永磁同步電動機改進滑模位置控制算法

楊冬雪，陸華才

(安徽工程大學 電氣工程學院，安徽 蕪湖 241000)

永磁同步電動機因具有功率密度大、驅動能力強、體積小和低轉動慣量等特點，廣泛應用于各種伺服驅動系統中。基于永磁同步電動機的非線性，在實際應用中還會受到外部負載擾動和內部參數變化的影響，因此傳統的PI控制很難在快速性和抗擾性方面同時達到好的控制結果[1-2]。為提高永磁同步電動機的性能，人們提出了各種非線性控制方法，其中滑模控制的快速響應和魯棒性引起了人們的關注。設計滑模控制系統主要通過以下3個步驟：滑模面的選擇、設計趨近律、得出控制率[3]。傳統的滑模控制通常選擇線性滑模面，只能保證系統的漸近穩定。文獻[4]中應用改進趨近律的終端滑模控制，相比于傳統的滑模控制，調節時間較短，響應較快，但是當施加擾動時仍存在較大的轉速波動。文獻[5]中提出非奇異快速終端滑模控制策略，有效降低了收斂時間，并克服了終端滑模的奇異性問題。文獻[6]提出了改進型滑模控制觀測器，可以準確地獲得轉子位置信息，減小了估計誤差。文獻[7]設計了一個自適應滑模控制器的伺服控制系統，使系統響應快速無超調地跟蹤輸入信號。文獻[8]提出模糊自抗擾控制，達到了抑制抖振的目的，減小了系統的跟蹤誤差。

為了進一步提高系統的快速性和魯棒性，在PMSM外環采用連續非奇異終端模糊滑模控制(Continuous Non-singular Terminal Fuzzy Sliding Mode,CNTSM-Fuzzy)，克服了終端滑模控制的奇異性，削弱了抖振現象。內環采用線性自抗擾控制(Linear Active Disturbance Rejection Control,LADRC)。LADRC的核心思想是將系統的內外擾動分類為總擾動，通過擴展狀態觀測器實時估計包括總擾動在內的系統狀態，并設計非線性誤差反饋控制律，實現總擾動的動態補償和閉環誤差的快速收斂，從而保證電機啟動時的電流狀態，克服內部參數變化帶來的波動。文獻[9]提出了一種基于差分進化算法的PMSM差分進化策略，表明了差分進化策略的有效性和收斂性。在文獻[10]中，針對PMSM提出了一種線性/非線性自抗擾控制切換控制策略，解決了非線性ADRC的參數整定和穩定性分析問題。在文獻[11]中，用LADRC代替PMSM的電流環PI控制，該控制方案具有較強的魯棒性和抗干擾能力，即使在大負載轉矩干擾的情況下也具有較強的抗干擾能力。

通過以上分析，研究設計了結合自抗擾控制的非奇異連續終端模糊滑模控制方法(CNTSM-Fuzzy-LADRC)，以提高永磁同步電動機伺服系統的位置跟蹤性能和魯棒性能，并克服終端滑模控制的非奇異性。該算法用連續函數取代開關函數，避免了開關函數不連續性所產生的影響，并且通過模糊控制在線實時調整滑模控制參數，減小因參數給定不當造成系統抖振；電流環采用線性自抗擾控制，保證電機啟動時電流條件，克服內部參數發生變化時引起的波動。為了驗證該方法在PMSM位置控制系統中的有效性，以非奇異終端滑模(Non-singular Terminal Sliding Mode,NTSM)、非奇異終端滑模控制結合線性自抗擾控制器(NTSM-LADRC)為對照組。仿真結果表明，該方法設計的控制器能夠提高系統的快速性和魯棒性。

1 PMSM的數學模型

PMSM的定子通常采用A、B、C三相對稱繞組，在空間上彼此相差120°電角度，定子和轉子之間通過氣隙磁場耦合。在分析永磁同步電機的數學模型時，常做如下假設[12]:

