真問題、真探究，讓小學數學教學走向深入

胡本焱

圓柱體是小學生最為困擾的數學知識，除了計算復雜之外，還有題型豐富、變式多樣等難點。解決相關問題，學生面臨的難度較大，其主要原因是對圓柱體特征的認識和理解不到位。對此，筆者希望通過設計真問題，引導學生開展真探究，培養學生空間觀念，幫助學生實現有深度的學習。

對教學活動的初步設想與反思

為實現上述教學目標，筆者開展了一次圓柱體側面展開圖的探究活動：

探究活動1：卷出側面

請用一張長方形紙卷出各種立體圖形。說說每個立體圖形的側面與長方形紙有什么關系，如何求側面積。

探究活動2：剪出側面

準備多個紙圓柱體側面，沿高剪開、沿斜線剪開、沿任意曲線剪開，展開后是什么樣子？有什么共同特征嗎？剪完后，給它們來個大合影，并試著找找，你發現了什么？

探究活動3：創造側面

想象一下圓柱體的側面展開圖還可能是什么圖形？把它設計出來，然后動手卷一下，看看能卷成圓柱體嗎？

該教學策略符合小學生空間觀念的特點——注重直觀、注重活動性，從操作中增強學生對圖形的認識和體驗，促進空間觀念的形成。然而對于圓柱體的側面展開圖、二維平面與三維空間，學生往往難以理解其對應關系。這使筆者陷入了思考。目前流行培養學生空間觀念的教學策略，大體有眼睛觀察、頭腦想象、動手操作三大法寶。但現實教學中往往出現以下誤區——

過于重視形式多樣，缺乏問題引領。多樣的形式能幫助學生較好形成形體特征的表象，突出形體的本質屬性。但如果形式的背后缺乏核心問題、真問題和深問題的引領，學習就會停留于表面。

過于依賴直觀操作，缺乏思維深度。直觀操作的價值在于增強對形體特征的認識和體驗，是培養學生空間觀念的重要教學策略之一。但正如南京大學教授鄭毓信所說，如果我們的教學止于“直觀操作”，沒有更加深入的思考，學生始終停留在較低的發展水平，是一種“要不得的”教學。例如前文的三個探究活動，看似層層遞進，但始終脫離不了直觀操作，缺乏有深度的思考，因而學生的探究容易陷入盲目。

過于追求內容寬泛，缺乏相互聯系。前文的探究活動突出圓柱體與已學直柱體之間的聯系和轉化，在探究活動的設計過程中貪多求全，看似有“聯”，卻丟了本質。過于關注細枝末節，卻忽視了知識“主干”。

設計真問題，展開真探究

一是理清核心點，設計真問題。核心問題來源于核心知識。圓柱體特征的認識和描述是本單元的主體內容，為后續的學習提供知識基礎和思維方式，具有統領作用。從課時目標來看，學生是首次從教學的角度認識曲面，與長方體等棱柱體有著本質的不同，如果我們認識不到這一點，就無法挖掘出真問題。基于以上的認識，筆者重構了“探究活動1”。

【重構】探究活動1：

我們知道一張長方形紙橫著卷或者豎著卷，都可以卷成一個圓柱體。那么一張平行四邊形的紙也可以嗎？動手試一試，并試著說說其中的道理吧。

從知識的本質來講，圓柱體的特征是下位的。從思維層面來講，圓柱體的特征是上位的，具有高度的概括性。當一個形狀能卷成圓柱體，那它一定能折成長方體等其他棱柱體。對于學生來說，將一個平行四邊形折成長方體，是有一定困難的，但如果先卷成圓柱體，再折成長方體就簡單多了。這就是圓柱體有別于其他直柱體的地方，賦予了圓柱體核心知識的地位。針對這一核心知識，筆者設計了一個真問題——平行四邊形可以通過兩種不同方向卷成圓柱體嗎？并說說其中的道理。學生通過動手操作，反復琢磨，逐步形成空間觀念。

有學生說：“我們以前在研究平行四邊形面積的時候，就是把平行四邊形轉化成長方形的。長方形可以卷成圓柱體，平行四邊形也是可以的。”學生能夠回憶起與之相關的知識，并把它們聯系起來。用“轉化”的思路來理解知識之間的聯系，這正是學生習得數學基本思想的體現，這一過程也有效提升了學生思維的深刻性。

二是圍繞思維點，開展真探究。荷蘭數學家弗賴登塔爾說過，學習數學的唯一正確方法就是實行“再創造”。學生通過教師的教學，除了對原有知識結構進行“再加工”，更重要的是對知識背后的思想方法進行建構。數學深度教學的一個基本要求就是一定要“講道理”。

原來的“探究活動2”中對于能卷成圓柱體側面的一些圖形，盡管也讓學生去思考這些圖形的共同點，但對于學生來說難度很大，不少學生表示：“是個怪怪的圖形”“不知道是一個什么圖形”“除了長方形，其他的都不是我們學過的軸對稱圖形”。小學階段不要求講授中心對稱圖形的知識，如果教師回避這一知識，就失去了“講道理”的機會。實際上，教師無須講解中心對稱的概念，只需給學生提供一個小小的“支架”即可。筆者將“探究活動2”重構，圍繞“能卷成圓柱體側面的這些圖形的共同特征”這一思維點，給學生提供探究的路徑和方法，找到這些圖形共同的特質和內在聯系，有效提升學生的思維發展水平。

【重構】探究活動2：剪出側面

準備多個紙圓柱體側面，沿高剪開、沿斜線剪開、沿任意曲線剪開，展開后會是什么樣子？

把這些圖形繞某個點旋轉180度，看看它們有什么共同特征？

這里沒有強調繞“中心點”。從實際的教學效果來看，學生都能發現“通過這樣的變換之后，圖形跟原來一樣”。

三是聚焦聯系點，促進深度學。南京大學教授鄭毓信給數學教師的一個建議是：“數學基礎知識的教學，不應求全，而應求聯。”數學課堂要追求少而精，只有這樣，師生才有更多的時間，對核心知識進行深入學習。教學重點應該突出圖形之間的聯系與轉換，運用比較的方法，立足整體的知識結構，從而實現學生有深度的學習。圓柱體的特征是引導學生探究立體圖形與立體圖形之間、平面圖形與立體圖形之間轉化的最好素材，可以有效促進學生的幾何思維水平發展。據此，筆者重構“探究活動3”，其思路是從平面到立體再到平面。

【重構】探究活動3：創造側面

準備一張長方形紙，用紅筆畫出一條對角線。

把這張長方形紙卷成圓柱體（紅線朝外），并粘貼連接處。

用剪刀沿著紅線把圓柱體剪開，你發現了什么？

重構之后的“探究活動3”既是對“探究活動1”的驗證和拓展，也是對“探究活動2”的補充。該活動還可以繼續下去，當學生沿著紅線剪開之后，得到一個平行四邊形，再用藍線畫出它的對角線，同樣按照剛才的步驟把剪開的圓柱體再次粘貼好，然后沿著藍線剪開，又得到了一個平行四邊形……這樣操作幾次，學生對于把較短邊作為圓柱體底面周長的平行四邊形卷成圓柱體就不陌生了。此番操作有利于發展學生空間想象能力，形成知識網絡，實現知識技能和思想方法上的提升。

深度教學與淺層次教學相對立，是為了讓學生的學習真實發生。教師應該努力吃透教材、琢磨習題意圖、了解學生特點，本著實踐、反思和批判的精神，從實踐中去尋找問題、解決問題，對教學活動進行反思和批判，從而設計核心問題，開展有意義的探究活動，為學生的深度學習鋪路搭橋。