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2022-03-19 08:40:14儲瑞婷劉志全

中國艦船研究訂閱 2022年1期 收藏

關(guān)鍵詞：船舶設(shè)計

儲瑞婷，劉志全

上海海事大學(xué) 航運(yùn)技術(shù)與控制工程交通運(yùn)輸行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201306

0 引 言

隨著全球海洋事業(yè)的拓展，船舶運(yùn)動控制領(lǐng)域愈發(fā)受到關(guān)注，其中，航向跟蹤從始至終都是不可忽略的一項(xiàng)重要性能。除海面環(huán)境擾動影響外，船舶操縱本身具有的復(fù)雜性和不確定性給船舶航向控制帶來了巨大挑戰(zhàn)。因此，探討魯棒性強(qiáng)的控制算法對船舶航向控制具有實(shí)際意義。目前，很多控制方法已在船舶控制領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，例如，狀態(tài)反饋線性化[1]、反步法[2]、滑模控制（SMC）[3]及自適應(yīng)[4]、模糊算法[5]和模型預(yù)測算法[6]等。為了解決反步法中輸出能量高和非線性函數(shù)難以消除的實(shí)際應(yīng)用問題，Zhang等[2]通過使用正弦函數(shù)對控制誤差進(jìn)行調(diào)制，在不改變控制器結(jié)構(gòu)的情況下提高了船舶自動駕駛儀的控制性能。但在一般情況下，非線性船舶轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的控制設(shè)計過程還會受到舵角、舵速率和航向角的非線性影響。Perera等[7]為了簡化非線性船舶的轉(zhuǎn)向系統(tǒng)，對基于李雅普諾夫（Lyapunov）、赫爾維茨（Hurwitz）和PID的輸入輸出線性化控制方法進(jìn)行了研究，但尚未解決欠驅(qū)動水面船舶路徑跟蹤控制中有關(guān)復(fù)雜漂角的問題[8]。

為了補(bǔ)償漂角，最直接的方法是使用GPS、加速度計和其他傳感器等進(jìn)行測量[9]，但傳感器的噪聲和高成本又使得這種方法不可行。因此，Wang等[10]提出了一種基于濾波擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（ESO）的視線法制導(dǎo)律，其利用有限時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（FTESO）來估計由海流、風(fēng)浪擾動引起的時變漂角，從而實(shí)現(xiàn)路徑跟蹤，但未考慮舵飽和的問題。李蕓等[11]設(shè)計了一種新型的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，通過結(jié)合滑模控制實(shí)現(xiàn)了船舶航向有效跟蹤。與傳統(tǒng)的線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（LESO）相比，F(xiàn)TESO非線性項(xiàng)的引入可以保障擴(kuò)張狀態(tài)的有限時間估計。為了提高觀測性能，Xiong等[12]提出了一種通過非線性項(xiàng)和切換項(xiàng)來反饋輸出估計誤差的新型擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，基于該擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)，將干擾觀測器設(shè)計的問題轉(zhuǎn)化為存在外部干擾時狀態(tài)觀測器的設(shè)計問題。基于機(jī)械性特性，船舶控制中存在舵飽和的問題，故不少研究人員針對帶有舵飽和特性的控制系統(tǒng)分析及設(shè)計方法進(jìn)行了廣泛研究。Liang等[13]利用FTESO估計動態(tài)定位船在有限時間內(nèi)的不可測狀態(tài)，構(gòu)造了一個輔助系統(tǒng)用來處理控制飽和狀態(tài)。此外，也可以通過飽和函數(shù)限制進(jìn)入觀測器之前的控制信號，減少執(zhí)行器約束飽和的影響[14]。

本文將針對船舶航向控制的非線性特性和外部干擾問題，在考慮時變漂角和輸入飽和問題的基礎(chǔ)上，利用FTESO對不可測量狀態(tài)進(jìn)行估計并得到漂角估計，用以修正航向誤差，然后通過設(shè)計帶有積分項(xiàng)的滑模面并結(jié)合趨近律，研究一種考慮漂角修正的欠驅(qū)動船舶航向魯棒自適應(yīng)控制方法，并通過Lyapunov理論證明所提控制器系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 定義與引理

