平面向量數量積幾何意義的應用

陳喜楊

(福建省莆田第六中學 351111)

高考中對平面向量數量積最值題目的考查常用其幾何意義，這種題型涉及的條件通常是一個向量已知、另一個向量運動變化，考查學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養，以及學生運用運動變化的思想分析問題、解決問題的能力.向量具有代數和幾何的雙重身份，不但有數的特征，而且有形的特點，是把代數與幾何很好地連接起來的紐帶，是數形結合的天然橋梁，向量中的很多問題常常借助于圖形的幾何性質，可以給抽象的運算以直觀的解釋，顯得簡捷方便.通過向量數量積解決問題使學生深入理解數學各知識之間的滲透，體會數學知識的抽象性、概括性和應用性，從而提高學生解題的正確率.

1 從幾何角度理解平面向量數量積的定義

平面向量數量積的公式：a·b=|a|·|b|cosθ，其中θ=，|b|cosθ叫做向量b在向量a方向上的投影，因此投影是一個數量，不是向量.當θ=0°時投影為|b|，當θ為銳角時投影為正，當θ=90°時投影為0，當θ為鈍角時投影為負，當θ=180°時投影為-|b|.故平面向量數量積a·b的幾何意義是：向量a的長度|a|與向量b在向量a方向上的投影|b|cosθ的乘積.

平面向量數量積是向量的核心內容，屬高考常考內容.利用平面向量數量積可以解決長度問題、夾角問題、垂直問題以及平行問題等.

2 平面向量數量積的應用

2.1基底與數量積的綜合應用

當長度已知、向量夾角已知時，首先考慮用向量的三角形法則和平行四邊形法則，選擇兩個長度已知、夾角已知的向量為基底來表示要求的向量，再結合平面向量數量積的幾何意義求解.

圖1 圖2

2.2 平面幾何知識與數量積的幾何意義的融合

幾何與代數是高中數學課程的主要內容之一，在向量數量積幾何意義的應用中，整合了數學中的代數運算和幾何圖形，引導學生通過數形結合，提升直觀想象、數學運算及邏輯推理的核心素養.

圖3

因為O為△ABC的外心,所以△ABC為直角三角形且∠BAC=90°.

評注此題出現了三角形外心的條件，要能根據外心的條件直接聯想到一些學過的平面幾何的知識，并學以致用、聯想推理從而達到解決問題的目的.題目中的已知條件反映了圖形的幾何性質,通過圖形使得幾何條件及各數量之間的關系得以直觀地呈現出來.

2.3 平面向量的應用與轉化思想

向量數量積常用的方法之一是轉化，轉化思想是指在解題時根據題目中的已知條件，結合定義、圖象、性質或者公式把問題轉化成我們能解決的數學問題，從而達到解題的目的.這個過程通常是把未知轉化為已知、抽象轉化為具體、復雜轉化為簡單，使我們能夠用已學過的知識來解決遇到的問題.

圖4

此題使用了數量積的幾何意義，應用轉化思想把抽象的數學問題通過直觀想象作出圖象，使問題具體化、可視化，考查學生在處理數學問題時的遷移和應用.對比兩種解法，由于本題是填空題，小題小做，故將數量積的幾何意義聯系數形結合進行求解，計算量較小，用到的知識點較少，更方便得出結果，而且也更容易判斷出取最大值時點P的位置.

2.4 數量積幾何意義在求數量積取值范圍的應用

解析分別過點F，C作FM⊥AB，CN⊥AB交直線AB于點M，N，則點F，C在直線AB上的投影分別為點M，N.

如圖5，根據正六邊形圖形的性質，得∠FAB=∠CBA=120°,故AM=BN=1.

圖5

向量是高中很多知識點之間的一個連接點，是聯系各個知識點的橋梁，是高中數學中重要的內容之一，發揮著舉足輕重的作用.復雜背景下求向量數量積的最大值、最小值,關鍵是挖掘隱含條件來達到已知與未知的轉化，化數為形，從而解決問題.