基于區間化參數的平面閘門主梁撓度可靠度分析

張迅煒，鄭鼎聰，周建方

（河海大學機電工程學院，江蘇常州 213022）

0 引 言

對閘門主梁進行撓度可靠度分析時，需要考慮3 個方面的因素。一是閘門主梁撓度的失效準則存在模糊性，即主梁的撓度失效并非按閘門設計規范（SL74-2020）［1］中所規定的，相對變形超過限值即絕對失效，相對變形小于限值則絕對安全。事實上，主梁從安全狀態到失效應是一個逐步過渡的過程，而不是一個絕對邊界。因此，常將主梁相對變形限值看作一個模糊變量。為使傳統的可靠度計算方法仍適用于含模糊變量的主梁撓度可靠度分析，可采用當量隨機化方法將主梁相對變形限值由模糊變量轉化成隨機變量。

第二個因素是閘門主梁的抗力R。當閘門主梁相對變形限值轉化成一個隨機變量后，抗力R也隨之確定。由文獻［2，3］可知，抗力R一般為對數正態分布，其數字特征主要受反映閘門主梁材料性能不定性的隨機變量KM、反映閘門主梁幾何尺寸不定性的隨機變量KA、反映閘門主梁抗力計算模式不定性的隨機變量KP以及相對變形限值的不定性K［w］的影響。KM、KA及KP可通過查閱文獻得到，K［w］亦可通過計算求得，最終由誤差傳遞公式可得抗力R的統計參數。至此，抗力R的分布類型及數字特征可知，故工作的重點在于研究第三個因素，即閘門主梁所受的荷載S。

在閘門主梁所受所有荷載中，靜水壓力對其可靠性的影響程度最大，故本文主要針對靜水壓力進行分析。目前，若要直接確定靜水壓力的隨機分布尚有困難。由文獻［4］可知，閘門作用水頭與靜水壓力呈近似線性關系。因此，可通過對閘門作用水頭進行分析獲得靜水壓力的統計信息。然而，對閘門作用水頭進行統計分析面臨著數據不足的問題。由于基于有限的樣本，難以建立閘門作用水頭準確的概率模型，這使得可靠度分析的結果是否能夠代表真實情況存在較大爭議，該問題也在一定程度上限制了可靠性分析方法在閘門上的實際應用。

為此，筆者認為可對有限的閘門作用水頭資料進行區間分析，將其均值及其標準差用區間量表示，并給出該區間包含參數真值的可信程度。此時，閘門可靠度分析由傳統的全概率模型計算轉為概率－區間混合模型計算。本文以丹江口水庫某一平面深孔閘門為例，分別采用全概率模型及概率－區間混合模型分析閘門主梁撓度可靠度。結果表明，區間-概率模型分析結果包含了全概率模型的結果，并能給出相應的置信度，從而驗證了靜水壓力的統計參數用區間變量表示的可行性。

1 靜水壓力統計分析

對閘門而言，最主要的荷載為靜水壓力，其大小通常用閘門作用水頭來描述。目前，所能得到的統計資料大多是大壩的水頭信息，因此，對閘門所受靜水壓力進行統計分析時，需將大壩水頭的統計資料轉化成閘門作用水頭資料。閘門的作用水頭HSG為：

式中：HS為大壩水頭；H0為閘門孔口底檻對壩底高度，當大壩水頭取設計值HSd時可得對應的閘門作用水頭設計值HSGd。

由于所能得到的閘門作用水頭的統計資料記錄年份有限，以此為子樣所求得的統計參數難以精確地描述大壩水頭（即母體）的概率分布。因此，可采用參數的區間值，同時此區間包含參數真值的可信程度，即統計學中的置信區間［5］。

依據中心極限定理，在子樣容量充分大時，子樣均值趨向正態分布。此時的母體標準差σ是未知的，按照文獻［6］，母體標準差σ未知時，在置信水平為1-α時的母體均值m的置信區間為：

