一道2021年高三八省聯考試題的多解探究

謝新華

(福建省莆田第二中學 351131)

基金項目：福建省教育科學“十三五”規劃課題2020年度教育教學改革專項課題“學科素養視域下‘讀思達’教學法的數學課堂應用研究”(項目編號：Fjjgzx20-077).

1 試題呈現

題目(2021年全國新高考適應性考試暨八省聯考數學第7題)已知拋物線y2=2px上三點A(2,2),B,C，直線AB,AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為 ( ).

A.x+2y+1=0 B. 3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

2 試題解析

解法1因為A(2,2)在拋物線y2=2px上，

所以22=2p×2，即p=1.

所以拋物線方程為y2=2x.

設過點A(2,2)與圓(x-2)2+y2=1相切的直線的方程為y-2=k(x-2)，即kx-y+2-2k=0.

則圓心(2,0)到切線的距離

圖1

所以直線BC的方程為

即3x+6y+4=0.故選B.

解法2因為A(2,2)在拋物線y2=2px上，

所以22=2p×2，即p=1.

所以拋物線方程為y2=2x.

設B(x1,y1),C(x2,y2)，設直線AB,AC的方程為y-2=k(x-2)，聯立y2=2x消去x,得

ky2-2y-4(k-1)=0.

即(y-2)(ky+2k-2)=0.

所以直線BC的方程為3x+6y+4=0.故選B.

解法3因為A(2,2)在拋物線y2=2px上，

所以p=1.

所以拋物線方程為y2=2x.

設過點A(2,2)與圓(x-2)2+y2=1相切的直線的方程為y-2=k(x-2)，即kx-y+2-2k=0.

則圓心(2,0)到切線的距離

即3x+6y+4=0.故選B.

解法4 因為A(2,2)在拋物線y2=2px上，

所以p=1.

所以拋物線方程為y2=2x.

圖2

即x-(b+c)y+2bc=0.

同理可得3c2+6c+2=0.

即b，c是關于t的方程3t2+6t+2=0的兩根.

所以直線BC的方程為3x+6y+4=0.故選B.

解法5因為A(2,2)在拋物線y2=2px上，

所以p=1.

所以拋物線方程為y2=2x.

即3x+6y+4=0.故選B.

解法6 因為A(2,2)在拋物線y2=2px上，所以22=2p×2，即p=1.

所以拋物線方程為y2=2x.

設B(x1,y1),C(x2,y2)，

即2x-(y1+2)y+2y1=0.

因為AB是圓(x-2)2+y2=1的切線，

所以3y12+12y1+8=0.

所以6x1+12y1+8=0.

即3x1+6y1+4=0.

同理可得3x2+6y2+4=0.

所以直線BC的方程為3x+6y+4=0.故選B.

3 試題變式

變式1設點F為拋物線y2=16x的焦點，A，B，C三點在拋物線上，且四邊形ABCF為平行四邊形，若對角線|BF|=5(點B在第一象限)，則對角線AC所在的直線方程為( ).

A．8x-2y-11=0 B．4x-y-8=0

C．4x-2y-3=0 D．2x-y-3=0

變式2已知P是圓C:(x-2)2+(y+2)2=1上一動點，過點P作拋物線x2=8y的兩條切線，切點分別為A,B，則直線AB斜率的最大值為( ).

變式3過拋物線x2=2py(p>0)上兩點A,B分別作拋物線的切線，若兩切線垂直且交于點P(1，-2)，則直線AB的方程為( ).