共軸雙旋翼動力學建模與驗證

胡金碩， 黃健哲

(1. 中國民航科學技術研究院 無人機適航審定中心，北京 100020；2. 上海交通大學 航空航天學院，上海 200240)

由于共軸雙旋翼直升機上下主旋翼產生的扭矩可相互抵消，所以比傳統單旋翼帶尾漿的直升機結構更簡單，氣動對稱性也更好[1].另外，對于多旋翼無人機，共軸旋翼的引入將大大提高無人機的抗風能力和穩定性[2].因此，人們對共軸雙旋翼的研究和研制一直都沒有停止.從俄羅斯卡莫夫設計局研發的卡-8和美國西科斯基的XH-59A驗證機開始，經過半個多世紀的發展，共軸雙旋翼構型的直升機越來越受到業內的關注和重視.針對共軸雙旋翼飛行器的控制和飛行模擬仿真器的研發也已成為研究的熱點之一.

不同于旋翼計算流體力學(CFD)的研究，針對旋翼飛行器控制設計和飛行仿真的動力學模型需要有更好的實時性，同時對計算精度也有一定的要求.1989年文獻[3]開發的Peters-He模型是目前最廣泛應用的旋翼有限狀態模型，可以用于計算旋翼盤上任意位置的誘導速度，進而實時計算單旋翼的推力.該理論隱含了著名的動態入流理論、Pradtl/Galdstein靜態入流分布和Theodorsen理論，并且計算結果和試驗數據有很好的吻合度.此后，一種被稱為Morillo模型[4]的動態入流模型由Peters教授團隊提出，它對旋翼上方流場的求解有其優越性.由于共軸雙旋翼之間流場的干擾，上下旋翼的拉力性能將下降[5]，所以用于計算單旋翼誘導速度和推力的Peters-He模型和針對旋翼上方流場計算的Morillo模型，它們均無法直接用于對共軸雙旋翼的動力學建模.基于當前的有限入流建模理論，文獻[6]利用關聯上下旋翼入流系數和壓強場系數的入流影響系數矩陣來計算每個旋翼產生的誘導速度.該入流影響系數矩陣包含了旋翼自誘導速度信息和上下旋翼之間互誘導速度信息，由于當時缺少互誘導速度的封閉計算公式，所以互誘導速度需要通過數值計算得到.其開發出的模型在XV-15傾轉旋翼機上得到了試驗驗證.由于該模型需要進行數值計算，所以其計算的實時性能還有一定的提升空間.2015年，文獻[7-8]提出了混合勢流模型，建立了Peters-He模型和Morillo模型非線性混合函數，對旋翼盤上和旋翼上方流場的計算精度做了進一步提升，更重要的是，該模型對旋翼尾跡進行了建模，給出了旋翼尾跡流場計算的封閉形式解.文獻[9]在旋翼懸停地效建模上應用了該混合勢流模型，并與試驗數據和RotCFD計算結果進行了對比，驗證了模型有效性.文獻[10]基于運動嵌套網格方法，建立了一套適合于懸停狀態下共軸剛性雙旋翼非定常干擾流場分析的計算流體力學方法.該研究運用了計算流體力學方法，可以給出共軸雙旋翼更加細致的動態流場信息，提高了計算精度，但是存在很大的計算復雜度.文獻[11]對傾轉過渡狀態共軸傾轉旋翼進行了研究，考慮了尾流傾斜和收縮的上下旋翼的相互干擾，通過能量方程推導了誘導速度的計算公式，最后利用迭代方法求解了上下旋翼的載荷.由于整個計算過程需要迭代，所以通過此方法進行共軸多旋翼動力學建模也具有一定的計算復雜度.文獻[12]結合葉素理論和Pitt-Peters 動態入流模型對共軸雙旋翼的氣動干涉和揮舞運動進行了近似建模，其他未準確建模的部分用控制算法進行補償，并在Simulink搭建了控制器進行聯合仿真.該方法利用動態入流模型計算誘導速度，仿真實時性好.但是Pitt-Peters 模型結構簡單，是Peters教授團隊最初提出的三狀態動態入流模型[13]，對于一些復雜的飛行狀態難以保證較好的計算效果.此外，若僅采用誘導速度干擾系數表示上、下旋翼之間的氣動干涉，需要較為充分的理論支撐.現有研究中主要考慮了上下旋翼的流場干擾，并對其進行了相應的數學建模，但還未見到有基于時滯伴隨理論的勢流模型來建立共軸雙旋翼動力學模型的研究.