置信水平為（1-α）時母體的標準差σ的置信區間為：

式中：S、n含義同前；(n- 1)與- 1)為卡方分布值。

為能夠描述靜水壓力的不定性，結合式（1），可采用無量綱統計參數。即：

2 閘門主梁抗力分析

2.1 極限狀態方程的建立

閘門主梁通常被簡化為受均布荷載的簡支梁，則其相對變形w為［7］：

式中：W為撓度；L為閘門主梁跨度；q為靜水壓力；E為閘門主梁的彈性模量；I為閘門主梁的截面慣性矩。

將其改寫成一般式可得：

式中：S為荷載效應，S=q L2/8；C為與閘門主梁端部約束條件、跨度有關的系數，C=384/（40L）；EI為抗彎剛度。

依據閘門設計規范（SL74-2020），變形驗算規定為：

由式（7）可建立閘門主梁正常使用極限狀態方程為：

式中：［w］是閘門主梁相對變形限值。

在閘門設計規范（SL74-2020）中為一定值，參考文獻［8，9］，認為［w］為一模糊量更為合理（下文中將規范中規定的閘門主梁相對變形限值用［w］K表示），其隸屬函數為降半梯形分布（見圖1），即：

圖1 降半梯形隸屬函數

式中：x1，x2為兩個限值。

當x＜x1時，認為閘門主梁安全；x＞x2時，閘門主梁完全失效；x1≤x＜x2為過渡區，此時閘門主梁是否失效處于模糊狀態，由文獻［9］可知，露頂門x1=1/600，x2=1.1x1；潛孔門x1=1/750，x2=1.05x1。

由于結構模糊失效域μ(x)與結構模糊允許域互為補集，所以為升半梯形隸屬函數：

采用文獻［10］中的當量隨機化方法，可將模糊量［w］轉化為隨機量，當量隨機化后的均值及標準差為：

式中：x1與x2意義同上文。

在式（8）的極限狀態方程中，荷載效應與抗彎剛度均在w中反映，與承載能力極限狀態方程的表示不一致，為此，定義：

將式（6）代入式（8），并結合式（12）的定義，有：

上式與承載能力極限狀態方程完全一致，可采用一次二階矩法進行計算。

2.2 抗力的統計參數

極限狀態方程式（13）中的抗力R可改寫成一般的表達式：

式中：RK為相對變形達到閘門設計規范（SL74-2020）規定的閘門主梁相對變形限值［w］K時計算所得的抗力標準值；KP、KM、KA及K［w］分別為反映計算模式、材料性能、幾何參數以及［w］不定性的隨機變量。

抗力的不定性用無量綱統計參數KR來描述：

KR的統計參數可基于M、F及P的統計參數由誤差傳遞公式推得，其平均值：

變異系數：

由（12）式可知，材料性能指的是鋼材的彈性模量，目前國內統計量為KM= 1.0，δKM= 0.06；本文按文獻［11］中有關規定對焊接工字鋼截面統計參數分析的結果為KA=1.0，δKA= 0.022；由于閘門主梁是受彎構件，根據文獻［12］，受彎構件計算模式不定性統計參數為KP= 1.0，δKP= 0.1。將相關數據代入式（11），可得露頂門［w］當量隨機化后所得隨機量的均值m=0.001 750，標準差σ=0.000 048 1；潛孔門m=0.001 367，σ=0.000 019 2。

此時，K［w］為：

變異系數：

由式（18）及式（19）求得露頂門K[w]= 1.05，δK[w]= 0.027 5；潛孔門K[w]= 1.025，δK[w]= 0.014 0。結合式（16）、式（17）及有關數據，可得閘門主梁抗力的統計參數見表1。

表1 閘門主梁抗力統計參數

參考文獻［1，2］，閘門主梁抗力一般為對數正態分布。

3 概率—區間混合模型可靠度分析

帶有區間變量Y的隨機變量X從原空間映射到標準正態空間為：

對應的原極限狀態方程在U空間的表達式為：

式中：Y為m維區間參數，Y∈［YL，YR］，YL和YR分別為區間參數的上下限。

由于區間變量的存在，原空間中的極限狀態方程映射到標準正態空間后，將形成一帶狀區域（極限狀態帶），此時的可靠度指標β為一區間范圍［βL，βR］，βL、βR分別為原點到帶狀區域兩邊界的最短距離，見圖2。

圖2 極限狀態帶與可靠度指標

由文獻［13］可知，若某一變量的累積概率密度函數CDF 關于其區間參數單調，則極限狀態帶的兩邊界必然對應著區間參數的上下限。區間參數可根據其對CDF的影響分為第1類區間參數和第2 類區間參數［14］。其中，第1 類區間參數是指CDF 的單調性僅與其參數本身有關，與隨機變量無關，如正態分布中的均值μ；第2 類區間參數是指CDF 的單調性不僅與參數本身有關，且與隨機變量相關，如正態分布中的標準差σ。

