1DG的中位線，從而得證.

解法4利用向量思路證明即可.

2.3.2 第(2)問解析

解法1利用向量法，設AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，由直四棱柱性質可知：OO1⊥平面ABCD.

因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD.

則以O為原點，可建立如圖5所示的空間直角坐標系.

圖5

設平面MA1N的法向量n=(x,y,z),

解法2利用傳統方法，且不止一種角度.比如(1)中的解法3中，可證DE⊥面A1AD,即面A1DG⊥面A1DA.

作AO⊥A1D,垂足為點O，可證得∠OMA就是二面角A-MA1-N的平面角，從而解三角形.

也可以在面ADD1A1中過點A作AF⊥DA1,垂足為點F，可證∠AMF為二面角A-MA1-N的平面角，解三角形即可.

總結評注選取傳統方法還是向量法，在于具體分析題中給出的條件，也根據自己掌握的兩種方法情況而定，題本身的信息量也多樣，給不同基礎的學生提供了想象的空間和多維度的平臺，同時考查學生分析問題和解決問題的能力，考查學生化歸和轉化的思想.試題把空間想象能力、邏輯推理能力、空間建系、向量運算、二面角的平面角和作圖能力很好地融合在一起.

2.4 作業布置

整理筆記，聯想思維對比，總結垂直問題解題策略，讓學生自己去揭示解題規律.

3 課后反思

本節課以問題為導向，以例題為載體，充分調動學生的積極性，從不同角度去思考分析，解決問題，從而全面地認識解決一個問題的多層次分析，多層次開拓，對知識進行了梳理，對思想方法進行了優劣對比，有利于對學生空間想象能力和邏輯思維能力的培養，但是對于二面角的平面角稍顯薄弱，表現在求二面角的大小分析，角度的范圍以及半平面的理解都是學生認識模糊的地方.對于二面角的平面角的求法有五種方法：①利用定義作出二面角的平面角；②利用三垂線定理及其逆定理作出二面角的平面角；③利用射影面積公式法；④利用向量夾角公式；⑤利用法向量.由于時間關系，并沒有對此做總結.作為一輪復習，全面綜合地分析問題很重要，也需要對學生進行專門地訓練，比如對于本節課至少需要做3-6道題對所有的方法進行集中訓練，才能在考場上做到游刃有余，省時高效.

教育的主題是喚醒人的超越性，超越需要開闊的精神空間.教書就是“拋磚引玉”，就是“留白”的藝術，就是“授人以漁”，就是鼓勵，就是解放手腳嘴巴，就是發現，是欣賞，是激發，是引導，是潛移默化地讓思維散開，讓精神升華，通過思維的引導讓精神變得豐富，在此之間，會有感情的碰撞，學生與學生，老師與學生，以及問題與學生都會產生微妙的感知變化，這種感知會引導大家向著更好的方向發展.