借助生活經(jīng)驗(yàn)，抽象概念本質(zhì)

郭延巖

摘要：“生活中的比”是北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第69頁(yè)的內(nèi)容，本課培養(yǎng)的核心素養(yǎng)是“模型思想”，即通過從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。“比”的認(rèn)識(shí)為后續(xù)學(xué)習(xí)正比例、反比例和函數(shù)模型奠定重要的概念基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：生活中的比 抽象思維 模型思想

史寧中教授在《數(shù)學(xué)思想概論（第一輯）》中對(duì)數(shù)學(xué)思想做了明確的闡述：“至今為止，數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。通過抽象，在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算法則，通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系”。

一、教學(xué)對(duì)象分析

從心理發(fā)展上看，高年級(jí)學(xué)生正處于皮亞杰認(rèn)知發(fā)展階段中的形式運(yùn)算階段，他們的思維已發(fā)展到抽象邏輯推理水平，喜歡探索有趣的、自己熟悉的有挑戰(zhàn)性的問題，學(xué)生也已具備一定的閱讀、理解能力和自學(xué)能力。從知識(shí)上看，學(xué)生已有了“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”、“分?jǐn)?shù)乘、除法的意義和計(jì)算方法”、“分?jǐn)?shù)乘、除法應(yīng)用題”的基礎(chǔ)。關(guān)于“比”，學(xué)生印象比較深的是a與b之間的“差關(guān)系”，例如“中國(guó)女排以3比0完勝對(duì)手”。而本節(jié)課的授課內(nèi)容主要在比較兩數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，表明a與b之間的“倍關(guān)系”。因此，本節(jié)課重點(diǎn)應(yīng)在于理解“比”表示的是兩個(gè)量的“倍數(shù)關(guān)系”這一重要意義。

二、課堂實(shí)錄

（1）借助情景，建立表象。

師：小翔要做張少先隊(duì)大隊(duì)委的競(jìng)選海報(bào)。請(qǐng)大家仔細(xì)觀察制作過程。（動(dòng)畫演示照片的形變過程）

師：經(jīng)過調(diào)整，哪幾張圖和圖A比較像呢？

生：B、D和A像C、E和A不像。

師：像與不像可能會(huì)和圖形的什么有關(guān)系？

生1：照片的像和不像與圖形的面積大小有關(guān)，長(zhǎng)乘寬的結(jié)果會(huì)影響它的像與不想。

生2：和本身長(zhǎng)和寬的變化有關(guān)。

生3：分別和照片之間長(zhǎng)和寬的倍數(shù)有關(guān)。

設(shè)計(jì)意圖：好的素材是兒童模型思想形成的基礎(chǔ)。通過學(xué)生感興趣的海報(bào)制作，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)圖片變化過程。借助圖形中介，建立半直觀半抽象的表象，在豐富的表象基礎(chǔ)上，探索“長(zhǎng)與寬的關(guān)系”，形成“比”基本感知。

（2）循序漸進(jìn)，語(yǔ)言表征

師：看來(lái)我們的思路都指向了圖片的長(zhǎng)和寬的關(guān)系。下面我們就重點(diǎn)研究這幾張圖片，請(qǐng)看學(xué)習(xí)要求。

學(xué)習(xí)要求：①想一想：相像的圖形，長(zhǎng)與寬有什么關(guān)系？②算一算：根據(jù)計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？③說(shuō)一說(shuō)：組內(nèi)充分交流，說(shuō)說(shuō)你是用什么方法研究的，你的發(fā)現(xiàn)是什么。（學(xué)生獨(dú)立思考，小組交流）

方法1：長(zhǎng)與寬之積與圖形的相似無(wú)關(guān)。

生：我用乘法研究的，我計(jì)算的是他們的面積。我發(fā)現(xiàn)他們的面積和他們像不像沒有關(guān)系。

師：用面積沒有辦法判斷。還可以用什么方法？

方法2：同一圖形中長(zhǎng)與寬的倍數(shù)關(guān)系。

生：A的長(zhǎng)寬：6÷4=1.5;B的長(zhǎng)寬：3÷2=1.5 ;D的長(zhǎng)寬：12÷8=1.5 ;C的長(zhǎng)寬：3÷8=0.375;E的長(zhǎng)寬：12÷2=6。如果圖形的長(zhǎng)是寬的1.5倍，與圖A相同，則這個(gè)圖形與A像。

