解題應重視自然而至簡的通解通法
——從一道二元二次函數最值題的研究談起

劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學 241000)

1 試題呈現與分析

題目已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，則x2+y2的最小值是____．

分析該題形式上以二元方程為背景命題，主要考查分析、解決二元問題的能力，強化對轉化與化歸、函數與方程、消元與不等式求最值等數學思想方法的考查，體現了邏輯推理、數學運算等數學核心素養.試題結構雖簡單、明了，但內涵豐富，本文嘗試對該題從不同的角度予以思考，給出不同的解法.

2 解法探究

角度1整體處理，借助不等式求最值.

解法1(配湊+基本不等式法)由5x2y2+y4=1，得y2(5x2+y2)=1.

評注通過代數化簡，將問題轉化為y2與5x2+y2的問題，條件式為兩者積為定值，目標式是與兩者有關的和，自然想到借助基本不等式求解.

解法2 (待定系數+基本不等式法)

由(x2+y2)2=x4+2x2y2+y4，

設(x2+y2)2=x4+ty4+2x2y2+(1-t)y4，

評注在得到(x2+y2)2=x4+2x2y2+y4后，聯想利用不等式將其放縮為5x2y2+y4的倍數，但是這里對系數的配湊不太容易，于是考慮待定系數法.利用待定系數法配湊，再借助不等式求最值的方法，往往可以降低配湊系數帶來的思維難度，讀者在日常的解題中可以嘗試該法的使用.

角度2化二元為一元，轉化為一元函數最值問題.

解法3 (消元+基本不等式法)

評注化二元為一元是解決二元函數的最直接做法，通法是消去其中一個變量，得到關于另一變量的函數，接著利用不等式、對勾函數等求出最值.

評注由條件式平方和為1的結構特征，聯想cos2θ+sin2θ=1，所以想到利用三角換元，將二元(x,y)問題轉化為一元(θ)問題，根據目標式特點選擇合適方式求最值.

解法5(三角換元+函數最值法)令x2+y2=r2，由5x2y2+y4=1知x,y至少有一個不為0.

設x=rcosθ，y=rsinθ，代入5x2y2+y4=1，整理,得

評注著眼于目標式特征，由于x,y至少有一個不為0，故設x=rcosθ，y=rsinθ，于是問題轉化為三角函數問題，順利實現減元，利用一元二次函數知識即可求出最值.

解法6(齊次化+基本不等式法)

角度3 著眼于目標式，借助方程判別式.

解法7 (判別式法)設x2+y2=t(t>0)，則x2=t-y2.

代入5x2y2+y4=1，整理,得

關于y2的一元二次方程4y4-5ty2+1=0.

方程有解的充要條件為Δ=(-5t)2-16≥0，

評注將目標式設為參數t，利用t將條件式轉化為關于y2的一元二次方程，將問題轉化為方程有解問題，借助判別式解題.

角度4 回顧函數本質，多元函數找對策.

對x求導,得

解法9(拉格朗日乘數法)構造函數f(x,y,λ)=x2+y2+λ(5x2y2+y4-1)，令f(x,y,λ)對x,y,λ的一階偏導數為零，則

評注函數偏導法與拉格朗日乘數法都是高等數學背景下的解法，提供給讀者參考.

3 變式推廣，總結通解通法

若令x2=u，y2=v，則問題等價于：已知5uv+v2=1，求u+v的最小值.我們不難發現，問題的實質為以二元二次方程為背景的二元函數最值問題，類似問題頻繁出現在高考和各類模擬考中，筆者經過整理，將此類問題根據條件式或目標式特征進行分類，并據此特征總結通解通法.

3.1 條件式為(ax+b)(cy+d)=m的二元最值問題

例1 若正實數x,y滿足xy-2x-y=6，則xy的最小值為____.

解析由xy-2x-y=6,得(x-1)(y-2)=8.

例2 設x,y∈R，且滿足4x+y+2xy+1=0，則x2+y2+x+4y的最小值為____.

解析由4x+y+2xy+1=0,

得(2x+1)(y+2)=1.

所以x2+y2+x+4y

方法歸納一般地，若已知實數x,y滿足(ax+b)(cy+d)=m(a,b,c,d,m均為非零實數)，求二元函數f(x,y)的最值，通法步驟為：

(2)將(1)中所得結果代入二元函數f(x,y)，得到關于t的一元函數；

(3)利用函數或不等式等方法解(2)中所得關于t的函數的最值.

3.2 條件式為(ax+by)(cx+dy)=m的二元最值問題

例3已知實數x,y滿足5x2-y2-4xy=5，則2x2+y2的最小值等于( ).

