基于線性分位數(shù)回歸的上證綜指量?jī)r(jià)關(guān)系的分析

陸雪妮 朱能輝

（廈門理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建 廈門 361024）

0 引言

2014年A股擺脫了連續(xù)幾年的低迷格局，走出了熊市的陰影；2015年上半年以32%的漲幅贏得了全球的矚目，牛市成為中國(guó)股市的新氣象。不過(guò)2015年下半年受場(chǎng)外融資鏈條松動(dòng)的影響，股市新氣象的泡沫迅速破裂，轉(zhuǎn)眼間牛市夢(mèng)想破滅，股災(zāi)令人恐慌至極。這次股災(zāi)的殺傷力之大、波及范圍之廣，在中國(guó)資本市場(chǎng)上是史無(wú)前例的。經(jīng)歷了這段特殊時(shí)期后，中國(guó)證券市場(chǎng)正逐步走向成熟，量?jī)r(jià)關(guān)系特點(diǎn)也發(fā)生了改變。總結(jié)這次股災(zāi)的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，重新定位投資理念，以及對(duì)中國(guó)資本市場(chǎng)適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)改善，則顯得非常重要。

上海證券綜合指數(shù)（上證綜指）反映了整個(gè)股市行情，對(duì)證券指數(shù)的預(yù)測(cè)分析以及趨勢(shì)研判，可以為投資者的投資決策提供一定的參考。股票市場(chǎng)是多變且復(fù)雜的，影響指數(shù)波動(dòng)的因素很多，長(zhǎng)期準(zhǔn)確預(yù)測(cè)其走勢(shì)十分不易,然而，伴隨計(jì)算機(jī)與統(tǒng)計(jì)技術(shù)發(fā)展的進(jìn)步，對(duì)于短期的股指預(yù)測(cè)將成為可能。Gallant等[1](1992) 指出,與僅對(duì)股價(jià)的單一變動(dòng)研究相比較,對(duì)股價(jià)與交易量的聯(lián)合動(dòng)態(tài)研究,能夠提供更多關(guān)于資本市場(chǎng)的信息,特別是根據(jù)股指當(dāng)天交易量對(duì)其收盤收益率進(jìn)行預(yù)測(cè)。因?yàn)椴徽撌袌?chǎng)是處于牛市還是熊市的環(huán)境下，股票當(dāng)期的交易量對(duì)收盤收益率的影響程度均遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)歷史期收盤收益率的影響，這可能是由于股票當(dāng)期的交易量與收盤價(jià)是同期的原因。而金融時(shí)間序列的復(fù)雜性模型常常僅適用于特定的假設(shè)下。

在商品交易中，銷量和價(jià)格的相關(guān)性非常顯著。那么對(duì)股票而言，其“量?jī)r(jià)關(guān)系”又是怎樣呢？以價(jià)格包含交易量的所有信息為隱含的假設(shè)前提，傳統(tǒng)的資本市場(chǎng)一般均衡理論通常只集中在對(duì)價(jià)格的分析來(lái)研究資本市場(chǎng)。但在實(shí)際資本市場(chǎng)運(yùn)行中,傳統(tǒng)假設(shè)交易者和市場(chǎng)信息獲取，以及對(duì)信息反饋的無(wú)差異性的前提是不存在的。交易者對(duì)信息獲取的渠道與方式、反應(yīng)速度和能力等都存在顯著差異,并外化表現(xiàn)為在交易行為上的復(fù)雜性，這使得影響資產(chǎn)價(jià)格的重要因素必須要包含交易量。

Osborne[2]最早把資本市場(chǎng)交易量納入資產(chǎn)價(jià)格行為進(jìn)行研究，揭示了股票市場(chǎng)量?jī)r(jià)之間存在正相關(guān)性。Granger 和 Morgenstern[3]實(shí)證研究了股票市場(chǎng)的量?jī)r(jià)關(guān)系，得出紐約證券交易市場(chǎng)不存在顯著的量?jī)r(jià)關(guān)系，但其后的許多研究則得出不同的結(jié)論。借助于卡方檢驗(yàn)、方差分析和交叉譜分析等統(tǒng)計(jì)方法，Ying[4]得到了包括較小（較大）的交易量往往伴隨著股價(jià)下跌（上升）等許多量?jī)r(jià)關(guān)系的重要結(jié)論。有關(guān)量?jī)r(jià)關(guān)系的綜述性文獻(xiàn)評(píng)論由Karpoff[5]完成,大多數(shù)的研究結(jié)果都認(rèn)為量?jī)r(jià)關(guān)系存在顯著性。

