“微積分基本公式”課程融入歷史人文思政元素探究

彭湘凌 陳單單 劉振林 肖其珍 劉宏亮

[摘 要] 根據課程思政教育理念產生的目的，探討與“高等數學”課程結合的相容性。以“微積分基本公式”教學內容為例，從數學歷史人文角度挖掘課程思政素材，主要圍繞微積分基本公式的發展歷史，勾勒出科學家孜孜不倦、久久為功、持之以恒、不懼批判、勇于拼搏的鉆研精神。幫助學生在學習高等數學知識的同時，更注重科學家卓越精神品質的自我激發和培養，既有利于學生對數學學習興趣的提高，也有利于學生人格素質的培養，實現知識教育與素質教育協同并進。

[關鍵詞] 課程思政；微積分基本公式；數學歷史人文；精神品質

[基金項目] 2020年度湖南省學位與研究生教育改革研究項目“數學專業研究生課程教學改革的探索與實踐”（2020JGYB175）；2020年度湖南財經工業職業技術學院教育教學規劃課題項目“論高等數學課堂從歷史人文與哲學辯證的角度展開課程思政的研究”（202014）

[作者簡介] 彭湘凌（1989—），男，湖南衡陽人，碩士，湖南財經工業職業技術學院公共課部助教，主要從事數學教育、微分方程與動力系統研究；劉宏亮（1981—），男，廣東湛江人，博士，南華大學數理學院講師（通信作者），主要從事數學教育、微分方程與動力系統等研究。

[中圖分類號] G641 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-9324（2022）06-0097-04 [收稿日期] 2021-06-22

習近平總書記指出，要加大對學生的認知規律和接受特點的研究，發揮學生主體性作用。要堅持傳授性和啟發性相統一，注重啟發性教育，引導學生發現問題、分析問題、思考問題，在不斷啟發中讓學生水到渠成得出結論。要堅持顯性教育和隱性教育相統一，挖掘其他課程和教學方式中蘊含的思想政治教育資源，實現全員全程全方位育人[1]。這為“高等數學”課程的教研教改作出了重要指示。作為高等數學教師不僅要向學生傳授高深的數學知識，同時還要充分挖掘高等數學知識中蘊含的數學品質、數學精神和數學文化，與培養新時代大學生優秀精神品質和風貌相呼應，切實履行高等數學教師注重思想政治教學的使命職責，始終圍繞“培養什么人、怎樣培養人、為誰培養人”這一理念去教學，為培養中國特色社會主義事業合格建設者和可靠接班人，書寫好新時代教育的奮進之筆貢獻自己的綿薄之力。

一、課程思政的產生與當前“高等數學”課程的相容性

隨著信息網絡社會的發展，面對西方文化思潮的沖擊，對于一些新生事物許多學生還沒有形成正確的辨識能力，容易遭受腐朽污濁的思想文化的侵蝕，誤導他們的世界觀、人生觀和價值觀，具體表現為國家意識淡薄、民族觀念薄弱、忽視我國優秀傳統文化、崇拜西方拜金享樂思想等特點。其主要原因是青少年思想政治意識還未與我國的經濟社會發展同步，如何實現兩者的齊頭并進，是當代教育工作者的重大責任。先進的學科知識背后，必伴隨著可貴的精神品質。因此，對青少年的思想政治教育不能僅限于思想政治理論課課堂，若本著立德樹人的教學目的，充分挖掘其他學科知識中蘊含的思想政治教育元素，并在課堂運用得當，那么學生在享受學科知識教育的同時，又能自然地接受到優秀思想和精神的滋養，不失為一種好的教學理念。而且過去對學生的思想政治教育也主要是由思想政治理論課程擔當主力，在其他學科課程中的思想政治教育體現的不夠明顯。究其原因，既有其他學科課程內容本身教學任務繁重，也有其他學科教師教學本位主義思想作祟等緣故。再因，思想政治理論課程以豐富的經典理論、歷史經驗和社會現實為主體，若在課堂講解過程中，與學生的個人生活實踐聯系不夠密切，或教學方式比較單一，則容易導致學生對思想政治知識的理解不夠透徹，學習的主動性不強。為解決這一困境，應在對學生思想政治教育方法上開辟新的疆土，不局限于思想政治理論課課堂，而在其他的學科課堂中融入思想政治教育，是其他學科教師應承擔的思想政治教育任務，真正肩負起培養社會主義合格建設者和接班人的使命。因此，如何在其他學科課堂中有效地開展思想政治教育，成為當代教育的一個重要研究課題。2014年，上海市教育領域率先提出課程思政的概念[2]。它是將思想政治教育融入所有課程教學的所有環節的一種新的教育理念，實現與思想政治理論課程產生同向同行的協同效應，使所有課程達到潤物無聲的立德樹人的教育目標。這一概念的提出，為其他學科的思想政治教學帶來了理論曙光，并迅速得到了教育部及有關領導的關注和重視。目前，課程思政的教學觀念日益深入人心，并掀起了一股關于課程思政教學改革的時代熱潮。

