研究一個圓錐曲線的難點
——解析幾何中向量最值

賀鳳梅

(新疆伊犁鞏留縣高級中學 835400)

1 試題呈現(xiàn)

A.3 B.4 C.5 D.9

2 總體分析

此題是2021年9月的一道高三調(diào)研試題，題干簡潔，解法靈活，不同的解法思維量不同，運算量不同，算得上是一道經(jīng)典題目. 我發(fā)現(xiàn)很多學生解答此題僅停留在很基本的認知階段，相當多的學生又因為計算不過關(guān)等原因不同程度卡殼，無法完成解答. 筆者試著將此題進行全方位剖析和解答，以期達到拋磚引玉之功效.

3 試題解答

解法1圓C的圓心為C(2,0)，半徑r=2.

當EF所在直線的斜率存在時，設直線方程為y=k(x-2)，

代入(x-2)2+y2=4,得

(x-2)2+[k(x-2)]2=4.

設E(x1,y1)，F(xiàn)(x2,y2)，不妨設x1

①

②

③

將①②③代入整理,得

所以x0=-1時，f(x0)取最小值，且為5.

當EF斜率不存在時，方程為x=2.

則E(2,-2)，E(2,2)，P(x0,y0).

評注因為直線過已知點，可設直線的點斜式方程，聯(lián)立方程組，求出交點坐標，再利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化得出關(guān)于x0的二次函數(shù)，最后利用單調(diào)性求出最小值. 此解法看似思路自然，比較符合學生的認知規(guī)律，但從呈現(xiàn)的解題過程來看，基本上是一道解答題的運算量，從嚴密性的角度來看，還要考慮斜率不存在的情況. 所以作為選擇題這樣求解，的確得不償失.

解法2根據(jù)直線EF過點C(2,0)，可設直線方程為x=my+2，代入(x-2)2+y2=4，得

[(my+2)-2]2+y2=4.

結(jié)合解法1，整理求解同樣可得

評注此解法所設方程為直線的橫截式，可以避免討論斜率是否存在的情形，但計算量仍然不小.那么，有沒有簡單的求解方法，實現(xiàn)小題小解呢？

解法3由向量加法的三角形法則,得

因為EF為圓C的直徑，

解法4 由向量的減法,得

結(jié)合解法1,得

下同解法1.

設P(x,y)，則x2-y2=1.

=(x-2)2+y2-4

=2x2-4x-1.

令g(x)=2x2-4x-1，x≤-1,

結(jié)合解法1可知，

x=-1時，g(x)min=g(-1)=5.

學術(shù)研究一向存在兩種具有辯證色彩的現(xiàn)象，可以分別稱為“大題小作”和“小題大做”。所謂“大題小作”，就是面對重大的、牽涉面廣的研究課題，研究者要善于突出重點、提煉精華，避免巨細兼顧、失之雜蕪；所謂“小題大做”，就是面對涉及的領域相對狹窄的研究課題，研究者要善于以研究對象為基點和核心做橫向拓展，善于勾連和比較，使立論扎實、內(nèi)涵豐厚。尚繼武的專著名為《〈聊齋志異〉敘事藝術(shù)研究》，但所論內(nèi)容不限于《聊齋志異》，也不限于“敘事藝術(shù)”，內(nèi)容豐富，視野開闊，可以稱得上是一本“小題大做”的著作。

評注此解法利用向量實現(xiàn)轉(zhuǎn)化后，再結(jié)合二次函數(shù)求最值，方法簡單可行，學生也容易掌握.

4 舉一反三

下同解法1.

=(x-1)2+y2-4

所以x=-4時，g(x)max=g(-4)=21;

x=4時，g(x)min=g(4)=5.

解法4由解法1或解法2可得

=cos2α-8cosα+12.

令g(cosα)=cos2α-8cosα+12，

而-1≤cosα≤1，

所以g(cosα)=cos2α-8cosα+12在cosα∈[-1,1]上單調(diào)遞減.

所以cosα=-1時，g(cosα)max=g(-1)=21;

cosα=1時，g(cosα)min=g(1)=5.

5 解題反思

解圓錐曲線和平面向量交匯題的方法通常有代數(shù)法和幾何法.代數(shù)法的關(guān)鍵是設點的坐標，將平面向量用坐標表示，運用向量的坐標運算法則(加、減、數(shù)乘)、運算律及數(shù)量積的意義，最終轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系；也可以利用幾何法，關(guān)鍵是利用加法的三角形法則、向量的減法、相反向量等，當然還要結(jié)合圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)進行運算和轉(zhuǎn)化.

高中數(shù)學教學的目的，歸根結(jié)底在于培養(yǎng)學生的理解能力和思維能力，提高解題能力是數(shù)學教學中一項十分重要的任務，始終貫穿于高中數(shù)學教學.在解題教學中，教師應該引導學生學會解題策略和方法，不斷進行分析和思考，從而深化對問題的理解，真正掌握解題的本質(zhì)，探索解題的思路和規(guī)律.這樣做更有利于培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)和數(shù)學能力.