相較而言,國(guó)內(nèi)研究量?jī)r(jià)關(guān)系的相關(guān)結(jié)論大多支持中國(guó)股市存在顯著量?jī)r(jià)關(guān)系的說(shuō)法?；?005年下半年的中國(guó)資本市場(chǎng)數(shù)據(jù)，李雪[6]在研究股票價(jià)格與交易量之間的相關(guān)關(guān)系時(shí),實(shí)證分析發(fā)現(xiàn)，在牛市和熊市兩種不同的市場(chǎng)行情下，量?jī)r(jià)關(guān)系具備完全不同的特征且有不對(duì)稱性。魏寶靖[7]先后采用一系列現(xiàn)代計(jì)量分析技術(shù)，諸如向量誤差修正模型、非參數(shù)GARCH模型過(guò)濾方法等，從線性與非線性的維度探討分析了牛市和熊市下的量?jī)r(jià)關(guān)系。

上述研究通常只考察變量間的“平均”相關(guān)關(guān)系,但對(duì)不同價(jià)格水平下的交易量,往往在資本市場(chǎng)中難以精確地度量，進(jìn)而無(wú)法刻畫量?jī)r(jià)關(guān)系的復(fù)雜性與多樣性。由于正負(fù)收益率與交易量之間的相關(guān)關(guān)系存在的可能差異性,一般文獻(xiàn)則是把收益率分為牛市、熊市兩個(gè)樣本進(jìn)行考察。然而，這種將總體樣本分割成條塊進(jìn)行估計(jì)的方法,顯然無(wú)法完整地展現(xiàn)不同收益率與交易量的真實(shí)關(guān)系,可能會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的偏誤。若能從整體上直接去研究日收盤價(jià)與日交易量之間的相關(guān)關(guān)系，那么在一定程度上，更能簡(jiǎn)潔地提高對(duì)指數(shù)預(yù)測(cè)的精度及可靠性。分位數(shù)回歸更好地反映出變量的分布，以往的研究中極少有人考慮交易量如何直接影響收益率的分位數(shù)情況。因此，為彌補(bǔ)上述方法的缺陷和限制,本文將運(yùn)用線性分位回歸分析方法解決這一問(wèn)題。

1 分位數(shù)回歸

經(jīng)典線性回歸模型：

模型參數(shù)β用來(lái)定量描述解釋變量X的變化如何影響被解釋變量Y的條件均值。傳統(tǒng)的普通最小二乘估計(jì)(OLSE)在誤差服從獨(dú)立正態(tài)分布等假設(shè)下是最佳無(wú)偏估計(jì)量。但上述假設(shè)不滿足時(shí)，諸如誤差不服從正態(tài)分布、被解釋變量出現(xiàn)異常值 (outlier)或數(shù)據(jù)存在嚴(yán)重異方差性等，OLSE便不再具備上述優(yōu)良性質(zhì)且估計(jì)的穩(wěn)健性非常差。另外OLSE僅能提供這些差異的“平均”水平，不能對(duì)其分布的其他方面產(chǎn)生影響。與OLSE不同，分位數(shù)回歸[8](quantule regression,QR)依據(jù)被解釋變量的條件分位數(shù)對(duì)自變量進(jìn)行回歸，可估計(jì)出被解釋變量在不同分位點(diǎn)下模型參數(shù)的不同估計(jì)，從而揭示出被解釋變量的整個(gè)條件分布，能更詳細(xì)地描述變量的統(tǒng)計(jì)分布，且QR不對(duì)誤差項(xiàng)的分布做具體假設(shè)，其估計(jì)比OLSE更穩(wěn)健，對(duì)異常值也不太敏感。

計(jì)算求出樣本的第分位數(shù)。該方法可以推廣到估計(jì)條件分位數(shù)函數(shù)模型。

通過(guò)求解下式得出樣本的第τ分位數(shù)，記作：

現(xiàn)最為廣泛應(yīng)用的QR算法有兩種：（1）單純形法（simple method）:選擇一個(gè)頂點(diǎn)，然后搜索可行解所圍成多邊形的邊界，適用于樣本量不超過(guò)5 000，解釋變量個(gè)數(shù)不超過(guò)20個(gè)的情形；（2）內(nèi)點(diǎn)算法（interior method）：在可行解所圍成的多邊形中，并在不超過(guò)邊界的情況下，隨機(jī)搜索一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，直到搜索到最優(yōu)點(diǎn)，適用于樣本量較大的情況。

