隨機脈沖協議下的多智能體系統的包容控制

朱勝楠，吳小太

(安徽工程大學 數理與金融學院，安徽 蕪湖 241000)

近年來，多智能體系統在無人機編隊飛行、移動機器人的協同控制、電網的協同控制等方面都有著廣泛的應用，這也使得多智能體系統的一致性問題引起了越來越多專家學者的研究興趣[1-2]。多智能體協作控制中一個基本且普遍存在的問題就是一致性控制，其目的是設計分布式控制算法，使一組有或者沒有領導者的智能體在某些特定狀態達成一致[3-6]。當多智能體系統中有多個領導者時，研究的一致性問題也被稱為包容控制，其中跟隨者能夠在一定狀態下收斂到由多個領導者組成的凸包上[7]。到目前為止，對于非周期采樣、嘈雜的混合環境和延時的多智能體系統的包容控制，在參考文獻[8-10]中已經有了大量的結果，當然這些結果都是基于連續控制的研究。

脈沖控制是一種有效的間斷控制策略，已成為現代控制論的重要控制方法之一，與連續控制相比，脈沖控制是一種更方便、魯棒性更強、更有效的間斷控制策略[11]，只需要在特定時刻改變系統的狀態即可。特別是對于大規模分布式控制，智能體之間的信息交互會產生一定程度的消耗，連續時間控制會造成通信資源的極大浪費。因此，在過去幾十年中，對各種復雜網絡考慮了脈沖控制的一致性問題[12-13]。Wang等[14]通過脈沖混合控制研究了具有或不具有時滯的Duffing型振蕩器的完全同步問題。Yang等[15]研究了延遲脈沖系統的穩定性。Tang等[16]通過脈沖控制研究了具有時滯的準同步問題，進一步促進了脈沖效應，即脈沖控制在結果中起了積極和消極的作用。工程技術、環境生態、社會經濟等領域中出現的實際系統一般都帶有外界的干擾。

拒絕服務(Denial of Service,DoS)攻擊的目的是阻止收發器之間的通信，通常包括周期性DoS攻擊、隨機DoS攻擊和任意DoS攻擊[17-18]。DoS攻擊者通過干擾通信通道來實施攻擊行為，通常會導致控制性能下降，甚至不穩定。在文獻[19]中通過對DoS頻率和持續時間施加適當的限制，輸入狀態穩定性被考慮用于動力系統。通過利用這些假設，盡管存在DoS攻擊，仍對穩定性或者一致性進行了廣泛的研究[17,20-21]。到目前為止，對于多智能系統問題，特別是同時考慮隨機脈沖的情況下，脈沖控制問題還沒有得到充分的研究。這可能是因為在這種情況下，很難設計合適的時間脈沖控制協議來描述隨機波動，另一方面，如果脈沖受到隨機DoS攻擊，則很難采用文獻[19]中常用的假設來描述DoS攻擊下有脈沖。因此，如何描述脈沖的DoS可能是一個值得研究的問題。

基于上述討論，研究考慮了多智能體系統的隨機脈沖包控性問題。首先，對隨機脈沖協議下的多智能體系統包容控制問題進行了研究，其中脈沖控制協議由時間觸發決定。其次，研究提出了一種時變概率來描述對每個脈沖輸入進行DoS攻擊的可能性，并研究了在隨機拒絕服務攻擊下多智能體系統的脈沖包容控制問題。

1 相關定義與引理

本文考慮一個由M個領導者和N個追隨者組成的多智能體系統。追隨者的動力學行為描述為

(1)

式中，ui(t)∈n和xi(t)∈n分別表示第i個跟隨者的輸入和狀態；A是具有兼容維度的常數矩陣。領導者的動態如式(2)所示。

(2)

式中，xκ(t)∈n代表第κ個領導者的狀態。

假設N+M個智能體之間的信息交換用圖GN+M=(V,ε,A)表示，其中，V={1,…,N,N+1,…,N+M}表示滿足非空性和有限的節點集，ε?V×V是邊集，A=(aij)∈(N+M)×(N+M)表示鄰接矩陣。在矩陣A中，aij是邊(j,i)的權重，當且僅當(j,i)∈ε時,aij>0，否則，aij=0。(i,j)∈ε表示的邊意味著代理j可以從代理i接收信息，其中代理j被稱為代理i的鄰居。代理i的鄰居集由Ni={j∈V|(j,i)∈ε}表示。設D=diag{d1,d2,…,dN}為度矩陣，其中，是接普拉斯矩陣。