解析由5x2-y2-4xy=5,得

(5x+y)(x-y)=5.

例4 已知正實數x,y滿足2x2+2y2+5xy=1，則xy+x+y的最大值為____.

解析由2x2+2y2+5xy=1,

得(2x+y)(x+2y)=1.

所以xy+x+y

在λ∈[2，+∞)上單調遞減.

方法歸納一般地，若已知實數x,y滿足(ax+by)(cx+dy)=m(a,b,c,d,m均為非零實數，且ad≠bc)，求二元函數f(x,y)的最值，通法步驟為：

(2)將(1)中所得結果代入二元函數f(x,y)，得到關于t的一元函數；

(3)利用函數或不等式等方法解(2)中所得關于t的函數的最值.

3.3 條件式為(ax+by)2+(cx+dy)2=m的二元最值問題

例5 若正數x,y滿足x2+y2+xy=9，則x+2y的最大值為____.

解析由x2+y2+xy=9,得

例6 已知x,y∈R，且滿足x2+4y2+2xy=6，求z=x2+4y2的最值.

解析由x2+4y2+2xy=6,得

方法歸納一般地，若已知實數x,y滿足(ax+by)2+(cx+dy)2=m(a,b,c,d均為非零實數，m為正實數，且ad≠bc)，求二元函數f(x,y)的最值，通法步驟為：

(2)將(1)中所得結果代入二元函數f(x,y)，得到關于θ的一元函數；

(3)利用三角函數或不等式等知識解(2)中所得關于θ的函數的最值.

3.4 目標式為ax+by的二元最值問題

例7 已知正數x,y滿足x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是( ).

解析設x+2y=t(t>0)，則x=t-2y.

代入x+2y+2xy=8，整理,得

關于y的方程4y2-2ty+8-t=0(y>0).

方程有解的充要條件為

Δ=(-2t)2-16(8-t)≥0，

解得t≥4，

即x=2y時等號成立.

所以x+2y的最小值為4.

方法歸納一般地，若已知二元二次方程f(x,y)=0，求二元一次函數ax+by(a,b均為非零實數)的最值，通法步驟為：

(2)將(1)中所得結果代入二元二次方程f(x,y)=0，得到關于y的一元二次方程；

(3)利用判別式解(2)中所得關于y的方程有解對應的t的取值范圍，驗證等號成立取得所求最值.

3.5 目標式為ax2+by2的二元最值問題

例8 若實數x,y滿足x2+2xy-y2=7，則x2+y2的最小值為____.

解析設x2+y2=r2，易知x,y不同時為0，所以r≠0.

設x=rcosθ，y=rsinθ，代入x2+2xy-y2=7，

方法歸納一般地，若已知二元方程f(x,y)=0，求二元二次函數ax2+by2(a,b>0)的最值，通法步驟為：

(2)將(1)中所得結果代入二元方程f(x,y)=0，得到關于θ的方程；

(3)利用三角函數的有界性等知識解(2)中所得關于θ的方程，得到關于r2的不等式，得到r2的取值范圍，即得ax2+by2的最值.

4 教學啟示

數學解題的目的是什么？是求出問題的答案嗎？是，但不全是！解題的目的是鞏固數學基礎知識、落實數學基本技能、感悟數學思想方法、提升數學思維活動經驗，所以對一道典型問題，尤其是高考題的多角度分析與解答是非常有必要的.用多種方法解答同一道數學題，不僅能更牢固地掌握相關的數學知識，還能更靈活地運用所學知識．通過一題多解，分析、比較各種解法，可以找到最佳的解題途徑，從而發散學生的思維能力，對鞏固知識和解題能力大有裨益，是提高數學成績的一條捷徑．

當然并非解法越多越好，在尋求多解的過程中要突出通性、通法的輻射、遷移的作用，要追求水到渠成、自然而然的解題方法.正如數學家加德納說：“數學的真諦在于不斷尋求越來越簡單的方法證明定理和數學問題”.筆者認為這里所謂的“簡單”，不是指特殊的技巧，或書寫過程的簡潔，而是解答一道問題的思維過程是自然的、簡單的，運用的知識也是基礎的，正所謂“大道至簡”，因此文章中將近些年一些高考和模擬考中的關于二元最值題，按照條件式或者目標式的結構特征進行分類，總結其通解通法，以求讓學生能“做一題，通一類”，真正實現“一題多解，多解歸一”.另外，筆者認為在日常的教學中，教師還要指導學生結合自身掌握程度和實際情況，選擇最佳的解題方法，不要一味追求某一種解法，要學會從不同解法中汲取不同的數學思想，提高自身的數學核心素養.