定義1：齊次性。對于連續(xù)標(biāo)量函數(shù)V(x):Rn→R，若滿足以下條件：對于任意實(shí)數(shù) λ>0，存在數(shù)σ>0 和 向 量 (r1,···,rn)∈Rn>0， 其 中ri>0(i=1,2,···,n)， 使 得V(λr1x1,···,λrn xn)=λdV(x1,···,xn)，則 稱V關(guān)于 (r1,···rn) 具 有 齊次度 σ[15]。若向量 函 數(shù)f(x):Rn→Rn， 對于任意的 λ>0， 存在(r1,···,rn)∈Rfi(nλ>r1x01，,·其··,中λrnx rni)>=0λ(rii+=d f1i(,x21,,· ·· ·· ·,,nx)n，),i使=得1,2,f·(·x·),滿n，足其中d>?min{ri,i=1,2,···,n}， 則稱向量函數(shù)f關(guān)于(r1,···,rn)∈Rn>0 具 有齊次度d[16]。

引理1：假設(shè)存在連續(xù)可微函數(shù)V(x)>0:U1→R,U1?U∈Rn，滿足

式中：U表示整個狀態(tài)空間；集合U1為自變量x的定義域；Vα為V的α次冪；t為時間；常數(shù)c>0，0<α<1，則表示該系統(tǒng)局部有限時間穩(wěn)定。對于任意給定的初始條件x(t0)∈U1，收斂時間滿足T≤V1?α(x(t0),t0)/c(1?α)[17]，其中t0為初始時刻。

引理2：假設(shè)存在連續(xù)可微函數(shù)V(x)>0:U1→R,U1?U∈Rn，滿足

式中，常數(shù)c1>0，c2>0 ， 0<α<1，則表示該系統(tǒng)局部有限時間穩(wěn)定。對于任意給定的初始條件x(t0)∈{U1∩U2}， 收斂時間滿足T≤ln(1?(c2/c1)V1?α(x0,t0))/(c2α?c2)， 其中U2={x|V1?α(x,t)≤c1/c2}[18]。

引理3：對于任意的xi∈R（i=1,2,···,n），以及實(shí)數(shù) 0

引理4：對于任意的xi∈R（i=1,2,···,n），以及實(shí)數(shù)p>1，有[20]

2 模型建立

基于欠驅(qū)動船舶的六自由度模型，忽略縱蕩、橫蕩、艏搖運(yùn)動與垂蕩、橫搖、縱搖運(yùn)動之間的耦合，建立水面船舶縱蕩、橫蕩和艏搖方向的三自由度欠驅(qū)動船舶模型。假定模型中慣性矩陣、附加質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣為對角陣，且當(dāng)船舶具有3個對稱面時上述設(shè)定成立。大多數(shù)船舶的左右舷具有對稱性，但是，若船舶作水平面運(yùn)動時，則可無需考慮上下對稱性。船舶的前后非對稱性意味著慣性矩陣和阻尼矩陣的非對角項(xiàng)非零。然而，這些非對角項(xiàng)與主對角項(xiàng)相比非常小。基于上述設(shè)定，水面船舶的數(shù)學(xué)模型可以簡化表示為[21]：

式中：ψ為定義于固定坐標(biāo)系下的實(shí)際航向，（°）；u，v分別為船舶的縱蕩和橫蕩速度， m/s；r為艏搖角速度， rad/s；mjj（1≤j≤3）為正常數(shù)，表示包括附加質(zhì)量的船舶慣性系數(shù)；du，dv，dr，dui，dvi，dri分別為縱蕩、橫蕩和艏搖方向上的水動力阻尼系數(shù)；未 知 時 變 項(xiàng) τwu(t)， τwv(t)， τwr(t)分 別 為 由 風(fēng)、浪、流引起的環(huán)境擾動；τu為 水面船舶推進(jìn)力，N，其由螺旋槳或噴水器提供；τr為艏搖力矩， N·m，其通過改變每個螺旋槳或噴水器的速度而產(chǎn)生，這表明僅能在縱蕩速度為非零時控制航向。因此，本文設(shè)計了獨(dú)立的控制系統(tǒng)來控制縱蕩速度。