針對共軸雙旋翼上旋翼入流受到下旋翼上游流場影響，以及下旋翼入流受到上旋翼尾流影響的問題，本文提出一種基于勢流模型的共軸雙旋翼動力學建模方法，并設計了共軸雙旋翼的推力測試裝置，驗證了懸停狀態下共軸雙旋翼的推力計算準確性.本文研究可為共軸雙旋翼飛行器的旋翼初步設計、控制和飛行仿真提供理論基礎.

1 共軸雙旋翼有限狀態模型

根據文獻[4]，上下旋翼在其各自平面和上方位置(ν≥0)產生的誘導速度v(u)(ν,η,ψ,t)和v(l)(ν,η,ψ,t)分別表示為

v(u)(ν,η,ψ,t)=

(1)

v(l)(ν,η,ψ,t)=

(2)

(3)

式中：x，y，z為計算點在體坐標系中的正則化坐標位置，則在旋翼邊緣有A=1.

由于上旋翼的尾跡會對下旋翼產生影響，所以需要給出上旋翼的尾跡速度的計算公式.根據文獻[8]，上旋翼在(ν,η,ψ)位置的尾跡速度v(u)(ν,η,ψ,t)(v<0)表示為

v(u)(ν,η,ψ,t)=v(u)(0,η0,ψ0,t-τ)-

?(u)(0,η0,ψ0+π,t-τ)

(4)

式中：v(u)(0,η0,ψ0,t-τ)為上旋翼在(0,η0,ψ0)位置的誘導速度；?(u)(0,η0,ψ0+π,t-τ)為上旋翼在(0,η0,ψ0+π)位置的伴隨速度；τ為時滯量.由于橢圓坐標系與體坐標系的轉換比較復雜，η0、ψ0與η、ψ之間的關系可用如下關系式進行表述：

?(u)(ν,η,ψ,t)=

(5)

(6)

(7)

(8)

通過低速流體的質量守恒和動量守恒定律公式，代入用勒讓德函數表示的速度和壓強表達式[7]，并通過伽遼金變換可得到一組以誘導速度因子和伴隨速度因子為狀態量的常微分方程：

(9)

(10)

其中

(11)

其中

由于式(9)中的入流矩陣需要τ時刻前的伴隨速度因子信息，所以需要同時對式(9)進行時間正向數值積分，并對式(10)采取計算時刻t1為初始的時間反向數值積分，同時求得速度因子和伴隨速度因子的時間序列信息.對于式(10)的時間反向數值積分，需要在每一個計算時刻進行時長為τ的反向數值迭代，計算量比較大.通過以下計算步驟可以通過更少的計算量，求得在t1時刻伴隨速度因子τ時刻前的數值Δ(u)(t1-τ).

步驟1求解R-1M-1K(u)的特征值和特征向量分別為λi(i=1, 2, …,G)，φ，使得：

其中：G為矩陣M的維數.

步驟3通過下式計算Δ(u)(t1-τ)：

Δ(u)(t1-τ)=

(12)

(13)

(14)

(15)