(1)忽略磁路飽和，不計鐵芯中的渦流和磁滯損耗；

(2)三相繞組對稱，在空間上互差120°電角度且不計邊緣效應；

(3)轉子上沒有阻尼繞組，永磁體也沒有阻尼作用；

(4)氣隙磁場呈正弦分布，忽略電機齒槽效應和高次諧波的影響。

定義(id,iq,ω)為永磁同步電機系統狀態變量,電壓方程如式(1)所示：

(1)

磁鏈方程:

(2)

轉矩和運動方程:

(3)

式中,ud、uq分別為d、q軸的定子電壓；id、iq是d、q軸電流；Ld、Lq是d、q軸的定子電感；ψd、ψq是d、q軸的磁鏈；Rs為定子電阻；ψf為永磁體的磁鏈；J是電動機的轉動慣量；Pn為極對數；B為粘滯摩擦系數；ωr為機械角速度；ω為電角速度；Te、TL為電磁轉矩和機械負載轉矩；研究所選擇的是表貼式永磁同步電動機，因此Ld=Lq=L。

2 連續非奇異終端滑模模糊控制器設計

為了提高整個系統的響應速度，削弱終端滑模控制中產生的抖振現象，解決存在的奇異性問題，提出連續非奇異終端模糊滑模控制算法，結構圖如圖1所示。

圖1 控制器結構圖

2.1 滑模控制器的設計

采用非奇異終端滑模控制算法，控制器輸出存在抖振現象，為了克服這一現象,用連續的趨近律代替不連續的趨近律。

定義位置跟蹤誤差為

e=θref-θ,

(4)

式中,θref、θ分別為參考位置和實際位置。

將式(4)求一階微分可得

(5)

系統滑模面設計如下：

s=e+β(e′)m/n,

(6)

式中,0<β<1，m、n為正奇數且滿足n

系統滑模趨近律設計如式(7)所示：

s′=-k[s+|s|αsgn(s)],

(7)

式中,k>0，α<1。

根據式(1)、式(4)～(7)可以得出所設計控制器的表達形式如式(8)、式(9)所示：

(8)

(9)

2.2 模糊控制器的設計

為了提高永磁同步電動機的響應時間和抗擾性能，式(7)中的k值需要根據運行狀況進行實時調節，因此,在提出的控制算法中采用模糊控制對k值進行實時在線調整。滑模控制存在的條件是ss′<0。

根據模糊控制原理，選取s、s′作為模糊控制器的輸入，k^作為模糊控制器的輸出。定義模糊集：{PB=正大、PM=正中、PS=正小、ZO=零、NS=負小、NM=負中、NB=負大}。在滿足ss′<0的條件下，制定的模糊控制規則如表1所示。

表1 k^模糊控制規則

選取三角函數作為隸屬函數。三角函數的輸入中心值為{-6，-4，-2，0，2，4，6}，對應{NB,NM,NS,ZO,PS,PM,PB}。模糊控制器對應的輸出值為{-3，-2，-1，0，1，2，3}。采用重心法得到模糊控制器的輸出[13]。

(10)

式中,u*為模糊控制器的輸出；k^為滑模控制器的輸入參數；μ(Ui)為輸出模糊集合中第i個元素對應的隸屬度。

用模糊控制器的輸出k^代替式(8)中的k，滑模趨近律為

s′=-k^[s+|s|αsgn(s)],

(11)

因此得到模糊控制器的控制量的表達式為

(12)

2.3 穩定性分析

定理1 設計非奇異終端模糊滑模控制器應用在永磁同步電動機轉速環。式(6)為滑模面，式(11)為滑模趨近律，系統狀態到達并沿滑模面運動，實現系統穩定，增強系統的抗干擾性能和魯棒性。

證明考慮Lyapunov函數v=0.5s2，對v求導得：

v′=ss′=s[-k^(s+|s|αsgn(s))]=-k^s2+k^s|s|αsgn(s),

(13)

如果s≥0，則式(13)可以改寫為

v′=-k^(s2+s|s|α)≤0,

(14)

如果s<0,則式(13)可以改寫為

v′=k^s(s-|s|α)<0,

(15)