隨著課程思政的全面開展，“高等數學”課程教學改革勢必要跟進時代潮流，承擔立德樹人的職責使命。簡單來說，“高等數學”課程是一門研究“數”與“形”的基礎學科，所討論的都是高度抽象與概括的問題。偉大的思想家馬克思指出，一種科學只有在成功地運用數學時，才算達到了真正完善的地步[3]。可見數學是科學的基礎，具有廣泛的通用性和先進性，在它的歷史發展過程中，必具備豐富多彩、激人奮進的人文思政內涵。但這一點往往不被大多數人所理解，對數學的學習普遍停留在代數計算和幾何認識階段，對數學背后的人文思想不甚了解，一味地忽視數學方面的人文素質培養，是數學教育的一大浪費。學生普遍疲于課本教材嚴格的公式推演和計算，關注考試的知識范圍和答案的對錯，有時還被嚴謹的推導證明所嚇倒，長此以往，容易對數學產生誤解，過分地否定自己學習數學的能力，認為數學是少數人學的，總是在反復考查計算能力，甚至出現數學無用論的錯誤想法。這主要是由于學生對數學是片面認識，其實大多數學生在學習時，把高等數學只當作其他學科的計算工具，被書中的練習計算所累，找不到其中的學習樂趣，也不愿意多花精力去學習、去理解和去聯想數學知識背后的奧妙，導致學習興趣不高，主動性不強，成績不理想，最后對數學產生恐懼厭惡情緒。作為高等數學教師，如何提升學生學習數學的興趣，提高對數學的認識，理解高等數學的重要性，一直是一個重要的課題。為解決這一課題，有許多教育工作者在“高等數學”課程教學信息化方面尋求突破，建立了許多網絡學習資源平臺，拓展學生的學習渠道和學習方式，對數學的教學工作起到了很大的促進作用。但學習內容并未有創新，只是教學形式的創新，學生還是被動式的學習，對數學沒有太多思考。成績好的學生普遍還是拼命學習數學計算，把自己訓練成“解題機器”，從未感受到真正的數學文化內涵，也并未提升對“高等數學”課程重要性的認識，數學學習還是只為應付考試的狹隘思想，這有違我們真正的數學教育目的。對張奠宙教授“數學文化必須走進課堂，在實際數學教學中，使學生在學習數學的過程中真正受到文化感染，產生文化共鳴，體會數學的品味與世俗的人情味”[4]這句話進行思考，將極大豐富數學知識教育的內涵，其實數學教育不只是培養學生的邏輯思維能力和計算能力，學生若能在數學學習過程中，接觸一些數學文化，了解一些數學公式的歷史由來，領悟一些數學家的勵志故事，感受一些他們的精神品質，那么數學知識將不再那么枯燥單調，數學知識的趣味性也會增加。這不僅能激發學生學習數學的興趣，也能培養學生優秀的人格品質，這實際就是數學課堂的思想政治教育，將實現數學知識、數學人文和思想政治教育三駕馬車并駕齊驅。因此，這樣的數學課堂完全符合當前課程思政的內涵，能夠做到與思想政治理論課程的同向同行，達到立德樹人的教育目標。