2 計算結果驗證

為了驗證共軸雙旋翼誘導速度動力學模型的正確性，選取懸停狀態上、下旋翼的推力作為研究對象，搭建試驗驗證平臺，平臺實物圖如圖1所示.右側旋翼為固定安裝，旋翼軸高度和軸向位置不可調.左側旋翼可沿軌道向前向后移動，用于調整雙旋翼的軸向距離；左側旋翼的離地高度也可進行調整，當高度調整至右側旋翼高度相同時，為共軸狀態.選取型號為1024的PVC螺旋槳作為測試槳葉，該槳葉直徑約為254 mm，距槳葉中心點5 mm半徑范圍內為平直安裝面(矩形翼型、無扭轉角).槳葉槳距為119.38 mm，弦長沿槳葉徑向位置連續可變，為了簡化計算，將槳葉從平直安裝面結束段開始，沿徑向方向分為5部份，分別測量每一部分邊緣位置的弦長，數據如表1所示.沿槳葉徑向方向距離槳葉中心為r的截面，其扭角可根據下式計算：

表1 測試旋翼葉片徑向弦長分布

圖1 共軸雙旋翼推力測試臺架Fig.1 Thrust test rig for coaxial lifting rotors

θ(r)=?r

(16)

式中：?為槳葉槳距.兩側旋翼分別由兩套完全獨立的動力系統提供旋轉動力，兩套動力系統的電機也由完全獨立的控制系統來分別調節脈沖寬度調制(PWM)值，進而實現電機轉速的獨立控制.

表2 單旋翼不同轉速下的推力Tab.2 Thrusts at different rotor speeds for single rotor

圖2 單軸旋翼測試結果Fig.2 Test results for single rotor

圖3 單軸旋翼推力計算結果Fig.3 Computational thrust results of single rotor

采用MATLAB中的Curve Fitting Tool工具包，對數據進行擬合，可得到轉速與推力的特性關系式，如下式所示：

(17)

對于測試數據，擬合的誤差平方和(SSE)為 0.752 6，而對于計算數據，擬合的誤差平方和為1.908×10-7.由式(16)可知，推力系數的計算值和測試值僅有9%的偏差.

圖4 雙軸旋翼測試結果Fig.4 Test results for coaxial rotors

表3 雙旋翼不同轉速下的推力Tab.3 Thrusts at different rotor speeds for coaxial lifting rotor

圖5 共軸雙旋翼推力計算結果(軸距127 mm)Fig.5 Computational thrusts results of coaxial lifting rotor (axial distance=127 mm)

由圖5可知，在 3 000～5 000 r/min轉速范圍內，相較于單軸旋翼，對于共軸雙旋翼左、右旋翼在相同轉速下均出現推力損失，并且由于左旋翼位于右旋翼尾跡之中，造成的推力損失更大.所提出的模型可以較好的反應出這種規律，并且趨勢與測試值大致相同.和單軸旋翼類似，隨著轉速的提高，推力測試值越高于計算值.同樣地，通過數據擬合，可以分別得到左、右旋翼的轉速與推力特性關系式，如下式所示：

(18)

(19)

對于測試數據，右旋翼擬合的SSE為 0.021 75， 左旋翼擬合的SSE為 0.152 2.對于計算數據，右旋翼擬合的SSE為1.354×10-7，左旋翼擬合的SSE為6.538×10-8.

3 結語

本文研究了基于有限狀態模型的共軸雙旋翼動力學建模方法，利用伴隨理論推導了上旋翼尾跡誘導速度表達式，拓展了傳統的單軸旋翼有限狀態模型.上旋翼動力學模型中的入流矩陣包含了上旋翼的平均自誘導速度信息和下旋翼的平均互誘導速度信息，下旋翼動力學模型中的入流矩陣包含了下旋翼的平均自誘導速度信息和上旋翼的平均互誘導速度信息，其中上旋翼的平均互誘導速度需要利用上旋翼尾跡誘導速度計算式來求取.動力學模型的載荷輸入表達式也包含了誘導速度信息，由此可見，該動力學模型是入流和載荷、上旋翼和下旋翼耦合的強非線性動力學模型.跟一般的經驗模型不同，此模型需要輸入共軸雙旋翼槳葉幾何信息、氣動參數、軸向間距、轉速等實際物理信息，因此更具有普適性，能夠適應更多的應用環境.通過試驗數據驗證，此模型具有一定的計算準確度，可用于共軸雙旋翼的設計初步計算、控制器設計與實時仿真，有一定的工程應用價值.