對于第1 類區間參數，受該類參數影響所形成的極限狀態帶的邊界為光滑邊界，易知極限狀態帶的邊界與區間參數上下限的對應關系與CDF 的單調性及功能函數的梯度值?G/?Y有關。常見的CDF與第1類區間參數的單調性關系見表2。

表2 常見的CDF與第1類區間參數的單調性關系

極限狀態帶的邊界與第1類區間參數上下限的具體對應關系見表3。

表3 第1類區間參數上下限與極限狀態帶邊界的對應關系

對于第2 類區間參數，在具體計算過程中產生交叉分段的情況。因此，需在確定第1 類區間參數與極限狀態帶邊界對應關系的基礎上將該類區間參數的上下限代入試算，以獲得可靠度指標上下限βL及βR。

4 算 例

丹江口水庫一期工程的壩頂高程為162 m，最大壩高為97 m，相應的正常高水位為157 m。其中某一平面潛孔門的孔口底檻高程為113 m，主梁材料為Q235 鋼。該水庫1970-1999年共計30年的年最高水位資料見表4。

由于表4 中所給數據為水庫水位，最終需將其轉化為閘門作用水頭數據。結合式（1）可知，閘門作用水頭=水位－閘門孔口底檻高程。這樣即可直接對閘門作用水頭進行統計分析。由于可靠度分析中常見的分布類型包括正態分布、對數正態分布及極值Ⅰ型分布，故假設閘門作用水頭服從上述三種分布，并在α=0.05 的置信度下采用K-S 檢驗法進行檢驗。檢驗結果見表5。

表4 丹江口水庫年最高水位統計表

表5 閘門年最高作用水頭分布檢驗

表5 中的結果表明，該閘門年最高作用水頭不拒絕正態分布及對數正態分布，但拒絕極值Ⅰ型分布。其中，正態分布的統計量小于對數正態的統計量。因此，采用正態分布對閘門年最高作用水頭分布進行擬合的效果最佳。

由于樣本數量的限制，難以精確地得到閘門年最高作用水頭均值與標準差。因此，采用參數的區間估計。依據式（2）及式（3）可求得該閘門在置信水平為0.95 時，年最高作用水頭均值mHSG的區間及年最高水位標準差σHSG的區間為：mHSG∈(38.5，41.65）；σHSG∈（3.346，5.648）。根據《水利水電工程結構可靠性設計統一標準》（GB 50199-2013）［15］，對于正常使用極限狀態，作用的分項系數應取為1.0，因此設計水位即為正常高水位。據此可推得閘門作用水頭設計值=正常水位－孔口底檻高程=44 m。

按式（4）可得靜水壓力的無量綱統計參數K，其均值mK的區間及標準差σK的區間為：mK∈(0.875，0.947）；σK∈(0.076 0，0.128 4）。由于閘門作用水頭用正態分布的擬合效果最佳，因此，可認為靜水壓力服從正態分布。

抗力的統計參數見表1。依據上文中的概率—區間混合模型可靠度分析方法，可知mK=0.875 對應極限狀態帶下界；mK=0.947對應極限狀態帶上界。見表6。

表6 閘門主梁混合模型可靠度計算結果

若使用傳統的全概率模型進行計算，則mK=0.911 1，σK=0.095 5，求得閘門主梁可靠度指標β=0.724。對比表6中的結果可知，對靜水壓力統計參數進行區間估計后按概率—區間混合模型計算出的可靠度指標包含了全概率模型計算時的可靠度指標結果。且相較于全概率模型，區間概率混合模型能給出結果在該區間內的置信水平，可信度更高。

5 結 論

本文通過對有限的閘門作用水頭數據進行區間分析，可將閘門靜水壓力統計參數用區間量表示。采用概率－區間混合的可靠度分析方法，以丹江口水庫中的深孔閘門為例，對其閘門主梁進行了撓度可靠度分析，主要結論如下。

（1）用區間－概率混合模型計算的結果不僅包含了采用傳統全概率模型計算所得的可靠度指標，且能給出可靠度指標在該區間內的置信水平，證明本文所采用的概率－區間混合的可靠度分析方法是合理可行的。

（2）采用區間化參數，能夠有效地解決由于樣本數據不足而無法得到閘門靜水壓力精確的概率分布的問題。 □