例析圓錐曲線解答題中的雙向量系數問題

李 寧

(海南省海南中學 571158)

于是y3-1=-λ，即λ=1-y3.

同理，μ=1-y4.

由于P,A,M三點共線，有

直線l斜率不為0，設其方程為x=m(y-1)，與y2=4x聯立，得

y2-4my+4m=0.

從而y1+y2=4m，y1y2=4m.

解析由題知F(1,0)，設A(x1,y1),B(x2,y2)，M(0,y0)，則

從而x1=λ(1-x1)，y1-y0=-λy1.

因為點A在橢圓C上，則

評注例2和例1類似，可以用相應點的橫坐標或縱坐標來表示λ+μ，再利用韋達定理整體消元. 這里注意到例2的特殊性，A,B兩點地位相同，利用點A在橢圓C上構建λ有關的二次方程，同理得到跟μ有關的二次方程，利用韋達定理直接得到λ+μ的值.

解析由題知F1(-1,0),F2(1,0)，設A(x1,y1),M(x2,y2),N(x3,y3)，則

故-1-x1=λ(x2+1)，-y1=λy2.

因為點M在橢圓C上，從而

2(1+λ)x1=λ2-2λ-3=(λ-3)(λ+1).

由于λ>0，從而2x1=λ-3.

即λ=2x1+3.

同理μ=-2x1+3.

故λ+μ=6為定值.

評注從構圖上來看，點A確定了以后，整個圖形就能確定下來. 通過設點法，充分利用點在橢圓上消去二次項，得到參數之間的關系. 其實，也可以通過焦半徑的計算來實現轉化.

從而λ=2x1+3.

設A(x1,y1),B(x2,y2)，則

x0=λx1+μx2，y0=λy1+μy2.

由于M在橢圓上，從而

(λx1+μx2)2+4(λy1+μy2)2=100.

x1x2+4y1y2

=20,

評注這里充分利用M,A,B三點在橢圓上來處理二次項，由直線方程和橢圓方程聯立,通過韋達定理處理交叉項x1x2+4y1y2.

小結這類問題往往涉及到圓錐曲線上兩個或更多動點，可以由題目給的向量條件溝通相應點的橫坐標和縱坐標的關系，接下來就是消元. 可以分析整個圖形的構圖，考查是由動直線還是動點主導，從而考慮采取設線法還是設點法. 設線法，用韋達定理整體消元；設點法，利用點在圓錐曲線上來消元.

答案:λ+μ=-1.

答案:(2,0).