高中數學數列試題的解題方法與技巧

姬秀云

(山東省東營市第一中學 257000)

在整個高中數學教材中，數列和函數導數的解題方法最多，也最能體現多樣的數學思維.數列章節作為高考高頻考點和數學多樣思維的體現，在求通項及求前n項方面有著眾多的方法，需要教師進行細致地分類和講解，并列舉典型的例題讓學生進行更好地吸收.

1 高中數學中數列知識的內容和重要性

1.1 數列章節的基本知識和教學內容

數列在各地的高考中都占據著十分重要的地位，往往分值較高難度較大，是教學工作中的重難點.在這一章節中，書本主要講述了等差數列、等比數列以及兩個數列的綜合應用.雖然大綱上輕描淡寫，但其中包含的數學思想和數學方法卻十分豐富，尤其是在求數列通項和數列求和兩方面，方法五花八門且應用靈活.教師需要將各類方法進行細致歸類，并選取典型例題對學生進行詳細講述，讓學生依據例題進行舉一反三，實現數學思維和能力的升格.

1.2數列章節對整個數學學習過程的重要意義

數列這一章節所用到的倒序相加、錯位相減、累加法、累乘法等解題方法體現了各類數學思想的魅力.這些方法的思想內核不僅與函數、導數等章節息息相關，對學生日后進入大學學習高等數學中的極限和積分也有著十分重要的基礎作用.在進行方法指導時，依據函數導數等知識與數列間的聯系，充分打開學生的發散性思維，提高學生的數學學科素養，對有能力的學生也可進行適當的極限和積分方面的拓展延伸，便于學生形成更為全面和完整的思維體系.

2 求數列通項的解題方法與技巧

數列章節的知識主要分為等差數列、等比數列和等差等比數列的綜合應用，在整個章節中，對各類方法的要求十分繁雜，尤其在求解通項公式和數列求和兩個方面，有著眾多的解法.求數列通項的方法主要包括定義法、累加和累乘法、構造當遇到等式右面是分式且較為復雜，同時與左面的倒數有關系時，可采用取倒數的方式進行新數列的構造.除此以外，對一些特殊的數列，可以通過簡單的觀察歸納法和復雜的對數求解等進行額外方法的處理，最后得出相應的通項公式.

2.1 定義求通項法

利用等差、等比數列的定義求通項、主要適用于給出Sn和an之間關系的試題，可利用an=Sn-Sn-1這個公式進行相關求解.求解時，需要額外考慮a1=S1這一特殊情況.

例如對Sn=2n2-3n進行數列通項求解時，可先考慮第一項，把n=1代入，可得出a1=S1=-1,隨后利用上述公式，得出an=Sn-Sn-1,n≥2且n恒為正整數.這時可得出an=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1),化簡求解后，若a1也符合這個式子，則直接得出an等于這個式子，否則需要將其與n≥2的情況分開.這類方法利用的條件在于題目中給定Sn與an的關系，或者題目中給出Sn的表達式.

2.2 累加和累乘方法

累加法適用的試題模板是an+1=an-f(n).針對這一式子，需要通過移項，把an移到等式的左面，然后依次給n從1到n賦值，等式兩邊分別進行上下相加，最后將兩邊都消解成一個式子.

例如an+1=an+2n,a1=2這個試題，在求解的過程中可以先移項，再依次將n賦值，首先是a2-a1=2,a3-a2=4,a4-a3=6，…，an+1-an=2n,然后將等式左面先相加，得出an+1-a1這個代數式，這時等式右面的和為2+4+6+…+2n，我們會發現這是一個等差數列，直接利用等差數列的求和公式進行求解，再加上給出的a1值便可得出an+1的通項公式，通過變形便可得出an.累乘法與累加法原理相同，只是將累加過程中的加減運算改變成了乘除運算.適用公式是an+1=an·f(n).

2.3 構造法

這類方法是待定系數法，通過構造相關函數等形式對復雜的式子進行變形.最為基礎的形式為an=kan-1+t,可以利用待定系數法將式子變形成an+m=k[an-1+m],在保證式子與原式相等的基礎上構造出新數列an+m，這個新數列是一個等比數列，前一項與后一項的比值為k.當把t換成f(n-1)，則前面一項在構造時則相應變成f(n)，即構造an+f(n)=k[an-1+f(n-1)].

