高中數學解題中向量法的運用

陳蘇平

(江蘇省南京市溧水區第二高級中學 211200)

運用向量法解答高中數學習題的難點在于如何根據已知條件構建合理的向量，因此教學中應注重給予學生運用向量法解題的引導，而后要求學生靈活運用向量的幾何及其坐標運算知識順利地求解相關習題，使學生親身體會用向量法解題的簡便之處.

1 向量法用于解答三角函數習題

解析由題意可設m=(cosα，sinα)，n=(cosβ，sinβ)，則m+n=(cosα+cosβ，sinα+sinβ).

又因為0≤|m+n|≤|m|+|n|，

點評應用向量法解答三角函數習題時，既要注重利用三角函數的相關公式以及一些隱含條件，又要根據已知條件運用向量構建不等關系.

2 向量法用于解答不等式習題

點評運用向量法求解不等式習題具有一定的技巧性，可根據解題經驗以及已知條件構建相關向量，而后運用向量與其模之間的關系進行求解.

3 向量法用于解答平面幾何習題

解析建立如圖1所示的平面直角坐標系：

圖1

點評運用向量法求解幾何問題時，通常構建平面直角坐標系，借助向量的坐標運算簡化解題步驟，提高解題效率.

4 向量法用于解答立體幾何習題

例4如圖2，已知三棱柱ABC-A1B1C1中∠BAC為直角，AB=AC=1，BB1=2，∠ABB1=60°.若B1C=2，求二面角B1-CC1-A的余弦值.

圖2 圖3

設n2=(x2，y2，z2)為平面B1CC1的法向量,

設二面角B1-CC1-A的平面角為θ，則

點評解題的關鍵在于構建正確的空間直角坐標系，找到線、面相關的向量以及法向量，而后通過數學運算求解.

5 向量法用于解答直線與圓習題

點評向量法與幾何知識有著密切的聯系，因此，解題時應注重熟練運用向量知識并借助數形結合的思想，更加直觀地尋找相關點、線段之間的關系，達到化難為易，迅速解題的目的.

6 向量法用于解答數列習題

所以an-1+an+1=1-λ，1-an=λ.

所以an-1+an+1+1-an=1.

所以an-1+an+1=an，an+an+2=an+1，an-1+an+1+an+2=an+1.則an-1+an+2=0，an+an+3=0，an+3+an+6=0.所以an=an+6.

數列{an}是以6為周期的數列，因為a1=a2=1，所以a3=a2-a1=0，a4=a3-a2=-1，a5=a4-a3=-1，a6=a5-a4=0.

所以a1+a2+a3+a4+a5+a6=0.

因為2021=6×336+5，

所以S2021=S5=0.

點評向量常作為工具解答高中數學相關習題，尤其當遇到向量與數列相結合的習題時，應注重積極聯系所學的向量結論迅速地找到解題切入點.

7 向量法用于解答圓錐曲線習題

解析由雙曲線離心率定義可知，

點評運用向量法解答圓錐曲線習題并注重靈活運用向量的相關運算，同時還應注重對要求解的結果進行適當地轉化，運用換元法降低計算復雜度，確保問題得以順利突破.