例談多元最值問題的九種策略

白亞軍

(甘肅省永昌縣第一高級中學 737200)

多元最值問題，指的是含有兩個或兩個以上變元的式子的最值求法問題，因為含有多個變元，所以學生害怕學習這一類問題，而這一類問題可以考查學生的綜合能力，所以學生在平時的學習中，不要一味追求某一種解法，要學會從不同解法中汲取不同的思想方法，提高自身的數學核心素養．

1 利用不等式的性質

點評不等式的基本性質在高中數學中的應用是非常廣泛的，一定要牢記不等式的基本性質.

2 利用絕對值不等式

例2求函數f(x)=|x2-a|在區間[-1,1]上的最大值M(a)的最小值．

解析注意到f(-1)=f(1)，且2M(a)≥f(0)+f(1)=|a|+|1-a|≥|a+1-a|=1,

點評本題主要根據絕對值不等式|a|+|b|≥|a±b|求最值，根據不同情況選取.

3 利用均值不等式

A．max{n(n),n(n+1)}>1

B．max{n(n),n(n+1)}<1

解析因為n(x)=x2+px+q的圖象經過兩點(α,0),(β,0)，故n(x)=x2+px+q=(x-α)(x-β).

所以n(n)=(n-α)(n-β)=(α-n)(β-n),n(n+1)=(n+1-α)(n+1-β).

點評通過已知條件轉化構造和為定值，再利用基本不等式使問題自然獲解.

4 利用柯西不等式

解析設

點評柯西不等式往往不能直接使用，需要對數學式子的形式進行變化，拼湊出與一般形式的柯西不等式相似的結構，才能應用.

5 分類討論

點評對于多元函數最值問題，有時需將題目條件中包含的全體對象分成若干類，再分類討論.

6 待定系數法

點評當運用不等式性質較難達到目標時，有時可引入參數作為待定系數，再根據題意解決問題.

7 構造函數

例6 設a,b,c∈R，f(x)=x3+ax2+bx+c(-1≤x≤1)，求min{max|f(x)|}．

設x=cosθ,θ∈[-π,π]，則

點評根據題設或所具有的特征構造出滿足條件或結論的函數，借助于函數性質解決問題.

8 利用韋達定理

例7若a,b,c>0且a+b+c=12，ab+bc+ca=45，求min{max{a,b,c}}．

點評一定條件下求某些代數式的最大值、最小值，如果將其與一元二次方程中的根與系數關系及根的判別式聯系起來，將會給我們提供一種十分巧妙的解題思路.

9 數形結合

例8設f(x)=min{2x,16-x,x2-8x+16}(x≥0)，其中min{a,b,c}表示a,b,c三個數中的最小值，則f(x)的最大值為( ).

A．6 B．7 C．8 D．9

圖1

解析畫出y=2x,y=16-x,y=x2-8x+16的圖象，觀察圖1可知，當x≤2時，f(x)=2x;當27時，f(x)=16-x,f(x)的最大值在x=7取得為9，故選D．

點評數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關系的精確刻畫與圖形巧妙地結合.

通過以上多元最值問題的剖析，最基本的處理策略就是減元，研究一元函數的思想方法是研究多元函數的基礎，在任何情況下，學生都要扎實抓好基礎知識、基本技能、基本思想方法的落實，在教學中做到“點點”落實，否則“欲速則不達”.