二、從歷史人文角度挖掘“高等數學”課程思政元素

1.由微積分基本公式的來龍去脈，引出科學家久久為功、持之以恒的精神。恩格斯曾這樣評價：“在一切理論成就中，未有像17世紀下半葉微積分的發明那樣被看作人類精神的最高勝利了，如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那就正是在這里?！盵5]順著恩格斯對微積分的評價，可以給學生講授微積分的歷史，既有利于學生對數學科學史的了解，學習科學家的創新求索精神，激發學生的數學學習興趣，同時也有利于學生了解數學發展的來龍去脈，明白數學學習的價值和意義。對于微積分的思想研究中外古已有之，我國魏晉時期數學家劉徽在《九章算術·圓田術》注中提出：“割之彌細，所失彌少”；南北朝時期數學家、天文學家祖暅提出了著名的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”；古希臘的歐多克索斯的“窮竭法”，以及后來的數學家、哲學家、物理學家阿基米德的“逼近法”等，從現在課本的知識結構來看，他們都是在沒有現代極限理論的情況下，提出了一種直接、樸素的數學方法，這已是微積分思想的雛形，他們的工作具有前瞻性和啟發性，有待后世去完善和發展。正因如此，大學生要努力學習當代數學知識，理解書本基本公式和定理的原理，因為這些也是一代代科學家通過不斷創新和積累得到的成果，但有些并不一定是終極性的結果，在熟練掌握這些經典的理論基礎知識后，可能也會在一定程度上激發學生某些啟發性思考，學生可作數學方向上的延伸研究，亦可作實際應用推廣上的探究。如今教科書上的微積分基本公式為：

其又名“牛頓-萊布尼茨公式”，因為它的產生以17世紀牛頓和萊布尼茨的工作為標志。17世紀，為了滿足社會實踐生產和科技發展的需求，微積分理論的誕生可謂是呼應時代的召喚，當時對數學家提出了四個主要問題[6]：（1）求已知位移與時間的函數，求任意時刻速度和加速度的問題；（2）物體運動軌跡上任一點的切線問題；（3）求函數最大值和最小值問題；（4）求曲線圍成的面積問題。其中（1）（2）（3）可以說是微分問題的來源，（4）是積分問題的來源，牛頓和萊布尼茨正是基于這些問題的思考和前人的成果，提出了開創性的方法，將積分與微分統一起來，兩者存在互逆的關系，建立了微積分基本公式，解決了困擾學界一千多年的問題。這是令人驚嘆的功績，驚嘆之余，本著唯物主義思想，學生應該要思考他們是如何擁有這創世之舉的？牛頓是這樣告訴大家的：我并沒有什么方法，只不過對于一件事情，總是花很長的時間熱心去思考罷了。首先，這是一種偉人的謙遜，值得我們學習與敬仰。其次，是一種凡人的執著、勤奮和思考，正是思想政治教育所提倡的那種孜孜不倦、久久為功、持之以恒的科學研究精神，這正是我們當代大學生需要迫切學習的。往往我們有不少學生，碰到數學難題，就產生畏難情緒，不愿意思考，急切否定自己，這種情況先不討論學生對知識的掌握，僅在精神品質上就輸人一局。我們“高等數學”課程教育，既有知識傳授的功能，更有精神品質培養的功能，且至關重要，無可替代。經歷“高等數學”課程學習的“磨煉”，有助于學生迎難而上精神品質的培養，以這樣學習精神和態度去面對自己的人生，必能成就一番事業。

