人體冠狀面輪廓曲線數學模型構建與量化分析

倪世明 白云龍 蔣益群

摘要： ??冠狀面輪廓曲線可以表現人體縱向體表形態，是體型研究和原型設計的關鍵。首先，通過三維人體測量，獲取人體點云數據，利用逆向工程技術降維處理，采集冠狀面輪廓點云;其次，用最小二乘法、三次樣條函數、徑向基函數（Radical Basis Function，RBF）神經網絡分別進行曲線擬合，比較三個模型的均方根誤差 RMSE 、決定系數 R 2 等參數，得出RBF神經網絡擬合效果最優;然后，通過計算擬合曲線的曲率和二階導數，量化分析冠狀面輪廓曲線形態;最后，在大規模人群測量中進行驗證，得到3類典型的冠狀面曲線。實驗結果顯示，采用RBF神經網絡構建二維曲線表征三維人體特征空間的數學模型擬合精度高、泛化能力強，能有效表征人體縱向體表特征。

關鍵詞： ?冠狀面輪廓曲線;逆向工程;RBF神經網絡;數學模型;量化分析

中圖分類號： TS941.17

文獻標志碼： A

文章編號： 1001 7003（2022）03 0020 08

引用頁碼： 031103

DOI： 10.3969/j.issn.1001-7003.2022.03.003 （篇序）

人體體型由高矮（長度）、胖瘦（寬度和厚度）、體表形態（曲線和角度）等決定，存在巨大的個體差異。中國現行的服裝號型GB/T 1335.2—2008按胸腰差進行體型分類，缺乏對體表形態的描述，導致體型劃分不夠精細化。近幾年，有不少學者基于人體體表形態進行體型分析。金娟鳳等? [1] 提取了青年男性肩部橫截面曲線，定性分析曲線特征，細化男性肩部體型;夏巖等? [2] 對臀部橫截面曲線進行聚類，獲得4類不同臀溝曲線形態;LEE Hyun-young等? [3] 提取了女性乳房的乳底輪廓線，分析特征點曲率半徑，細化乳房形態;谷林等? [4] 針對人體胸、腰、臀部位的截面曲線差異，根據各特征部位指標進行組合分類;王祺明 ?[5] 獲取人體胸、腰、臀三圍截面曲線，定量分析水平截面形態。以上體表截面曲線的研究，主要集中在肩部、胸部、腰部、臀部等特征截面，關于人體縱截面特征曲線研究較少。人體有矢狀、冠狀和橫斷三個切面方向的截面? [6] ，如圖1所示。冠狀面亦稱額狀面，是指按左右方向將人體縱切為前、后兩部分的所有斷面。冠狀面屬于人體的縱截面，冠狀面曲線形態包含頸肩部、體側部信息，與服裝結構關系密切，能為服裝結構設計中的肩斜線、側縫線等提供定量依據。

人體的截面曲線形態不規則，較難定性描述，需要構建數學模型，對人體曲線形態特征差異性進行量化描述。賀莉文? [7] 采用最小二乘法中的三次多項式和五次多項式分別對前后肩曲線進行數學建模，提取特征參數，細化弓背體分類;趙蘇慶? [8] 采用三次樣條函數擬合人臺和服裝的胸圍、腰圍的橫截面，從而計算服裝和人臺之間的空隙;王竹君等? [9] 采用最小二乘法和徑向基函數（Radical Basis Function，RBF）神經網絡兩種曲線擬合方法構建袖窿周長和袖山周長的估算模型，模型性能較好;李寶順等? [10] 提出了一種基于最小二乘法的鼻子輪廓提取算法;夏明等? [11] 采用橢圓傅里葉方法對人體封閉的胸圍水平斷面曲線進行研究。最小二乘法、三次樣條函數、RBF神經網絡等方法在曲線擬合中較為常用，但對于人體冠狀面輪廓曲線的最優擬合方法，有待進一步研究。

冠狀面輪廓曲線模型構建是一個高維點云數據降維優化后再次擬合的過程，本文旨在構建一個擬合精度高、泛化能力強的數學模型，然后對其量化分析，更好地表征人體體表特征。因冠狀面輪廓曲線是非封閉的曲線，故本文選取最小二乘法、三次樣條函數、RBF神經網絡三種方法分別構建冠狀面曲線模型，比較其擬合效果，然后對曲線形態進行量化分析，并在大規模人群測量中進行驗證，得到不同類型的冠狀面曲線，為人體體型研究和結構設計提供數據支撐和技術支持。

1 實 驗

1.1 對象與儀器

為了使冠狀面輪廓曲線研究更有針對性，本文以631名年齡在18～25歲在校女大學生為實驗對象，身高150～180 cm， 體重40～69 kg。

實驗儀器采用[TC] 2三維人體測量儀（美國[TC] 2）、人體測高儀（日本Martin）及體重計（江蘇蘇宏醫療器械有限公司）。測量環境溫度為（27±3） ℃，相對濕度為60 % ±10 % ，符合裸體測量的環境標準。測量時按照GB/T 23698—2009《三維掃描人體測量方法的一般要求》進行人體測量。

