對(duì)一道高一期末考試題的解法探究與推廣

董 強(qiáng)

(陜西省西安市第八十五中學(xué) 710061)

基金項(xiàng)目：陜西省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題“基于學(xué)科核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)研究”(項(xiàng)目編號(hào)：SGH20Y0157).

直線(xiàn)和圓是解析幾何初步的重要研究對(duì)象，主要培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立良好的“坐標(biāo)法”意識(shí)，形成用代數(shù)的方法求解幾何問(wèn)題的基本解析思想，為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓錐曲線(xiàn)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).本文以2019年河南南陽(yáng)一中高一期末考試直線(xiàn)和圓的綜合性試題為例，通過(guò)對(duì)試題的不同解法進(jìn)行探究，得到了一些有趣的結(jié)論，同時(shí)也促進(jìn)學(xué)生對(duì)解析幾何試題求解思路進(jìn)行梳理與總結(jié)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

1 試題再現(xiàn)

題目(2019年河南南陽(yáng)一中高一期末考試題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O:x2+y2=4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A1，A2，B1，B2.

(1)點(diǎn)Q是圓O上除A1，A2外的任意點(diǎn)(如圖1)，直線(xiàn)A1Q，A2Q與直線(xiàn)y+3=0分別交于不同的兩點(diǎn)N，M，求|MN|的最小值；

(2)點(diǎn)P是圓O上除A1，A2，B1，B2外的任意點(diǎn)(如圖2)，直線(xiàn)B2P交x軸于點(diǎn)F，直線(xiàn)A1B2交A2P于點(diǎn)E.設(shè)直線(xiàn)A2P的斜率為k1，直線(xiàn)EF的斜率為k2，求證：2k2-k1為定值.

圖1 圖2

2 解法探究

2.1 第(1)問(wèn)解析

解法1 符合題意的點(diǎn)Q應(yīng)在x軸下方.

由對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)Q位于點(diǎn)B1時(shí)，|MN|最小.因?yàn)椤鰽1B1A2∽△NB1M，|OB1|=2，|A1A2|=4，點(diǎn)B1到MN的距離等于1，所以|MN|=2，即|MN|的最小值為2.

解法2取MN的中點(diǎn)C，連接QC，因?yàn)椤螹QN=90°，所以|MN|=2|QC|.

所以要求|MN|的最小值，即求|QC|的最小值.

由圖1可知，當(dāng)點(diǎn)Q位于點(diǎn)B1時(shí)，|QC|取得最小值，為|-3-(-2)|=1.

所以|MN|的最小值為2.

解法3符合題意的點(diǎn)Q應(yīng)在x軸下方.

設(shè)Q(a,b)，則-2≤b<0，易知A1(-2,0).

因?yàn)?2≤b<0，所以當(dāng)b=-2時(shí)，|MN|的最小值為2.

所以直線(xiàn)A1Q與直線(xiàn)y+3=0的交點(diǎn)為N(3k-2,-3).

當(dāng)k>0時(shí)，

當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)等號(hào)成立；

當(dāng)k<0時(shí)，

當(dāng)且僅當(dāng)k=-1時(shí)等號(hào)成立.

故|MN|的最小值為2.

2.2 第(2)問(wèn)解析

解法1由題意可知，A1(-2,0)，A2(2,0)，B1(0,-2)，B2(0,2).

因?yàn)橹本€(xiàn)A2P的斜率為k1(k1≠0)，所以直線(xiàn)A2P的方程為y=k1(x-2).

直線(xiàn)A1B2方程為x-y+2=0.

所以直線(xiàn)EF的斜率

直線(xiàn)A1B2的方程為y=x+2.

直線(xiàn)EF的斜率

因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O:x2+y2=4上，

因?yàn)辄c(diǎn)E在A2P上，所以y1=k1(x-2).

解析第(2)問(wèn)中的三種證法都是通過(guò)直線(xiàn)方程求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出有關(guān)直線(xiàn)的斜率，進(jìn)而代入待求式子2k2-k1直接進(jìn)行化簡(jiǎn)，有效考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，三種不同的設(shè)點(diǎn)方式化簡(jiǎn)時(shí)的難易程度不盡相同，解法2中最后一步要充分利用點(diǎn)在圓上符合圓的方程的特點(diǎn)有效代換，相比而言，解法3看似字母多，但實(shí)質(zhì)化簡(jiǎn)簡(jiǎn)單，思路清晰.

3 結(jié)論推廣

試題中的第(1)問(wèn)對(duì)于任何圓而言，由對(duì)稱(chēng)性可知，均有點(diǎn)P在點(diǎn)B1處時(shí)到MN的距離最小，等于圓的半徑.對(duì)于第(2)問(wèn)而言，這個(gè)定值是1，圓的半徑是2，那么這個(gè)定值是否與圓的半徑有關(guān)？對(duì)于任意半徑的圓，是否還有2k2-k1是一個(gè)定值？

結(jié)論1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O:x2+y2=r2與坐標(biāo)軸分別交于A1，A2，B1，B2.點(diǎn)P是圓O上除A1，A2，B1，B2外的任意點(diǎn)(如圖2)，直線(xiàn)B2P交x軸于點(diǎn)F，直線(xiàn)A1B2交A2P于點(diǎn)E.設(shè)直線(xiàn)A2P的斜率為k1，直線(xiàn)EF的斜率為k2，則2k2-k1為定值1.

因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O:x2+y2=r2上，

因?yàn)辄c(diǎn)E在A2P上，所以y1=k1(x-r).

評(píng)析從上述的探究證明中可以看出，即使圓的半徑改變了，但依然保持2k2-k1是一個(gè)定值，是與圓的半徑無(wú)關(guān)的常數(shù)1，這是圓的一種本質(zhì)屬性的反映，考慮到橢圓和圓具有很多相似的性質(zhì)，該結(jié)論還可以在橢圓中進(jìn)行進(jìn)一步的推廣.

圖3

證明設(shè)F(t,0)，P(x0,y0)，E(x1,y1)，則

因?yàn)辄c(diǎn)E在A2P上，y1=k1(x-a)，

解析對(duì)于結(jié)論1和結(jié)論2除了上述的證法之外，均有和原試題相似的其他證法，這里不再一一贅述.結(jié)論1可以看作是結(jié)論2的特殊情形.