涉及導函數與分擔函數的全純函數正規定則

許會會,葉亞盛

(上海理工大學理學院,上海 200093)

1 引言與結論

設D為復平面 C上的一個區域,f(z),g(z)為區域D上的兩個亞純函數,若f(z)?a(z)與g(z)?b(z)在D內有相同的零點,則記為f(z)=a(z)?g(z)=b(z).文中所采用的Nevanlinna理論和正規族的基本概念與記號等同文獻[1-3].

文獻[4]證明了一些重要的Picard型定理,并在此基礎上提出了相應的正規族猜想[5].自此圍繞著這些猜想,正規族的研究取得了很大的發展.

特別地,文獻[6]在分擔值的條件下,證明了如下定理:

定理 1.1設F為區域D上的亞純函數族,k∈N+,b∈C,b0,h為有窮正數.如果對于任意f∈F,f的零點重級≥k,且滿足:

(2)對任意f的零點,0<|f(k+1)(z)|

那么F在區域D上正規.這里f(a)={z∈D:f(z)=a}.

作者在文獻[6]中給出了反例說明當k=2時,定理中的條件(2)是不能省略的.本文在k2條件下,將定理1.1推廣為分擔亞純函數的情形,提出一類全純函數的正規定則,略去了定理1.1中條件(2)的上界條件.

定理1.2設F是區域D內的全純函數族,k(2)為正整數,a(z)為D內極點均為重級的亞純函數.若?f∈F,f的零點重級均≥k,其判別零點個數至多為t,且滿足

(1)f(z)=0?f(k)(z)=a(z)?|f(k+1)(z)?a′(z)|>0;

(2)f(z)與a(z)不同時為零,

那么F在區域D上正規.

例1.1設,則

但F在z=0處不正規.例1.1說明了極點重數大于1的條件是必須的.

本文主要參考文獻[7-13]的證明方法對定理 1.2進行證明.不失一般性下文中設D=Δ,z0=0.

2 幾個引理

3 定理證明

證明這里只證明F在a(z)的零點處或重數>k的極點處的正規性(重數≤k的極點處的正規性的證明采用了文獻[7]的證明方法,過程與引理2.2類似,故這里不再贅述).不妨設z=0為a(z)的零點或重數>k的極點.

情形1:若a(0)=0,不妨設