一道競賽試題的多角度探索

彭光焰

(湖北省廣水市一中 432700)

1 一道賽題

題目(2012年上海市高中數學競賽試題第9題)如圖1，ABCD中，AB=x,BC=1, 對角線AC與BD的夾角∠BOC=45°，記直線AB與CD的距離為h(x).求h(x)的表達式，并寫出x的取值范圍.

圖1

此題短小精悍，內涵十分豐富，解法多樣，命題者真是匠心獨運，是值得研究的一道好題，下面給出本題的多種解法，其中解法7是命題者給出的參考答案，解法11是文[1]所給的，剩余10種解法是筆者給出的.

2 解法探析

2.1 利用解直角三角形

解法1作DF⊥AB于點F,CE⊥AB于點E,如圖2，設DF=CE=t.

圖2

而S=tx=4S△BOC，

4x2t2=(x2-1)2,

解法2 如圖3，過點B作BE⊥AC于點E，過點D作DF⊥AB于點F,則ΔBEO為直角三角形.

圖3

設OE=BE=m,EC=n

因為BC=1,所以m2+n2=1.

在Rt△ABE中,

AE=AO+OE=2m+n,

x2=AB2

=AE2+BE2

=(2m+n)2+m2

=4m2+4mn+(m2+n2)

=4m2+4mn+1，

又S=2S△ABC,

DF·x=m(2m+2n),

解法3 如圖3，設AC=2a,BD=2b,

在Rt△ABE和RtΔBCE中，由勾股定理，得

①

②

③

又S=xh(x),

S=2S△ABC

=AC×BE

④

2.2 利用兩角和的三角函數

解法4如圖2，設∠CAB=β,∠ABD=α,則α+β=45°.

設BE=y,CE=n,

則AF=BE=y,DF=CE=n.

⑤

在Rt△BCE中，n2+y2=1,

即y2=1-n2.

⑥

即x2-2x-1≤0，

而h(x)>0，

即x2-1>0，x>1，x<-1.

2.3 利用余弦定理

解法5 如圖2，設AC=2a,BD=2b,則OC=a,OB=b,并設h(x)=t.

在△BOC中，由余弦定理，得

⑦

在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理得，

⑧

⑨

⑩

因為S=xt,

而0

解法6 由解法5所設，在△BOC和△AOB中，分別由余弦定理可得，

又S=4S△BOC，

解法7 由平行四邊形對角線平方和等于四條邊的平方和得

在△OBC中，由余弦定理，得

BC2=OB2+OC2-2OB·OCcos∠BOC,

S=4S△OBC

解法8 如圖4,設AO=OC=a,BO=OD=b,h(x)=t.

圖4

在Rt△BEO中，∠BOC=45°,

在△BOC和△AOB中由余弦定理，得

2.4 利用平面向量

又因為

S=h(x)·x,

解法10 如圖5，以點A為原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系.于是B(x,0).

圖5

又AD=BC=1,故m2+n2=1.

2.5 利用平面解幾何

解法11 如圖4所示的平面直角坐標系，于是B(x,0)，然后利用直線的到角公式來求解.

設∠DAB=θ(0<θ<π),

于是D(cosθ,sinθ),C(cosθ+x,sinθ),h(x)=sinθ.

再設AC,BD所在直線的斜率分別為k1,k2，且k1,k2均存在.

根據到角公式，

將k1,k2代入上式，

解法12 建立如圖6所示平面直角坐標系.

由已知條件可知，可設(a,a),B(b,0),則A(-a,-a).

圖6

由兩點式可得直線AB的方程為

ax-(a+b)y-ab=0.

則h(x)就是點C到直線AB的距離，即

又|AB|2=x2,

即x2=(a+b)2+a2,

|BC|2=12,

即1=(a-b)+a2,

x2-1=4ab.