2.由微積分基本公式的曲折發展，引出科學家不懼批判，勇于拼搏的精神。微積分基本公式誕生之后，以摧枯拉朽之勢解決了物理界許多問題，應用微積分得到的任何成果都是正確的。但尷尬的是，微積分的成立證明在當時卻被認為是荒唐的。牛頓和萊布尼茨都給不出微積分基本公式的嚴格證明，因為缺乏極限理論，對某些關鍵的環節，只能給予個人主觀的說明。這好比牛頓和萊布尼茨是微積分基本公式這個天才“孩子”的“接生婆”，但沒辦法給他開出合法出生證明，這樣的情況，肯定會給他們二人的身份招來眾多的非議。是為了個人的名譽清白而停止研究，還是為了科學進步，繼續研究，飽受非議呢？牛頓和萊布尼茨都選擇了后者。1684年，萊布尼茨發表了《一種求極大、極小值與切線的新方法》的論文，定義了微分的符號及其四則運算；1687年，牛頓發表了《自然哲學的數學原理》的科學名著，里面記載了流數術的方法[7]。雖然一起開啟了微積分的數學時代，但二人的理論都有一個缺陷，就是無法對無窮小量進行嚴格分析，但微積分證明的關鍵環節卻使用了它。如此偉大的一個公式，里面卻有一個這么大的漏洞，眾人對于他們的攻訐可想而知。意大利貝克萊大主教評價微積分公式是：依靠雙重錯誤得到了不科學但卻正確的結果，并嘲笑那個無窮小量為“已死量的幽靈”[8]。貝克萊主教的批評是有道理的，也是切中要害，數學界知名的“貝克萊悖論”就是這樣來的，第二次數學危機也是由此產生的。在數學課堂上，這些知識可以幫助學生樹立正確的科學歷史發展觀，科學的道路上，不是一帆風順的，不時會有一些意想不到的障礙，但只要是真理，最終還是會在曲折反復中前進。當代大學生要勇于樹立自己崇高的理想，不能因為害怕一時失敗所遭受的非議，就降低自己的品位，相信自己具備“志不求易者成，事不避難者進”的本領。牛頓和萊布尼茨在沒搞清楚無窮小量到底是“0”還不是“0”的情況下，提出微積分公式的驚世之舉，需要莫大的勇氣，即使他們最終都沒有修補那個缺陷，但他們取得的成績是斐然的。后來涌現出的歐拉、狄利克雷、黎曼、達朗貝爾等一大批的數學家，他們沿著牛頓和萊布尼茨的足跡前進，直到柯西和魏爾斯特拉斯建立嚴格的極限定義，這個缺陷才終于解決。給學生講述一代又一代數學家的偉績，并不是要描述數學家功績的編年史，更多的是給學生講解科學家們為一個公式執著追求的奮斗史，幫助學生在學習數學知識的同時，樹立勇于拼搏奮斗的精神。

結語

學生學習“高等數學”課程的重要性是毋庸置疑的，但學習“高等數學”的困難亦是不可避免的。掌握高深的數學知識，勢必要付出勤奮努力的代價。而在不懈奮斗的學習過程中，挖掘其中的樂趣，了解數學知識的歷史來源和先進人物，激發自己，勉勵自己，不失為一種好的方法。正所謂“欲知大道，必先為史”，正是如此。數學歷史必將是數學課程思政的源泉。在“微積分基本公式”的課堂上，通過對微積分基本公式人文歷史的探索，激發學生興趣，讓學生了解數學公式定理發展的傳奇故事?；仡櫄v史，瞻仰偉人，以感性的情懷學習數學知識，以理性的思維完成學習任務，既擺脫了數學公式的枯燥乏味，也為數學學習增加了不竭動力，同時培養了學生高尚情操，使“高等數學”課堂不僅教學生數學知識，也教學生詩與遠方。

參考文獻

[1]習近平主持召開學校思想政治理論課教師座談會強調 用新時代中國特色社會主義思想鑄魂育人 貫徹黨的教育方針落實立德樹人根本任務[N].人民日報，2019-03-19（1）.

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Exploration on Integrating Ideological and Political Elements of History and Humanities into the Course of Basic Formula of Calculus

PENG Xiang-ling1， CHEN Dan-dan1， LIU Zhen-lin1， XIAO Qi-zhen2， LIU Hong-liang2

（1. Public Course Department， Hunan Financial & Industrial Vocational-Technical College， Hengyang， Hunan 421002， China； 2. School of Mathematics and Physics， University of South China， Hengyang， Hunan 421001， China）

Abstract： This paper first discusses the compatibility of “curriculum ideological and political education” with the Advanced Mathematics course according to the purpose of “curriculum ideological and political education”. Then， taking the teaching of Basic Formula of Calculus as an example， the materials of ideological and political education are excavated from the perspective of the history and humanities in mathematics. Focusing on the development history of the course， the paper highlights the valuable spirit of some scientists such as diligence， hardworking， perseverance， persistence， etc. While helping students to learn Advanced Mathematics， we should also pay more attention to the self-stimulation and self-cultivation of the students by encouraging them to learn from the excellent spiritual quality of some scientists， which is not only conducive to the improvement of students’ interest in mathematics learning， but also conducive to the cultivation of students’ personality development， so as to promote the coordinated development of knowledge teaching and quality education.

Key words： “curriculum ideological and political education”； Basic Formula of Calculus； history and humanities elements in mathematics； spiritual quality

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