方法3：不同圖形之間長(zhǎng)與長(zhǎng)、寬與寬的倍數(shù)關(guān)系。

生：A與B的長(zhǎng)6÷3=2，寬4÷2=2。A與D的長(zhǎng)6÷12=0.5，寬4÷8=0.5。B與D的長(zhǎng)3÷12=0.25，寬2÷8=0.25。可以看出圖形如果兩個(gè)圖形之間的長(zhǎng)和寬的倍數(shù)相同，說(shuō)明他們的長(zhǎng)和寬是同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)，所以這兩個(gè)圖形像。

師：我們發(fā)現(xiàn)圖形長(zhǎng)和寬的的倍數(shù)關(guān)系不變，看起來(lái)像;長(zhǎng)和寬的倍數(shù)關(guān)系發(fā)生了變化，看起來(lái)不像。

師：這些算式我們都是用什么方法算的？

生：都用除法計(jì)算。

設(shè)計(jì)意圖：從抽象思想的深度，首先要經(jīng)歷簡(jiǎn)約階段，即把握事物的本質(zhì)，把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化、條理化，能夠清晰地表達(dá)。本環(huán)節(jié)通過兩個(gè)同類量之比的計(jì)算，將圖形的長(zhǎng)、寬關(guān)系抽象為數(shù)學(xué)運(yùn)算。先呈現(xiàn)用長(zhǎng)乘寬探究面積的方式，得出面積無(wú)法作為圖形像不像的判斷依據(jù)。接著呈現(xiàn)同一圖形中長(zhǎng)與寬的倍數(shù)關(guān)系，通過標(biāo)準(zhǔn)例證體會(huì)用除法計(jì)算兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系。最后呈現(xiàn)不同圖形之間長(zhǎng)與長(zhǎng)、寬與寬的倍數(shù)關(guān)系，運(yùn)用“形變而質(zhì)不變”的變式例證使學(xué)生深入理解概念內(nèi)涵，突出“比”表達(dá)的是兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系。

（3）自主學(xué)習(xí)，建構(gòu)概念。

師：像這樣的式子。在數(shù)學(xué)里，我們把兩個(gè)數(shù)相除，又叫做這兩個(gè)數(shù)的比。這說(shuō)明比表達(dá)的是兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系。關(guān)于比，請(qǐng)大家自學(xué)課本p69，認(rèn)一認(rèn)。把你覺得關(guān)鍵的語(yǔ)句畫一畫。

（學(xué)生自主閱讀關(guān)于比的知識(shí)）

師：6÷4可以寫作：6：4，還可以寫成四分之六，計(jì)算后得1.5。通過自學(xué)，你還知道了什么？

生：中間的“：”在數(shù)學(xué)里叫“比號(hào)”，比號(hào)前面的數(shù)叫“前項(xiàng)”，比號(hào)后面的數(shù)叫做“后項(xiàng)”。商是“比值”。

師：比值怎么計(jì)算會(huì)嗎？

生：用前項(xiàng)除以后項(xiàng)。

師：根據(jù)剛才長(zhǎng)和寬的關(guān)系，我們還可以寫出比嗎？

生：3：2=1.5;

師：3在比里稱作？2是什么？1.5是什么？

生：3在比里稱作前項(xiàng)，2是后項(xiàng)，1.5是比值。

我們還可以寫：12：8=1.5;3：8=0.375;12：2=6。

師：看來(lái)大家對(duì)比已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)了，你能從比的角度解釋照片為什么像嗎？