接下來考慮系統式(1)、式(2)的包容控制問題，給出一些必要的假設、引理和定義如下。

定義1[24]對于?i∈F={1,…,N},多智能體系統式(1)、式(2)的包容控制目標是通過提議的協議實現的，如果

dis(xi(t),Co(xκ(t),κ∈L))→0,ast→∞,

(3)

式中，Co(xκ(t),κ∈L)表示由xκ(t)組成的凸包。

為了實現多智能體系統式(1)、式(2)的一致性，脈沖控制協議定義如式(4)所示。

(4)

式中，γk是一個隨機變量，用于描述脈沖強度的隨機性；{τk}k∈是一個增量脈沖序列，limk→∞τk=+∞;δ(t)是狄拉克函數。

注1:在脈沖控制過程中引入序列隨機變量{γk}k∈+來刻畫脈沖控制過程中的隨機波動。在文獻[25-27]中對帶有隨機脈沖的動力系統進行了一些重要研究。與這些結果相比，研究的創新之處體現在以下兩個方面：①研究假設隨機脈沖由時間觸發機制決定，并在這種機制下解決了多智能體系統包容控制問題；②當隨機脈沖受到隨機DoS攻擊時，給出了保證多智能體系統達到包容控制目標的充分條件。

令

可以檢查一下式(5)：

(5)

(6)

則在期望意義上實現包容控制目標，即所有追隨者的狀態收斂到領導者的狀態所形成的凸包。

2 時間觸發隨機脈沖

在本節中，假設控制協議(式(4))中的脈沖是時間觸發的，并且多智能體系統式(1)、式(2)可以重寫為

(7)

式中，?κ∈L，i∈F，k∈。假設隨機變量γk可以服從不同的分布。

假設2 設{γk}k∈為隨機變量序列，且γk∈Λ為任意k∈N，其中，Λ={ξ1,…,ξr}是一組獨立的隨機變量，ξν=φν,1≤ν≤r。

在假設2中，r中不同類型的脈沖強度用r個隨機變量表示。下面，提出一個定義描述每個脈沖強度的脈沖效應。

定義2[26]設Nν(t,s)為時間間隔(s,t]內第ν種脈沖強度的出現次數。如果存在正常量τaν與N0ν，則對于1≤ν≤r,

那么τaν和N0ν分別稱為第ν種脈沖強度的平均脈沖間隔和彈性數。可以得到

(8)

在下文中，提供了一個定理，證明可以使用脈沖協議(式(4))實現包容控制目標。

定理1 假設1、假設2成立。如果存在正定矩陣P和常數φ，則

(IN?A)TP+P(IN?A)≤φIN?In,

(9)

(10)

證明構造一個Lyapunov函數如式(11)所示：

V(η(t))=ηT(t)Pη(t)。

(11)

可以由式(5)和式(7)得到

(12)

對于任何t∈[τk,τk+1)和k∈,意味著對于t∈[τk,τk+1)，

(13)

根據式(13)、式(9)可知，

(14)

這意味著

V(η(t))≤V(η(τk))eφ(t-τk),

(15)

V(η(τk))=

(16)

式中，Θk=(IN-γkL1)?In。設Fk=σ{γ1,γ2,…,γk}是由γ1,γ2,…,γk生成的σ代數。可以證實

(17)

由式(16)與式(17)可知，

V(η(τk))≤Ξk

(18)

V(η(t))≤

因此，對于任何t≥t0,

V(η(t))≤

(19)

從式(10)可以得到

(20)

因此可以得到

(21)

由上可知，脈沖控制協議(式(4))解決了多智能體系統期望意義上的包容控制問題(式(7))。

注2:在定理1中，引入時間觸發的脈沖包容控制，以保證所有跟隨者的狀態能夠收斂到由領導者的狀態在期望意義上形成的凸包，其中脈沖強度是隨機的。隨機脈沖強度用于描述脈沖控制過程中的隨機波動，它還可用于描述受到隨機拒絕服務攻擊的脈沖。

3 結論

本文引入隨機脈沖來描述脈沖控制過程中的隨機波動。在隨機脈沖協議下，假設脈沖為時間觸發的，研究了多智能體系統的包容控制。此外，如果脈沖受到隨機DoS攻擊，提出一個時變概率來描述每次DoS攻擊的可能性，并獲得了實現在DoS攻擊下多智能體系統的包容控制的充分條件。