例談用換元法解題

劉大鵬

(遼寧省黑山縣第一高級中學 121400)

1 根式換元

所以值域為(-∞,5].

2 增量換元

例2(自編題)設x≥0,y≥0,3x+y≤6,x+3y≤6，求u=2x+3y的最大值.

解析設t=6-(3x+y),s=6-(x+3y)，

則t≥0,s≥0.

將x，y視為主元，解方程組得

評注用增量換元法解決線性規劃問題新穎、簡易，不需要繁瑣的作圖過程.

3 均值換元

所以f(x0)=64,g(x0)=8,f(x0)g(x0)=512.

4 整體換元

所以2x2-tx+3y2-ty+5=0.

5 倒數換元

x,y,z>0,xyz(x+y+z)≥1.

6 分母換元

證明令a+b=x,b+c=y,c+a=z，

7 差量換元

不妨設0

令t=x2-x1>0,

所以x2=x1et,x1(et-1)=t.

令M(t)=e2t-2tet-1,

則M′(t)=2e2t-2et-2tet=2et[et-(t+1)]≥0.

所以M(t)>M(0)=0.

所以K′(t)>0.

8 和差換元

解法1 令x=m+n,y=m-n，

代入已知，得3m2+13n2=5.

9 比值換元

(4S-5)k2-5Sk+4S-5=0.

當4S-5=0時，y=0或x=0；

當4S-5≠0時，

Δ=25S2-4(4S-5)2=(13S-10)(10-3S)≥0,

比值換元還常用于解決極值點偏移問題.

令M(t)=t3-t2+t-1-(t2+t)lnt,

則M′(t)=3t2-2t+1-(2t+1)lnt-t-1

=3t(t-1)-(2t+1)lnt

≥3t(t-1)-(2t+1)(t-1)

=(t-1)2>0，

M(t)>M(1)=0,

所以K′(t)>0.

10 三角換元法

方法小結對條件式(x-a)2+(y-b)2=R2,可設x=a+Rcosθ,y=b+Rsinθ;

文[5]解答有誤，本文加以修正.

所以tanθn+6=tan(θn+5π)=tanθn.

所以an+6=an,2009=6×334+5.

評注本例可用不動點法先求數列通項公式，再求a2009.

左=cos2α+cos2β+cos2γ

=-sin2γ+sinγ+2