在舵位于中間位置時，若沿縱剖面方向直行，因流體的對稱性，船舶將不會受到側(cè)向力的作用。在舵偏轉(zhuǎn)一個角度時，因改變了水流的對稱性，舵將受到一個側(cè)向力的作用，且側(cè)向力作用點(diǎn)會對船舶重心產(chǎn)生一個繞船舶重心的力矩。在力矩的作用下，船體相對于水流會發(fā)生偏轉(zhuǎn)，其縱剖面與水流速度方向?qū)⑿纬梢粋€漂角β，取值定義如下：

為了簡化控制器的設(shè)計，本文將利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對模型中艏搖方向的總擾動進(jìn)行估計。因此，針對航向控制器設(shè)計，將式(5)的三自由度欠驅(qū)動船舶模型簡化為

令

假設(shè)1：外界干擾有界，即 |τwu(t)|≤τwumax<∞，|τwv(t)|≤τwvmax<∞， |τwr(t)|≤τwrmax<∞。

假設(shè)2：因外部干擾的能量有限，故合理假設(shè)w的導(dǎo)數(shù)有界，即 ‖w˙‖≤Δ，Δ為w˙的上界。

3 控制系統(tǒng)

3.1 航向預(yù)濾波與漂角補(bǔ)償

為了避免較大的航向變化率，本文在控制系統(tǒng)中加入了預(yù)濾波器以平滑期望航向，可保證滑模控制器的魯棒性。預(yù)濾波器的主要作用是對原期望航向ψr進(jìn)行濾波，用于實(shí)現(xiàn)濾波后參考航向ψd和航向變化率ψ˙d的平滑過渡，從而避免更高的控制增益要求，提高控制器性能。本文采用的二階預(yù)濾波器形式如下：

式中， λi(i=1,2,3)為待確定的預(yù)濾波器參數(shù)。

因外部干擾引起的時變漂角較小，故在船舶航向控制中通常忽略漂角的影響而假定其為0，但實(shí)際上漂角對跟蹤誤差具有一定的影響。因此，本文考慮了帶漂角修正的航向控制，如圖1所示。圖中，ψh為實(shí)際航向，ψd為預(yù)濾波后的參考航向，初始航向誤差為 ψh?ψd。考慮漂角存在時，船舶實(shí)際運(yùn)動方向與期望切線方向相差了一個漂角[8]，則基于漂角修正后的期望航向ψda與 航向誤差ea分別為：

圖1 漂角補(bǔ)償后的期望航向Fig.1 The desired heading with sideslip angle compensation

3.2 控制器

3.2.1 滑模控制律設(shè)計

為了保證船舶航向的自動保持與跟蹤特點(diǎn)，使用閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)研究了航向的跟蹤問題。根據(jù)滑模控制原理，利用誤差反饋思想進(jìn)行了滑模控制器設(shè)計。本文設(shè)計的帶有積分項(xiàng)的滑模面s如下：

式中： 0

在滑模控制中，會不可避免地出現(xiàn)抖振現(xiàn)象，之所以如此，主要是因?yàn)椴贿B續(xù)的符號函數(shù)項(xiàng)的增益需要足夠大來保證魯棒性。為了減小滑模抖振的影響，采用趨近律方法改善系統(tǒng)的抖振。本文使用基于指數(shù)趨近律的滑模控制，以保證運(yùn)動點(diǎn)在有限的時間內(nèi)到達(dá)滑動模態(tài)。

3.2.2 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器設(shè)計

為保障跟蹤精度，采用FTESO對由不確定項(xiàng)和外界干擾構(gòu)成的總擾動項(xiàng)進(jìn)行估計和補(bǔ)償。結(jié)合滑模控制器，得到系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 船舶航向控制系統(tǒng)示意圖Fig.2 Schematic diagram of the heading control system for ships

定義 η=[u,v,r]T，w? 為系統(tǒng)擴(kuò)張的狀態(tài)向量，包含有未知外界干擾和內(nèi)部未建模動態(tài)項(xiàng)；觀測器估計誤差z1=η?η?， 擴(kuò)張狀態(tài)誤差z2=w?w?，構(gòu)造如下形式的FTESO：

令σ =α1α2。由定義1，可推斷出系統(tǒng)（式（17））關(guān)于權(quán)值 (1,α1) 具有齊次度 α1?1。定義可微函數(shù)[[sigVσ1α(z=1)Z]TT,P[sZig，σ1α1且(z2)V]Tα]T>，0，P為其L中yapuZno=v[ZT1等,ZT2式]T=ATP+PA=?I6的 解，其 中Ii(i=2,3,4,···)為i階 單位矩陣，定義系統(tǒng)矩陣