1982-1986年，Koenker和Bassett相繼研究了線性假設(shè)檢驗(yàn)[9]、異方差穩(wěn)健性檢驗(yàn)[10]、QR的性質(zhì)[11]。QR模型的漸進(jìn)協(xié)方差矩陣估計(jì)方法（Buchinsky[12]）被進(jìn)一步探討并被應(yīng)用于美國(guó)女性薪酬結(jié)構(gòu)變化的研究分析中。QR在計(jì)算機(jī)的輔助下廣泛運(yùn)用于各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域，尤其在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，QR不僅應(yīng)用于預(yù)測(cè)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值[13]，而且常用于分析金融時(shí)間序列[14]和房地產(chǎn)[15]。

2 上證綜合指數(shù)的分位數(shù)回歸分析

2.1 數(shù)據(jù)及來(lái)源和變量設(shè)置

以收益率和交易量為變量來(lái)刻畫上證綜指的量?jī)r(jià)關(guān)系。樣本選自2014年1月1日到2015年12月31日上證綜合指數(shù)的日收盤指數(shù)P和股市的日交易量q（成股）,對(duì)數(shù)據(jù)中的缺失值進(jìn)行均值插補(bǔ),一共獲得487個(gè)樣本。使用R軟件的quantmod包，調(diào)用getSymbols()函數(shù)下載數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)源包括雅虎、谷歌、圣路易斯聯(lián)邦儲(chǔ)備銀行的聯(lián)邦儲(chǔ)備經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)（FRED）等。

令收益率、交易量分別為

2.2 數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計(jì)特征和單位根檢驗(yàn)

從表 1 中收益率的描述性統(tǒng)計(jì)特征及圖1的時(shí)間序列圖發(fā)現(xiàn)，收益率的偏度和尖峰程度、異方差性都不顯著。單位根檢驗(yàn)進(jìn)一步表明，在1 %顯著性水平下收益率序列是平穩(wěn)的；觀察圖1的交易量時(shí)間序列圖，雖然交易量略有時(shí)間趨勢(shì)且展現(xiàn)出一定程度的左偏和尖峰狀態(tài)，但單位根檢驗(yàn)表明，在10% 顯著性水平下交易量仍是平穩(wěn)時(shí)間序列。

圖1 上證指數(shù)2014年1月1日到2015年12到31日收益率與交易量的時(shí)間序列圖

表1 收益率與交易量的描述性統(tǒng)計(jì)特征與單位根檢驗(yàn)

2.3 分位數(shù)回歸分析

建立如下量?jī)r(jià)關(guān)系模型：

因?yàn)閱渭冃嗡惴ㄓ?jì)算穩(wěn)定且適用于樣本量不超過(guò)5000，解釋變量個(gè)數(shù)不超過(guò)20的情形，所以使用單純形算法的R命令rq進(jìn)行QR參數(shù)估計(jì)。為詳細(xì)刻畫，取0.10、0.20、0.30、0.40、0.50、0.60、0.70、0.80和0.90的分位數(shù)回歸線。表2對(duì)量?jī)r(jià)關(guān)系分別進(jìn)行OLSE和分位回歸估計(jì)，并利用秩檢驗(yàn)計(jì)算QR參數(shù)估計(jì)的置信區(qū)間。在R軟件中使用rq命令進(jìn)行參數(shù)估計(jì)后，使用summary命令或summary.rq命令可得到參數(shù)估計(jì)的秩檢驗(yàn)置信區(qū)間。

觀察表2發(fā)現(xiàn)，估計(jì)結(jié)果在不同水平的收益率下有所差異。在5 %顯著性水平下，交易量的參數(shù)估計(jì)值均不為0，且估計(jì)值的正負(fù)和大小也有顯著差異。具體地說(shuō)，

表2 收益率R與交易量V的分位回歸結(jié)果

估計(jì)值從0.1分位點(diǎn)下的-1.212 逐步增加到0.9分位點(diǎn)下的1.082；另外，估計(jì)值的絕對(duì)值呈先降后升的趨勢(shì)，并以估計(jì)值由負(fù)轉(zhuǎn)正的0.4分位點(diǎn)（0.077）為拐點(diǎn)。量?jī)r(jià)關(guān)系在收益率波動(dòng)的兩側(cè)越強(qiáng)烈，且在收益率的低分位點(diǎn)上弱于在其高分位點(diǎn)上。量?jī)r(jià)關(guān)系在收益率向中間分位點(diǎn)接近時(shí)逐漸弱化。實(shí)證分析的上證綜指量?jī)r(jià)關(guān)系與Ying[4]得出的收益率上漲（下跌）通常與較高（較低）的交易量相對(duì)應(yīng)的結(jié)論大致吻合，呈現(xiàn)出總體V型非對(duì)稱的關(guān)系（圖 3）。

