合理轉化 妙設巧算
——十法破解2021年成都三診12題

李小蛟

(四川省成都市樹德中學光華校區 610091)

基金項目：四川省數學會重點立項課題“提升學生核心素養的高中數學課程校本化研究”(項目編號：2020SXHJY004).

1 題目呈現

A.14 B.10 C.8 D.2

2 解法探析

所以D(-cosθ,-sinθ).

解法2 由題意，得

所以不妨令A(2cosθ,2sinθ),

代入化簡,得

評注圓上點的坐標之間相互依存，圓心角為定值，所以直接采用圓心角之間的關系三角換元(參數方程)，直接代入化簡.

解法3 由題意可得O為ΔABC的重心，

=(-3cosθ,2-3sinθ)·(-6cosθ,-2-6sinθ)

=18cos2θ-4-6sinθ+18sin2θ

=14-6sinθ≥8(當sinθ=1時取等).

=(-x,2-y)·(-2x,-2-2y)

=2x2-4-2y+2y2

=14-2y.

評注由于三角形上三點之間相互依存，雖位置不定但始終存在任意兩點距離相等的聯系，故可將三角形頂點固定，將點P看成圓上的動點，將多動點問題轉化為單動點問題，再利用圓的參數方程將坐標雙變量轉化為角度的單變量，回歸三角，減少運算，直接利用三角函數的有界性求取最值.

解法6令A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，由題意可得O為△ABC的重心.

故x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=0.

不妨設x1=2cosθ,y1=2sinθ，

所以當θ=φ時，原式有最小值為8.

評注利用三角形重心的坐標公式將三個頂點坐標建立等量關系，將平面向量數量積回歸到坐標運算，通過三頂點在圓上，進行一系列代換，轉化為頂點中一點的坐標關系運算，再次利用參數方程.

解法7 由解法6，得

令M,N分別為AB,AC中點，Q為MN中點，

評注本題作為選擇題，觀察題目結構，分析題目條件和所求數量積之間關系，盡量數形結合，以形助數，做到小題小做，優化解法，提升解題效率.

平面向量的數量積一直是高考的熱點問題，正確理解數量積的定義和幾何意義是處理問題的關鍵；同時要將三角、函數、解析幾何、不等式等相關知識加以遷移滲透，綜合運用，注重數形結合、化歸與轉化等數學思想；在解題歸納上注重模型意識，合理轉化，妙設巧算，才能將核心素養在解題中得到真正體現和展示.