可知A為Hurwitz矩陣。根據(jù)文獻(xiàn)[15]，可知Vα即 為系統(tǒng)（式（17））的Lyapunov函數(shù)，并令fα為系統(tǒng)（式（17））的向量場，則LfαVα為Vα沿 著向量場fα的李導(dǎo)數(shù)。由此可以推斷出，Vα，LfαVα關(guān) 于權(quán)值(1,α1)分別具有齊次度 2 /σ， 2/σ+（α1?1）。由文獻(xiàn)[22]，可以得到以下不等式：

設(shè)計誤差系統(tǒng)（式（16））的Lyapunov函數(shù)如下：

對式(19)求導(dǎo)，得

將式(18)代入式(20)，得

將式(22)代入式(21)，得

其中，

根據(jù)引理3，有

最終，速度估計誤差和擴(kuò)張狀態(tài)觀測誤差可以收斂到緊致集Ω內(nèi)，Ω的表達(dá)式如下：

3.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

基于 FTESO 的滑模控制器設(shè)計表述為如下定理。

定理1: 對于船舶航向控制系統(tǒng)（式（7）），設(shè)計擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（式（15）），利用估計漂角β?=arctan(v?/u?)選取滑模面為式（11） ，設(shè)計滑模控制器如下：

由于FTESO保證了各項(xiàng)估計誤差都足夠小，因此，只要選取適當(dāng)大的k2就 能保證k2≥(wr?

為了得到更好的控制效果，選用一個陡峭的飽和函數(shù)，定義為

來逼近控制器中的符號函數(shù)，其中ε1為極小值。在極限情況下，當(dāng)ε1趨于0時，飽和函數(shù)近似為符號函數(shù)。即控制律取為

4 仿真結(jié)果分析

為了驗(yàn)證所提控制器的有效性，考慮了整個航向系統(tǒng)。本文使用Matlab軟件中的Simulink建模工具搭建了整個系統(tǒng)模型，并進(jìn)行了仿真應(yīng)用。模型（式（5））中的相關(guān)參數(shù)見文獻(xiàn)[22]：m21151=×1 10220，×d1v0=3，1m4272×=1 10737，.9d×r=1 0830，m23×31=064；3 6d×u21=050；.d2ud=u，du3=0.1du；dv2=0.2dv，dv3=0.1dv；dr2=0.2dr，dr3=0.1dr。本文中所需設(shè)計和選擇的參數(shù)見表1。縱蕩速度由獨(dú)立的控制系統(tǒng)控制，本文設(shè)計的基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的PID控制器控制船舶保持7 m/s的縱蕩速度，另外，選擇艏搖控制輸入約束為τm=7×108N·m。 設(shè)定初始航速為 6 m/s，期望航向角分別為20?， ?20?和 0?，仿真步長為0.01 s，仿真時間為 1 50 s。 假設(shè)仿真中的環(huán)境擾動為τwu=150×103dr， τwr=900×105dr，τwv=2×103×(1+0.3 cos(0.4t))， 其中dr為三級海浪模型，描述如下：

表1 不同控制方法下的參數(shù)設(shè)計Table 1 The parameters of different controllers

式中： 為三級海浪模型的表達(dá)式； 指功率譜密度為0.1的零均值高斯白噪聲過程； 為一個二階波的傳遞函數(shù)，y(s) ω(s)h(s)

為了保證仿真結(jié)果的可靠性，本文選取基于線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的反步法與本文設(shè)計的基于FTESO的滑模控制方法進(jìn)行了仿真對比，仿真結(jié)果如圖3～圖7所示。在不同的仿真模型中，相同的初始條件和相關(guān)參數(shù)值保持了一致。圖中，“SMC+FTESO?漂角修正”為考慮漂角修正的滑模控制方法，“SMC+FTESO?無漂角修正”為不考慮漂角修正的滑模控制方法，“反步+LESO”為結(jié)合了線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的反步法 。