1.2 冠狀面輪廓曲線點云提取

在選擇實驗樣本時，為了使構建的人體冠狀面輪廓曲線數學模型更具普適性，在樣本中選擇一位與國標160/84A女性體型尺寸最為接近的實驗樣本，主要體型信息：身高159.8 cm， 胸圍84.2 cm，腰圍68.5 cm，臀圍90.9 cm，年齡22歲，未婚未孕，體重52.1 kg，BMI為20.4 kg/m 2，身體健康狀況良好。

通過三維人體掃描，獲取樣本三維點云數據，坐標原點由[TC] 2掃描系統生成，X軸表示人體厚度方向，Y軸表示人體寬度方向，Z軸表示人體高度方向，存儲為.wrl格式。將軀干部位文件導入Imageware13.0軟件（圖2），對原始點云數據進行精簡及平滑處理。使用“點云投影到平面”工具來提取冠狀面輪廓線點云，將點云投影到指定的YOZ平面，然后抽取輪廓點云，進一步精簡點云，獲取冠狀面輪廓線點云。通常而言，人體近似左右對稱，但是由于掃描時站姿和呼吸等影響，使得冠狀面左右兩邊的輪廓點云不對稱，這會影響到冠狀面曲線形態分析。因此，本文參考夏明等? [11] 對胸圍斷面形狀對稱處理的方法，借助Imageware13.0軟件對冠狀面輪廓點云作對稱處理。首先，將左側冠狀面點云鏡像對稱到右側，得到左側鏡像點云數據;其次，取左側鏡像點云數據與右側原點云數據的均值; 最后，將均值再次鏡像對稱，得到較為對稱的輪廓點云（圖3）。該方法保留了原始冠狀面輪廓曲線特征，然后利用AutoCAD調出冠狀面輪廓點云的數據坐標，以便后續研究。

1.3 曲線擬合的理論基礎

曲線擬合是一種函數逼近的方法，構造函數 φ（x） 去逼近未知函數 f（x） ，使得誤差在某種意義上達到最小。最小二乘法（最小平方法）是一種數學優化技術，通過最小化誤差的平方和來尋找數據的最佳函數匹配。采用最小二乘法建立曲線擬合方程，如下式所示：

∑? m i=1 [φ *（x i）-y i] 2=? min?? φ（x）∈φ ?∑? m i=1 [φ（x i）-y i] 2? ?（1）

式中： φ（x） 是函數 Φ 中任意函數。

滿足式（1）的函數 φ *（x） 稱為上述最小二乘問題的最小二乘解。最小二乘法能將復雜問題簡單化，函數形式簡單、表達能力強、計算方便，經常被用于曲線擬合，關鍵是確定函數 φ（x）?? [12] 。

三次樣條函數是根據一組已知數據點，對于每相鄰樣點對，用三次多項式去擬合樣點之間的曲線。

人工神經網絡是一系列受生物學、神經科學啟發的數學模型，模擬生物神經網絡，廣泛應用于機器學習領域? [13] 。RBF神經網絡結構簡單，訓練簡潔，學習收斂速度快，能逼近任意非線性函數，在曲線擬合中應用較多。把采集到的離散的冠狀面輪廓數據點通過訓練，得到模型模擬相應的非線性系統，從而得到較好的逼近函數? [14] 。

2 冠狀面輪廓曲線的數學模型構建

本文采用Matlab軟件，對1.2節中提取的青年女性冠狀面輪廓點云數據，運用最小二乘法、三次樣條函數、RBF神經網絡分別構建冠狀面輪廓曲線的數學模型，比較其擬合效果，得出最佳的數學模型。

2.1 最小二乘法模型

本文采用Matlab軟件進行分析，使用多項式插值的方法對青年女性冠狀面輪廓數據點進行曲線擬合，求解曲線方程系數及擬合精度評估系數。在保證冠狀面輪廓曲線擬合精度的前提下，為了增強擬合模型的穩定性，應盡量選取小的擬合階數。

插值多項式的表達式如下式所示：

f（x）=p 1x n+p 2x? n-1 +…+p? n-1 x 2+p nx 1+p? n+1?? ?（2）

式中：對數據點進行插值，其含義為 f（x i）=y i，i∈{0，1，…，n} 。

代入等式就得到系數為 P k 的線性方程系統，用矩陣向量形式表示為：

x n 0 x? n-1? 0 x? n-2? 0 … x 0 1 x n 1 x? n-1? 1 x? n-2? 1 … x 1 1 x n n x? n-1? n x? n-2? n … x n 1??? p 1 p 2p? n+1? ?=? y 0 y 1y n? ???（3）