圖3 上證指數(shù)2014年1月1日到2015年12到31日交易量（日對(duì)數(shù)交易量）與日收益率的分位數(shù)回歸擬合圖

對(duì)表2中的QR與OLSE的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)，交易量的OLS估計(jì)量為-1.051，僅大于分位點(diǎn)0.1對(duì)應(yīng)的分位回歸估計(jì)量，小于80 %以上的分位回歸估計(jì)量，距離最右端0.9分位點(diǎn)的估計(jì)量1.082甚遠(yuǎn)，僅與分位點(diǎn)0.1的分位回歸結(jié)果-1.212大致相近。

圖2 表2交易量V參數(shù)估計(jì)的絕對(duì)值趨勢(shì)

在圖3中，線性均值回歸的估計(jì)結(jié)果用實(shí)線表示，分位數(shù)為0.5的線性中位數(shù)回歸估計(jì)用長(zhǎng)虛線表示，短虛線從下到上分別表示分位數(shù)為0.10、0.20、0.30、0.40、0.60、0.70、0.80和0.90時(shí)的線性QR估計(jì)結(jié)果。

擬合值與真實(shí)值的平均分位數(shù)誤差定義為：

用上證指數(shù)2014年1月1日到2015年12到31日交易量（日對(duì)數(shù)交易量）進(jìn)行擬合，求出擬合值與真實(shí)值之間的平均分位數(shù)誤差，并進(jìn)行對(duì)比：

表3 各個(gè)分位點(diǎn)對(duì)應(yīng)的平均分位數(shù)誤差

基于擬合值與真實(shí)值的最小平均分位數(shù)誤差，選擇分位點(diǎn)為0.4的QR模型作為相對(duì)最佳方程，得到線性QR方程：

以2016年1月4日到2016年1月22日的日交易量數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)集，利用回歸方程計(jì)算出收益率的預(yù)測(cè)值，再將收益率預(yù)測(cè)值還原為對(duì)應(yīng)的日收盤價(jià)預(yù)測(cè)值，最后與真實(shí)的日收盤價(jià)進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算兩者的相對(duì)誤差，如表4。使用predict.rq的R命令進(jìn)行QR預(yù)測(cè)。對(duì)比表4日收盤價(jià)預(yù)測(cè)值與日收盤價(jià)表明，相對(duì)誤差在0.193%—7.397%變動(dòng)，相對(duì)誤差都比較小，說(shuō)明該回歸方程的短期預(yù)測(cè)效果良好。

表4 分位點(diǎn)為0.4下預(yù)測(cè)值與真實(shí)值對(duì)比

3 研究結(jié)論與建議

基于2014年1月1日到2015年12月31日兩年的中國(guó)資本市場(chǎng)特殊時(shí)期的上證指數(shù)數(shù)據(jù)，對(duì)日收益率與日對(duì)數(shù)交易量的相關(guān)關(guān)系建立線性QR模型。實(shí)證分析表明，由傳統(tǒng)的普通OLSE所定量描述的量?jī)r(jià)關(guān)系中，股票市場(chǎng)的“平均水平”的量?jī)r(jià)關(guān)系往往過(guò)于低估真實(shí)的量?jī)r(jià)關(guān)系，致使市場(chǎng)信號(hào)難以傳遞真實(shí)的市場(chǎng)信息。

與傳統(tǒng)的“平均水平”的量?jī)r(jià)關(guān)系不同，QR模型則更完整詳細(xì)地反映出不同收益率水平下的各個(gè)不同的量?jī)r(jià)關(guān)系，并揭示了股票交易市場(chǎng)的“跟風(fēng)”效應(yīng)，即在股市越接近跌停時(shí)，投資者大量拋售股票，從而催促股市價(jià)格加速下跌；相對(duì)應(yīng)地，在股市越接近漲停時(shí),投資者出手爭(zhēng)搶股票，交易量急劇膨脹，進(jìn)而推動(dòng)股市價(jià)格加速上漲。

最后，基于最小均方誤差準(zhǔn)則，選取分位點(diǎn)為0.4所對(duì)應(yīng)的回歸模型作為預(yù)測(cè)方程，對(duì)應(yīng)于40%分位點(diǎn)的日收益率可由日對(duì)數(shù)交易量的變化（線性）來(lái)解釋。以2016年1月4日到2016年1月22日上證綜合指數(shù)的日交易量數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)集，利用回歸方程計(jì)算日收盤價(jià)的預(yù)測(cè)值，并與真實(shí)日收盤價(jià)進(jìn)行比對(duì)，兩者相對(duì)誤差都較小，說(shuō)明線性QR模型的短期預(yù)測(cè)效果良好。

