例談雙元不等式證明中的減元策略

張志剛

(山東省寧陽縣復圣中學 271400)

雙元(例如x1，x2)不等式的證明是高考數學?？汲Ｐ碌拿}熱點，解答時往往需要適時構造新函數，借助導數工具加以討論.鑒于高中階段僅限于學習一元函數的導數運算及應用，因此，證明雙元不等式的核心思想就是減元(消元)，即將雙元不等式轉化為一元函數不等式去解決.如何有效地實施減元就成了解題的關鍵，采用何種策略要視具體題設條件而定，不可一概而論.本文以近年高考試題和模擬題為例，探討具體題設環境下如何實施消元.

1 商式換元法

其基本原理是：依據題設條件，如出現兩個齊次式之商的形式，則可以考慮將函數表達式轉換成關于兩元比值的單變量函數.

此方法常常用于對數函數為背景的雙元不等式證明.

由切線不等式lnx

例2 已知函數f(x)=ax2-blnx在點(1，f(1))處的切線為y=1.

(1)求實數a，b的值；

解析(1)a=1，b=2.(過程略)

(2)因為0

所以g(t)在(1，+∞)上單調遞增.

所以g(t)>g(1)=0,原不等式成立.

2 差式減元法

類比商式換元法，我們也可以依據題目條件，考慮將函數表達式轉換成兩元之差的單變量函數.此方法常常用于指數函數為背景的雙元不等式證明.

設t=b-a(t>0),

設g(t)=t+2+(t-2)et(t>0),

g′(t)=1+(t-1)et(t>0).

設h(t)=g′(t)，則

h′(t)=tet>0.

所以h(t)即g′(t)在(0，+∞)單調遞增.

從而g′(t)>g′(0)=0，

g(t)在(0，+∞)上單調遞增.

所以g(t)>g(0)=0.

2t0).

設f(t)=et-e-t-2t(t>0),則

所以f(t)在(0，+∞)上單調遞增.

從而f(t)>f(0)=0，即原不等式成立.

3 韋達消參法

當雙元x1,x2是某二次方程的兩根時，通過韋達定理求出x1+x2，x1x2，并考查是否為定值.若某一式(如下面例5中x1x2=1)為定值，利用此定值條件揭示的兩變量間的聯系，將其中一個變量用另一個變量來表示，代入相應的不等式中，以達到消元之目的.顯然，本方法一般適用于導函數為二次函數的函數不等式的證明.

(1)討論f(x)的單調性；

解析(1)略.

(2)由(1)知，若f(x)存在兩個極值點，則a>2.

由于f(x)的兩個極值點x1,x2滿足

x2-ax+1=0，

由韋達定理，得x1x2=1.

不妨設x11.

所以欲證不等式等價于

由(1)知，g(x)在(0,+∞)單調遞減.

又g(1)=0，從而當x∈(1,+∞)時，g(x)<0.

例6已知函數f(x)=x2-x+aln(x+1)，其中a∈R.

(1)求f(x)的單調區間；

解析(1)略.

(2)由(1)知，若f(x)存在兩個極值點，則

由于f(x)的兩個極值點x1，x2滿足

2x2+x+a-1=0，

由韋達定理，得

=x2-(2x2-1)ln(x2+1).

g(x)=x-(2x-1)ln(x+1)，

設h(x)=g′(x)，則

>ln1=0，

4 主副元減元法

其基本原理是：在雙元函數不等式中，將其中一個變量作為主元，另外一個變量作為副元(參數)，從而構造一元函數來證明，達到減元的目的.

證明由于0

所以F(x)在(x1,+∞)上單調遞減.

從而F(x)

令x=x2，F(x2)<0,即原不等式成立.

點評在本題確定主副元時，鑒于欲證不等式中x2出現次數較少，則首選x2作為主元,x1作為副元嘗試解答.當然，有些題目兩元出現次數相當時，也可考慮用主副元法.

例8已知函數f(x)=ln(x+1)-x，g(x)=xlnx.設0

證明(1)設

所以F(x)在(a,+∞)上單調遞增.

從而F(x)>F(a)=0.

所以G(x)在(a,+∞)上單調遞減.

從而G(x)

綜上，原不等式成立.

點評本題考查了應用導數證明不等式的一個重要方法——設輔助函數法：將不等式所有的項移至不等式一側，另一側為0，然后構造輔助函數，按部就班解答即可.但本題中的不等式是雙變量不等式，就需考慮選擇一個元作為主變元，另一個作為參數了.例如上述解答中，即將b視為主元，將a視為副元完成證明.而在主變元的選取上，一般遵循的原則是：

①出現次數較少的字母為主變量，目的自然是為了構造函數后求導運算的便利；

②數值較大的字母為主變量，例如本例中的b.