三角形邊等差的解法及命題意圖探究

劉小樹

(安徽省固鎮縣第一中學 233700)

1 試題呈現

2 試題解析

解法1(基本不等式法)

①

②

又由余弦定理及不等式，得

解法2 (配角三角公式變換法)

2sinB=sinA+sinC.

③

解法3 (建系構造橢圓法)

圖1

④

于是④化為

即當△ABC為等邊三角形時取到最小值.

解法4(Jensen不等式法)

因為f(x)=sinx,x∈(0,π),f″(x)=-sinx<0,所以f(x)為上凸函數.

又2sinB=sinA+sinC,

所以3sinB=sinA+sinB+sinC

又因為2sinB=sinA+sinC,2b=a+c,

即a,b,c成等差數列.故b不是最大邊.

由基本不等式，得

sin2B≥sinA·sinC,當且僅當A=C取等號.

3 試題命題意圖分析

試題用了4種方法解題，從解法1到解法4，解題要求難度逐漸加大，但是從考后調查發現，以上四種解法中，解法1，2僅少部分同學使用，解法3更是罕有人用，競賽黨同學容易想到解法4.試題難度系數0.22，區分度0.45，全市得分率為22.01%，最好的學校得分率也僅為40%，足見得分很低.大多數同學使用的方法讓命題者欣慰又大跌眼鏡：直接根據對稱性取正三角形得到答案.這不得不讓人思考，為什么會出現這種事與愿違的結果呢？可以從兩個方面分析：一方面：大多數同學做16題常使用極限法、特殊圖形或特殊值法，加上考試時間緊，壓軸小題難度大，學生不敢在這里耗費時間，不得不取特殊圖形法，而且驗算后發現符合要求，就鋌而走險解題.另一方面如果答案被學生輕而易舉猜到，說明命題沒有體現隱形性，要從命題角度考慮了.本題條件容易讓考生聯想到特殊圖象法.

如果設置為

⑤

或cosA+2cosB+cosC=2，

⑥

或5cosA+5cosC-4cosAcosC=4.

⑦

相對來講更能達到壓軸和考查的目標.這是因為以上三種情形不易被考生猜到特殊圖形，即使猜也沒有理由.實際上這三種情形是等價的，最終都可以化為2b=a+c，這樣既能達到考查要求，又不會被學生鉆了空子，從而導致命題的尷尬境地.對于以上重新設置的條件為什么可以達到壓軸目的呢，下面將轉化過程具體證明，大家就一目了然了.

三種形式等價證明如下：

?a(1+cosC)+c(1+cosA)=3b

?a+c+acosC+ccosA=a+c+b=3b

?2b=a+c；

⑥cosA+2cosB+cosC=2

?cosA+cosC=2-2cosB

?2sinB=sinA+sinC

?2b=a+c；

⑦5cosA+5cosC-4cosAcosC=4

同⑥可化為2b=a+c或b=2(a+c)(舍).

不難發現， ⑤⑥⑦考查知識方法更全面、豐富、多元性、隱形性,可以多層次考查學生.另外大家還發現①至⑦都是等價命題.

高中數學命題原則一般是條件間要滿足相容性，不得與公理定理概念相矛盾；力求語言描述準確無歧義；解題方法多元性，多種知識、思想相互溝通，對考生有啟發性；試題素材要新穎、豐富、典型、隱形性，防止猜題.

命題是一項重要的工作，教師命題必須緊扣教學大綱和高考核心素養要求，合理命題，既要考查學生對基礎知識，思想方法的掌握情況，又要讓學生從問題中訓練思維，提升能力，得到啟發，使學生在解題中領悟命題意圖，達到融會貫通，舉一反三.命題要反復斟酌，力求做到沒有失誤，才能命出解法自然，形式完美的經典試題.