Landau 定理在高維復射影空間的推廣

王 晗，劉曉俊

（上海理工大學 理學院，上海 200093）

1 問題的提出

設(shè)f:D(a,r)→C 全 純，且對于所有z∈D(a,r)，f(z)≠0 且f(z)≠1。Landau 定理[1]斷言:存在絕對常數(shù)A和B使得

且

式（1）中常數(shù)A被稱為Landau 常數(shù)。曾經(jīng)有許多數(shù)學家致力于估計此常數(shù)A，1947 年Hayman[2]最早得出A的估計值，證得A≤5π。Jenkins[3-4]采用和Schottky 定理類似的方法在1955 和1956 年分別推出A≤7.77和A≤5.94。1960 年，Lai[5]對文獻[3-4]中Jenkins 的方法稍加改進，得到=4.76···。在20 世紀70 年代末，首先由Lai[6]給出了A的精確估值：

Hempel[7]和Jenkins[8]先后彼此獨立地得到了相同的結(jié)果，他們所用的證明方法各有不同。盡管如此，Landau 定理的顯示估計形式仍有改進的空間。

近年來，Cherry 等[9]建立了單位圓盤到高維復射影空間中全純曲線的Landau 定理，得到定理1。

定理1設(shè)H0,···,H2n為 Pn上 2n+1個位于一般位置的超平面，設(shè)

受定理1 的啟發(fā)，本文研究上述問題。若將條件改為：設(shè)f:Δ →Pn(C)為 全純曲線，D1,D2,···,D2t+1為 Pn(C)上 的 2t+1個 位于t-次一般位置的超曲面，結(jié)合Zalcman 引理[10-11]得到類似的結(jié)果。

定理2設(shè)f:Δ →Pn(C)為 全純曲線,D1,D2,···,D2t+1為 Pn(C)上 的 2t+1個 超曲面 且位于t－次一 般位置。若對于每一個j=1,2,···,2t+1,f(C)不 取Dj,則存在絕對常數(shù)M使得

且

由此可得推論1。

推論 1設(shè)f:D(a,r)→Pn(C)為 全純曲線，D1,D2,···,D2t+1為 Pn(C)上 的 2t+1個 超曲面且位于t－次一般位置。若對于每一個j=1,2,···,2t+1,f(C)不取Dj,則存在絕對常數(shù)M使得

本文給出主要定理證明之前，先介紹一些符號。D(a,r)為 C 中的區(qū)域，表示以a為圓心、r為半徑的圓盤。D(0,1)是單位圓盤，記作 Δ。其中，fn(z)?f(z)在D上 表示序列 {fn}按 照 Pn(C)上的富比尼-施圖迪（Fubini-Study）度量在D上內(nèi)閉一致收斂于f。對于定義在D內(nèi)的全純映射f(z)，f在 點z的球面導數(shù)記作。

2 定義及符號

特別地，M=Pn(C)時，即超曲面關(guān)于 Pn(C)處于t－次 一般位置也簡稱為處于t－次一般位置。關(guān)于Pn(C)處于n－次一般位置也簡稱為處于一般位置。

直觀上說，超曲面D1,D2,···,Dq關(guān)于M處于t－次 一般位置是指，對任意的一點p∈M，至多存在這些超曲面中的t個在此點相交。

有兩種方法將Nevanlinna 理論推廣至全純曲線上，分別是Cartan 利用對數(shù)導數(shù)引理的方法及Ahlfors 的負曲率方法。

設(shè)f:C →Pn(C)為全純曲線，r＞0，定義f的Cartan-特征函數(shù)Tf(r)為

其中，f是f的一個既約表示。

這個定義事實上與f的既約表示的選取無關(guān)。

定義f的Ahlfors-特征函數(shù)Tf(r)為

其 中，ωFS為 Pn(C)的Fubini-Study 度量的微分形式。這兩種定義是統(tǒng)一的，事實上由全純映射的Green-Jensen 公式，有

計算Fubini-Study 度量形式在全純曲線下的拉回，則

3 幾個引理

眾所周知，Zalcman 引理[13-14]為正規(guī)族理論中一個非常重要的引理，起著核心的作用。在給出主要定理的證明過程之前，需要如下關(guān)于從Ω ?C 到 Pn(C)的全純映射的Zalcman 引理（引理1）。

引理1[13-14]設(shè) F是一族從 C 上區(qū)域 Ω映到Pn(C)上 的全純映射，F(xiàn) 在 Ω上不正規(guī)當且僅當存在子列 {fn}?F，點列 {zn}?Ω，且zn→z0∈Ω，正數(shù)列 { ρn}滿 足 ρn＞0和 ρn→0，使得

在 C的緊子集上一致收斂于從 C映 到 Pn(C)的非常值全純映射g。

在主要定理的證明過程中，需要Picard 型定理（引理2）。

引理2[15]設(shè)f:C →Pn(C)為一條全純曲線，其中，X是 Pn(C)中 的一個閉子集，D1,D2,···,D2t+1為 Pn(C)上 的 2t+1個超曲面，關(guān)于X處于t－次一般位置，若f(C)不 取Dj，或 者f(C)?Dj，j=1,2,···,2t+1，則f必為常映射。

4 定理的證明

4.1 定理2 的證明

證明倘若不然,則存在zn,|zn|∈Δ,使得

其中，g(ξ)是 C 映射到 Pn(C)上的非常數(shù)全純曲線。

由于f(C)不 取Dj，j=1,2,···,2t+1，故由Hurwite定理可得g(C)不 取Dj，或g(C)?Dj，j=1,2,···,2t+1。由引理2 可知，g必為常映射，矛盾。定理2 得證。

存在M＞0，使得

結(jié)合式（3）和式（4），則

4.2 推論1 的證明