由圖3(a)可以看出，考慮了漂角修正后的船舶航向能更快地到達(dá)期望航向（在航向發(fā)生變化后的4 s內(nèi)即達(dá)到期望值），而未考慮漂角修正的方法和傳統(tǒng)的反步法則需要8 s甚至是更長的時間才能到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。圖3(b)所示為未考慮輸入飽和的控制器艏搖力矩。從圖中可見，當(dāng)航向發(fā)生變化時，力矩遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了舵能正常使用的極限值。為解決此問題，本文在設(shè)計帶漂角修正的航向控制器時增加了輸入約束來進(jìn)行相應(yīng)的處理。

圖3 無約束下控制器的航向和控制力矩對比Fig.3 Comparison of heading angles and yaw torque of the controllers without input constraint

圖4所示為考慮輸入飽和后（有約束）3種不同控制器的航向及其誤差對比。從圖中可以看出，對控制輸入進(jìn)行約束后，航向及其誤差較約束前未發(fā)生變化。

圖4 有輸入約束下控制器的航向及其誤差對比Fig.4 Comparison of heading angles and their errors of the controllers with input constraint

圖5所示為通過觀測器估計得到的漂角值。從圖中可以看出，漂角一直存在于船舶航行過程中，雖然其值較小，但當(dāng)航向發(fā)生變化時漂角也會發(fā)生突變。因此，考慮漂角修正的船舶航向控制能夠改善航向控制性能，減小航向誤差。約束后的艏搖力矩如圖6所示，從圖中可以看出，艏搖力矩得到了相應(yīng)的減小。

圖5 漂角估計值Fig.5 The estimation of sideslip angle

圖6 有輸入約束的艏搖控制力矩對比Fig.6 Comparison of yaw torque of the controllers with input constraint

從最終的航向跟蹤效果來看，本文設(shè)計的滑模控制方法與基于線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的傳統(tǒng)反步法相比優(yōu)勢并不明顯，但從觀測器的角度分析，本文設(shè)計的FTESO觀測性能更好。圖7示出了2種觀測器對縱蕩、橫蕩、艏搖這3個方向上的速度估計值及其誤差。FTESO對艏搖角速度的估計誤差穩(wěn)定在 ±4×10?5rad/s內(nèi)，而傳統(tǒng)LESO在初始時間其誤差最大達(dá)1 .4×10?3rad/s ，經(jīng)過0.98 s的調(diào)節(jié)時間后才穩(wěn)定至 ±6×10?5rad/s內(nèi)波動。因考慮了漂角修正，觀測器對縱蕩速度u和橫蕩速度v的估計性能也極為重要。FTESO對縱蕩速度的估計誤差始終保持在 ±4×10?5m/s內(nèi)，傳統(tǒng)LESO在初始時間其誤差最大達(dá)1 .12×10?3m/s，收斂時間為 0.99 s， 誤差穩(wěn)定在 ±6×10?5m/s內(nèi)波動。盡管在對橫蕩速度v的估計上LESO的觀測誤差最終能穩(wěn)定在 ±2×10?7m/s內(nèi) ，但1 .15 s的收斂時間相對FTESO的 0.06 s仍較長，且初始時刻的誤差達(dá)到4.3×10?3m/s ， 而FTESO的最大估計誤差僅6.68×10?5m/s。

圖7 有輸入約束時縱蕩、橫蕩及艏搖方向上的速度估計值及其誤差Fig.7 The estimations and errors of velocity in surge, sway and yaw directions with input constraint

5 結(jié) 語

本文以水面三自由度欠驅(qū)動船舶運(yùn)動模型為對象，在航向跟蹤控制器設(shè)計中考慮了漂角修正，不同于利用相對速度對漂角的直接計算，其采用FTESO對漂角進(jìn)行實(shí)時估計，從而極大地改善了船舶的航向跟蹤性能。仿真結(jié)果表明，相對于傳統(tǒng)的線性觀測器，F(xiàn)TESO的觀測性能良好；而對于總擾動項(xiàng)的估計，則在基于趨近律的滑模控制器設(shè)計中予以補(bǔ)償，削弱了抖振影響，使得航向跟蹤誤差在收斂至0的同時，還可保證航向控制系統(tǒng)有較強(qiáng)的抗干擾能力。此外，本文利用飽和函數(shù)對艏搖力矩進(jìn)行了約束，具有較好的實(shí)際意義。雖然本文對輸入力矩進(jìn)行了一定的約束，但不難看出仍有改進(jìn)的空間，下一步的工作將繼續(xù)研究輸入飽和問題，并通過改進(jìn)算法來提高控制精度。

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