2.4 倒數法

這類方法主要適用于等式兩邊存在分式，而分子部分相對復雜，且分式左右兩邊存在著密切聯系的情況.首先是等式左邊通常是an或者其他的數列單獨式子，等式右邊的分子和左邊類似，也是一個單獨的式子.分母部分往往較為復雜.

2.5 其他方法

除了以上的幾種常用方法以外，求解數列的通項公式還有觀察法、歸納法和直接利用公式等.對于一些較為簡單的公式，可以通過下標和輔助公式進行初步處理，然后通過求數列通項公式進行直接求解.對一些特殊的數列，如斐波拉契數列等，往往會在試題中給出特殊數列的前幾項，需要學生通過觀察與分析得出數列的基本規律，然后進行相關的試題解答.有些數列本身十分復雜，需要學生通過取對數等手段進行處理，教師可對這些方法進行簡單介紹，便于數學思維能力較強的學生攻克復雜的試題，獲得更大的提升.

3 數列求和的方法和技巧

除了求數列的通項之外，數列求和也是高考中十分重要的考查內容，主要包括錯位相減法以及裂項相消法，除此以外，還有分組求和法以及倒序相加法等.教師在進行教學時，可依據例題對學生進行介紹與舉一反三，讓學生靈活應用這些方法解決相關習題.

3.1 錯位相減法

錯位相減法主要用于解決等差比數列的求和問題，在原數列求和的基礎上乘上等比數列的q值，然后上下兩個式子進行相減，得到(1-q)Sn.

例如等差比數列cn=an·bn,{an}是等差數列，{bn}是等比數列，這時將兩個式子進行相乘，便可采用錯位相減法，首先計算Sn=a1×b1+a2×b2+…+an×bn，然后在下一行進行q×Sn的計算，把a1×b1的位置空掉，從第二個位置下面開始寫：a1×b2+a2×b3+…+an×bn+1,然后將上下兩個式子相減，得到(1-q)Sn=a1×b1+b2(a2-a1)+…-an×bn+1,然后可以在這一式子中得到新的等比數列，利用對應的求和公式進行求解即可.這類數列求和的方法主要應用在等差數列與等比數列相乘的情況下，尤其需要注意的是有的時候兩個數列以相除的方式出現，這時可以看做等差數列與等比數列的倒數進行相乘，仍然可以采用錯位相減的解題方法.

3.2 裂項相消法

3.3 分組求和法

這類求和方法通常適用于不同數列的相加和相減過程，這時需要將兩個式子進行分開求和，最為常見的是一個等差數列和一個等比數列之間進行相互加減運算.例如cn=2n+n，首先可利用等比數列的求和公式對整個式子的前面部分進行求和，再利用等差數列的求和公式對后面的式子進行求和，然后將這兩次求出的和相加，便可得到最終的求和結果.在對帶有絕對值的數列進行求和時，一定要注意對大于零和小于零的部分進行分組求和.

例如在對an=|2n-5|進行求和時，先要找出這個絕對值內部的式子大于零的拐點，也就是n=3，然后對n<3和n≥3兩種情況進行展開討論，前一種情況直接進行計算，而后一種情況則是利用前三項的和再加上剩余項的和來實現數列的最終求和過程得到結果.

在新課標改革的背景下，高中數學更加重視學生的實踐應用能力和數學思維的培養.而數列這一章節對學生思維能力的訓練和數學學科素養的塑造有著十分重要的意義.在數列這一章節的解題過程中，所應用到的方法五花八門，主要表現在數列的求通項過程和數列的求和過程，教師可通過典型的例題對各類方法進行分類總結，并通過舉一反三的訓練讓學生充分掌握這些方法，在訓練的過程中提高思維能力.數列求通項主要包括定義法、累加累乘、構造法、倒數法以及觀察歸納和其他一些高難度的方法，而數列的求和過程主要包括等差比數列的錯位相減、分式的裂項相消、多項式的分組求和法三種，教師應做好各類方法的分類整合工作.