本研究結(jié)論可總結(jié)為:（1）區(qū)別于最小二乘估計(jì)方法對(duì)收益率條件均值的考察,分位回歸方法是以加權(quán)平均絕對(duì)誤差作為目標(biāo)函數(shù)對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行估計(jì),從而可以對(duì)不同分位的收益率進(jìn)行考察,更完整詳細(xì)地反映出不同收益率水平下的各個(gè)不同的量?jī)r(jià)關(guān)系；（2）交易量與收益率存在顯著非對(duì)稱的V型量?jī)r(jià)關(guān)系,即當(dāng)收益率為負(fù)時(shí),量?jī)r(jià)關(guān)系為負(fù)；當(dāng)收益率為正時(shí),量?jī)r(jià)關(guān)系為正;正向量?jī)r(jià)關(guān)系強(qiáng)于負(fù)向量?jī)r(jià)關(guān)系。這種量?jī)r(jià)關(guān)系反映了股市投資群體的“跟風(fēng)”效應(yīng)；（3）市場(chǎng)的“平均”量?jī)r(jià)關(guān)系往往低估真實(shí)的量?jī)r(jià)關(guān)系，市場(chǎng)信號(hào)難以傳遞真實(shí)的市場(chǎng)信息。

隨著經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展，今后可能還將面臨比2014—2015年更復(fù)雜的局面。因此，本文利用QR模型實(shí)證分析這一時(shí)期的量?jī)r(jià)關(guān)系，總結(jié)這次股災(zāi)的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，對(duì)資本市場(chǎng)適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)改善，嘗試提出以下幾點(diǎn)建議：

一是嘗試探索設(shè)立平準(zhǔn)基金或準(zhǔn)平準(zhǔn)基金。針對(duì)QR模型實(shí)證分析量?jī)r(jià)關(guān)系得出的股票交易市場(chǎng)的“跟風(fēng)”效應(yīng)，減少不必要的代價(jià)。在資本市場(chǎng)發(fā)展的初級(jí)階段，積極培育和弘揚(yáng)我國(guó)資本市場(chǎng)的價(jià)值投資理念，嘗試探索設(shè)立平準(zhǔn)基金或準(zhǔn)平準(zhǔn)基金。其性質(zhì)上是一種特殊的金融穩(wěn)定基金，基金主要起穩(wěn)定市場(chǎng)的作用，當(dāng)市場(chǎng)短期失靈，尤其是在股災(zāi)時(shí)期或有可能引發(fā)系統(tǒng)性金融風(fēng)險(xiǎn)以及市場(chǎng)過(guò)度瘋狂時(shí)，平準(zhǔn)基金或準(zhǔn)平準(zhǔn)基金適時(shí)出手，有助于消弭初期階段的金融風(fēng)險(xiǎn)。

二是加快市場(chǎng)規(guī)則向國(guó)際靠攏，局部試點(diǎn)T+0和無(wú)漲幅限制?，F(xiàn)階段的T+1和10%漲跌幅限制以及審核制帶有計(jì)劃經(jīng)濟(jì)的色彩，這些弊端在這次股災(zāi)中暴露無(wú)遺。每天10%的無(wú)量跌停引發(fā)股指期貨等量下跌，進(jìn)而強(qiáng)化下跌預(yù)期，導(dǎo)致第二天又一個(gè)10%的無(wú)量跌停，惡性循環(huán)，資本市場(chǎng)始終找不到終止負(fù)效應(yīng)的途徑。因此，必須要有一個(gè)使得資本市場(chǎng)的價(jià)格形成約束機(jī)制的制度，局部市場(chǎng)試點(diǎn)T+0和無(wú)漲幅限制應(yīng)該是一個(gè)值得推薦的改善辦法。

三是積極鼓勵(lì)和引導(dǎo)投資者用閑錢投資，不借貸，不指望炒股來(lái)解決短期財(cái)務(wù)需求。股災(zāi)的發(fā)生主要在于投資群體的盲目“跟風(fēng)”效應(yīng)，部分投資者暴富心理太強(qiáng)，投資杠桿過(guò)高；反之，若是閑錢投資，更會(huì)注重基本面的研究，持有具備投資價(jià)值的公司股票，就不會(huì)被短期波動(dòng)所干擾，也就不容易借錢去追漲。