圓錐曲線中的直角弦問題
2022-04-01 11:27:10盧會玉
數理化解題研究 2022年7期
盧會玉
(甘肅省嘉峪關市第一中學 735100)
圓錐曲線中的直角弦問題是高考考查的一個重要考點，也是一類特征非常明顯的問題.可以通過探索找到涉及直角弦問題的試題特點，找到解決問題的合適方式.
1 直角弦定義
直線與曲線相交于兩點A,B，若存在點P，使得PA⊥PB，則弦AB叫做相對于點P的直角弦.
2 橢圓中的直角弦
2.1 橢圓與雙曲線中相對于曲線中心的直角弦
(a+bk2)x2+2kmbx+bm2-1=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2)，由韋達定理,得
即x1x2+y1y2=0.
所以x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.
則(a+b)m2=k2+1.
所以原點O到直線l的距離為
所以原點O到直線l的距離d為定值.
(1)求C1的方程;
點M到(1,0),(-1,0)距離之和為2a=4.
設A(x1,y1),B(x2,y2)，由韋達定理,得
2.2 相對于橢圓上點的直角弦
若PA,PB的斜率存在，則kPA·kPB=-1.
①
即為θ0,θ1,θ2之間滿足的關系式.
又直線AB的方程可寫為
當PA或PB的斜率不存在時，不難證明上述結論也成立.
(1)求C1的方程；
(2)橢圓C2過點P且與C1有相同的焦點,直線l過C2的右焦點且與C2交于A,B兩點,若以線段AB為直徑的圓過點P,求l的方程.
解析(1)設P(x0,y0)，則切線方程為
x0x+y0y=4.
可得a2=1,b2=2.
設A(x1,y1),B(x2,y2)，由韋達定理,得
2.3 相對于非橢圓上點、非中心點的直角弦
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)過點H(-2,0)的直線交橢圓C于A，B兩點，若AF1⊥BF1，求直線AB的方程．
(2)由題知，點F1的坐標為(-1,0)，顯然直線AB的斜率存在.
設直線AB的方程為y=k(x+2)(k≠0)，
得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-2=0.
則Δ=(8k2)2-4(1+2k2)(8k2-2)
=8(1-2k2)>0.
③
設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則
則(-1-x1,-y1)·(-1-x2,-y2)=0.
即1+x1+x2+x1x2+k(x1+2)·k(x2+2)=0.
整理,得
(1+2k2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+1+4k2=0.
所以直線AB的方程為
即直線AB的方程為
x-2y+2=0或x+2y+2=0．
3 拋物線中的直角弦
結論3 拋物線相對于曲線中心的直角弦：直線l交y2=2px(p>0)于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,O為原點，若OA⊥OB，則直線l恒過定點(2p,0).
所以y1y2=-4p2.
設AB:x=my+n，代入拋物線y2=2px,
得y2=2p(my+n).
即y2-2pmy+2pn=0.
故y1y2=-2pn.
所以-2pn=-4p2.
即n=2p.
所以AB:x=my+2p.
可知弦AB恒過定點(2p,0).
結論4 直線l交y2=2px(p>0)于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,O為原點，若OA⊥OB，且OM⊥AB,則點M的軌跡為x2+y2=2px(x≠0).
證明因為OA⊥OB，
則可知AB恒過定點(2p,0).
故可設AB所在直線的方程為y=k(x-2p).
又因為OM⊥AB,
x2+y2=2px(x≠0).
結論5直線l交y2=2px(p>0)于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,O為原點，若OA⊥OB，則ΔAOB面積的最小值為4p2.
所以y1y2=-4p2.
=4p2，
當且僅當y1=y2時等號成立.
結論6 直線l交y2=2px(p>0)于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,O為原點，若OA⊥OB，則弦AB的中點N的軌跡方程為y2=p(x-2p).
證明因為OA⊥OB，
則可知AB恒過定點(2p,0).
故可設AB所在直線的方程為y=k(x-2p).
k2x2-(4k2p+2p)x+4k2p2=0.
所以y1+y2=k(x1-2p)+k(x2-2p)
=k(x1+x2)-4kp
設弦AB的中點N(x0,y0)，則
消去k得中點N的軌跡方程為y2=p(x-2p).
證明顯然直線AB不與x軸垂直.
故可設其方程為x=my+n.
得y2-2pmy-2pn=0.
則y1+y2=2pm,y1y2=-2pn，
因為MA⊥MB，顯然MA,MB的斜率存在.
所以kMA·kMB=-1.
=-1.
4 雙曲線中的直角弦
相對于雙曲線上點的直角弦
若PA,PB的斜率存在，則
kPA·kPB=-1.
④
即為θ0,θ1,θ2之間滿足的關系式.
又直線AB的方程可寫為
當PA或PB的斜率不存在時，不難證明上述結論也成立.