綜上所述，結合式(14)和式(15)可以得出v'≤0。由Lyapunov穩定性條件可得，系統穩定性被證明。

3 電流環控制器的設計

電流環作為永磁同步電動機控制系統的內環控制，作用是能夠在電機啟動過程中以最大電流啟動，同時在有外部擾動時快速恢復穩定，加快動態跟蹤響應；作為內環控制，還面臨內部參數不確定性的影響。選取線性自抗擾控制(LADRC)代替傳統的PI控制。線性自抗擾控制器主要包括微分跟蹤器(TD)、線性擴張狀態觀測器(LESO)、線性誤差狀態反饋控制規律(LSEF)三部分[14]。根據線性自抗擾控制理論，由式(1)可以得出：

(16)

將式(16)變換為

(17)

(18)

式中,bq為電壓增益；aq(t)為q軸電流環的總干擾。

一階跟蹤微分器的設計如下(TD):

(19)

(20)

(21)

x′=Ax+Bu+GgL,

(22)

線性擴張狀態觀測器設計為如下形式:

z′=Az+Bu-L(z1-x1),

(23)

線性誤差狀態反饋控制規律設計如下：

(24)

式中,kp為比例增益。

根據線性自抗擾控制的參數整定方法可知[15]，

(25)

式中,ω0為LESO的帶寬；ωc為閉環系統的帶寬。

4 仿真驗證與結果對比

基于非奇異連續終端模糊滑模控制結合線性自抗擾技術的永磁同步電動機矢量控制系統如圖2所示。

圖2 永磁同步電動機控制結構圖

表2 永磁同步電動機的參數

電機空載情況下，3種方法仿真結果如圖3、4所示。通過3種方法對比可以看出結合模糊控制和線性自抗擾控制的滑模控制算法在有限時間內的跟蹤誤差為零，并且追蹤過程平穩。3種控制算法應用在永磁同步電動機的位置控制系統時的跟蹤時間如表3所示。

表3 跟蹤到參考位置的時間

圖3 空載情況下位置追蹤仿真結果 圖4 空載情況下追蹤誤差仿真結果

電機在加入外部擾動的情況下，仿真結果如圖5、6所示。在0.5 s時突加負載TL=2.5 N·m。從仿真結果可以看出，在加入擾動后，研究所提出的控制算法在跟蹤誤差、跟蹤位移兩方面都優于其他兩種方法，3種方法的最大跟蹤誤差和恢復穩定時間如表4所示。研究提出的控制算法最大跟蹤誤差最小，恢復穩定時間最短。通過上述分析可以看出所提出的控制算法，在控制系統中加入擾動后具有良好的魯棒性。

表4 仿真結果數據統計

圖5 存在外部擾動時追蹤誤差的仿真結果 圖6 存在外部擾動時追蹤位移的仿真結果

另外，永磁同步電動機位置控制系統除了存在外部擾動，還存在內部參數變化產生的影響。本次仿真實驗通過改變轉動慣量的值(J=Jo，J=5Jo，J=10J0)驗證該算法在內部參數發生變化的情況下的魯棒性。位置跟蹤誤差和位置跟蹤的結果如圖7、8所示。從仿真結果可以看出：無論內部參數如何變化，瞬態響應都是快速且準確的。因此可以得出，所提出的控制算法對外部干擾和內部干擾具有很強的魯棒性。

圖7 不同轉動慣量情況下追蹤誤差的仿真結果圖8 不同轉動慣量情況下位置追蹤的仿真結果

5 結論

針對永磁同步電動機位置控制系統的運動控制問題，提出了一種結合線性自抗擾控制和模糊控制的滑模控制算法，其主要優勢有以下3點：采用連續趨近律設計控制器，在一定程度上降低了傳統滑模控制的抖振問題;采用模糊控制實時調整參數，通過模糊語言對滑模控制的增益進行實時調整，提高了系統的響應速度和魯棒性;采用線性自抗擾控制器作為內環控制，簡化系統結構，解決了PI控制對于非線性系統的缺陷，降低了內部參數變化帶來的影響。仿真結果表明，該算法具有快速準確的跟蹤性能，對內部參數變化和外部擾動都具有很強的魯棒性。該控制算法結構簡單、計算量小，可用于其他相關的伺服系統。