對接賦值非良策 化整為零乃妙方
——對一類數列求和問題的分析與思考

葉誠理 林新建 林品玲

(1.福建省福清第一中學 350300;2.福建省福清進修學校 350300)

以函數、導數為背景的數列求和取值范圍問題，是近年來高考壓軸題的常客．對非常規的數列求和問題學生往往束手無策，需要從數學思想方法的高度對問題進行化歸轉化、構造賦值，難度極高．那么，有沒有比較自然的解題策略呢？下面舉一道典型例題加以剖析．

1 試題呈現

(2)若不等式f(x)≥1在x∈[0,+∞)時恒成立，求實數a的取值范圍；

2 命題意圖分析

本題考查導數及其應用，旨在運用導數研究函數的單調性、不等式恒成立問題以及構造函數證明數列不等式的方法，綜合性較強，考查學生分析問題和解決問題的能力，考查學生的數學抽象、直觀想象和邏輯推理等核心素養．

3 解答難點剖析

本題難在第(3)問，對于這類出現在導數壓軸題中的數列求和不等式問題，常見的解題套路是對接前面的函數不等式結論，對變量x有效賦值，結合對數運算，從而構造與結論相匹配的數列通項，利用數列求和的裂項相消法證得不等式．

將上述式子相加可得：

原不等式得證．

評析對考生而言，完成以上這樣的對接賦值具有極高的難度，需要較強的數學抽象能力和直觀想象能力，他們往往束手無策，望題興嘆而已！

4 難點突破策略

由此可運用化整為零策略，令

當n≥2時，則

bn=Sn-Sn-1

由此只需證明

求導或利用第(2)問的結論便可輕松予以證明.

故對任意n∈N*，an

5 命題路徑探秘

將函數、導數、數列、不等式結合的綜合問題是近年來高考的熱門題型．解題者遵循“求和看通項”這種化整為零的思路破解這類試題，而命題者則遵循“從通項生成和”這種逆向思維命制試題，命題過程中充分體現了函數與方程、化歸與轉化、化整為零的數學思想，本種命題手法在全國高考卷中屢見不鮮.

例2 (2017年全國Ⅲ卷理科22)已知函數f(x)=x-1-alnx．

(1)若f(x)≥0，求a的值；

進而不等式兩邊分別構造兩個數列，其中右邊轉化成常規的等比數列求和，問題便水到渠成．

例3 (2014年高考全國Ⅱ卷理科17題)已知{an}滿足a1=1，an+1=3an+1．

6 教學研究感悟

為什么有許多學生解決不了一些并不復雜甚至是簡單的數學問題呢？除了極少數學生不知道相應的數學知識外，絕大部分學生不是不會方法，而是由于沒有站在思想的高度來思考和引領方法，或者是因為思想不明確而想不起來用什么方法來處理問題．

上述試題的自然解法源于數學思想的指引，善于觀察不等式的結構特征，把不等式兩邊看成兩個數列的求和，從而構造兩個數列，把研究和的大小轉化成判斷通項的大小，體現了化整為零、化歸與轉化、函數與方程思想在數學解題中的重要作用．

解題是命題的基礎，命題是解題的超越.作為一線數學老師，不但要研究試題的解題方法、分析試題的產生背景，還要揣摩命題者的思路、懂得試題的命制原理，這樣才能促使自己在教學中能更好地引領學生把握試題的本質，從數學思想方法的高度提高解題的能力和素養．