生1：不管怎么擴(kuò)大或縮小，長(zhǎng)與寬的比值是1.5時(shí)，照片一定像。

生2：長(zhǎng)與寬的倍數(shù)關(guān)系可以用比來(lái)表示。

生3：長(zhǎng)和寬同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，照片會(huì)像。

師：你們總結(jié)的真好，不管我們的照片怎么擴(kuò)大或縮小，長(zhǎng)和寬的比值相同時(shí)。照片一定像。

設(shè)計(jì)意圖：抽象思想深度的第二階段，即符號(hào)階段。該階段是指去掉具體內(nèi)容，利用概念表達(dá)已經(jīng)簡(jiǎn)化了的一類事物。符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)思考的重要形式，數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象性、簡(jiǎn)約性、精確性和可運(yùn)算性使得數(shù)學(xué)思維變成可視的符號(hào)操作過程。通過對(duì)“比”各部分名稱的認(rèn)識(shí)，聯(lián)系具體圖形求解比值的運(yùn)算體驗(yàn)，為學(xué)生創(chuàng)造“舍去現(xiàn)實(shí)背景去抽象，回歸現(xiàn)實(shí)背景去聯(lián)系”的機(jī)會(huì)，將直觀經(jīng)驗(yàn)與理性思考結(jié)合，建構(gòu)“比”的概念模型。

（4）聯(lián)系生活，鞏固概念。

師：比在我們的生活中無(wú)處不在，請(qǐng)你說(shuō)一說(shuō)這些比的含義。

1. 我國(guó)國(guó)旗長(zhǎng)和寬的比是3：2。

生：國(guó)旗的長(zhǎng)是寬的1.5倍。

1. 第六次人口普查的結(jié)果是男女人數(shù)的比是105∶100

生：如果有105個(gè)男生，就有100個(gè)女生。

1. 地球上海洋面積和陸地面積的比是7：3。

生：地球上海洋的面積是陸地面積的三分之七倍。

師：你還能舉出一些生活中的比嗎？

生：金龍魚調(diào)和油的比例是1：1：1。

生：糖水中糖和水的比是1：2

師：昨天有一個(gè)振奮人心的消息，中國(guó)女排以十一場(chǎng)全勝豪取第十三屆女排世界杯冠軍！實(shí)在是太令人自豪了！那比賽中的比分和這節(jié)課學(xué)的比一樣嗎？

生：前項(xiàng)和后項(xiàng)可以是 整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)，但計(jì)分只能是整數(shù)。

生：比要有一定的倍數(shù)關(guān)系。

生：除法的被除數(shù)不能為0。

師：剛才爭(zhēng)論那么多，其實(shí)，各類比賽中的比不是我們這節(jié)課學(xué)習(xí)的比，它只是一種計(jì)分形式，表示的是相差關(guān)系，不是倍數(shù)關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：抽象思想深度的第三個(gè)階段是普適階段，即通過假設(shè)和推理建立法則、模式或模型，并能夠在一般意義上解釋具體事物。概念教學(xué)既要引導(dǎo)學(xué)生由具體到抽象，形成概念;又要讓學(xué)生由抽象到具體，運(yùn)用概念。通過勾連生活中的比，討論比和比值的意義，讓學(xué)生體會(huì)模型思想，厘清計(jì)分中的“比”表示的“差關(guān)系”與本節(jié)課所學(xué)的“倍關(guān)系”有差異，進(jìn)一步體會(huì)“比”的意義。

（5）分析練習(xí)，內(nèi)化概念。說(shuō)一個(gè)用3：4表示的情景。

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)抽象是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界具有數(shù)量關(guān)系和空間形式的真實(shí)材料進(jìn)行加工、提煉出共同的本質(zhì)屬性，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)進(jìn)而形成數(shù)學(xué)理論的過程，是由看得到摸得著的事物轉(zhuǎn)向無(wú)形的思維體驗(yàn)。本環(huán)節(jié)運(yùn)用“比”的知識(shí)解釋圖形相向的原因，通過“3：4表示的情景”反向運(yùn)用抽象思想，強(qiáng)化對(duì)“比”的認(rèn)識(shí)與表達(dá)，內(nèi)化概念模型。