式中：為了構建插值多項式 f（x） 主要是計算系數 P k 。通過計算得到青年女性冠狀面的擬合曲線模型，在Matlab曲線擬合工具箱里實現這一過程。

Matlab調用格式 p =polyfit（ x，y，n ），其中 x，y 為點云坐標數據點， n 為多項式階數， p 為冪次從高到低的多項式系數向量。用最小二乘法對數據進行擬合，返回 n 次多項式的系數，并用降序排列的向量表示，長度為 n+1 。利用函數 y =polyval （p，x） 進行多項式曲線擬合評價，返回 n 階多項式在 x 處的擬合值。最后使用plot工具畫出原始點云數據點、擬合曲線。在實驗的過程中發現，隨著多項式擬合次數的增加，返回的高次項擬合系數越來越小，擬合方程出現震蕩不穩定的現象。考慮到最小二乘法模型的擬合精度和穩定性，最后選用五次多項式對冠狀面輪廓曲線進行數學建模。本文分別對頸肩部、體側部冠狀面輪廓曲線進行最小二乘法建模，如圖4 所示。

2.2 三次樣條函數模型

三次樣條函數廣泛應用于數據擬合、圖形處理、計算機視覺等領域，函數定義? [15] 如下：

對 y=f（x） 在區間 [a，b] 上給定一組節點 a=x 0

Matlab調用格式 y i =spline （x，y，x i） ，其中 x、y 為點云坐標數據點， x i 是插值數據的橫坐標，返回對原始數據三次樣條插值的縱坐標，最后使用plot工具畫出原始點云數據點、擬合曲線。本文分別對頸肩部、體側部冠狀面輪廓曲線進行三次樣條函數建模，如圖5所示。

2.3 RBF神經網絡

RBF神經網絡是一種三層前向神經網絡，由輸入層、隱藏層和輸出層構成? [16] ，如圖6所示。

RBF神經網絡常用的徑向基函數是高斯函數，隱藏層中的激活函數可表示為：

R（x p-c i）= exp? - 1 2σ 2? x p-c i ?2 ???（4）

式中：? x p-c i ?為歐式范數; c i 為高斯函數的中心; σ 為高斯函數的方差。

由RBF神經網絡結構可得到網絡的輸出為：

y j= ∑? h i=1 w? ij? exp? - 1 2σ 2? x p-c i ?2 j=1，2，…，n? ?（5）

式中： x p=（x p 1，x p 2，…，x p m） T 為第 p 個輸入樣本， p=1，2，…，P;P 為樣本總數， c i 為網絡隱藏層節點的中心; w? ij? 為隱藏層到輸出層的連接權值; i=1，2，…，h 為隱藏層節點數; y j 為與輸入樣本對應網絡的第 j 個輸出節點的實際輸出。

冠狀面輪廓曲線RBF神經網絡模型流程如圖7所示。

運用newrb函數設計一個近似徑向基網絡，建立單輸入單輸出的RBF神經網絡。Matlab調用格式[net，tr]=newrb[P，T，GOAL，SPREAD，MN，DF]，其中輸入向量 P 為冠狀面輪廓點云寬度方向坐標，目標輸出 T 為冠狀面輪廓點云高度方向坐標;GOAL為均方誤差目標，設定為10? -4 ;SPREAD為徑向基函數的擴展速度，設定為1;MN為神經元的最大數目;DF為兩次顯示之間所添加的神經元數目;net返回值為一個RBF神經網絡;tr返回值為訓練記錄。

RBF神經網絡是一個不斷嘗試的過程，當網絡輸出誤差的均方誤差達到預期或神經元數量達到上限則完成訓練，否則繼續訓練，直到達到預期設定目標。在人體冠狀面截面輪廓點云數據集中選取70 % 的數據點作為擬合訓練點集，剩下30 % 作為測試點集。最后使用plot工具畫出原始點云數據點、擬合曲線。本文分別對頸肩部、體側部冠狀面輪廓曲線進行RBF神經網絡建模，如圖8所示。

3 分 析

冠狀面輪廓曲線數學模型擬合精度通過均方根誤差 RMSE 和決定系數 R 2 進行評估， RMSE 越接近于0， R 2 越接近于1，表明模型擬合度越高? [17] 。 RMSE、R 2 表達式? [17] 如下式 所示：

R 2=1- ?∑? n i=1 （y i- y i? ?^ ） 2 ?∑? n i=1 （y i- y? ） 2 ???（6）

RMSE=? 1 n ?∑? n i=1 （y i- y i? ?^ ） 2 ???（7）

式中： n 為樣本總數; y i 為樣本基礎值;? y i? ?^ ?為樣本預測值;? y?? 為樣本基礎值的平均值。

表1列出了三個模型的均方根誤差 RMSE 和決定系數 R 2 ，可見RBF神經網絡模型的擬合精度優于最小二乘法和三次樣條函數模型。最小二乘法模型簡單，但隨著擬合次數的增加，如圖4所示，模型出現震蕩不穩定現象;三次樣條函數模型擬合精度較高，因涉及矩陣求逆耗時較長，其次數據點過近也會影響其擬合效果。綜合比較三種方法的擬合 （圖4、圖5 、圖8）和精度對比（表1），RBF神經網絡在人體冠狀面輪廓曲線模型效果最優，選用該模型做進一步的量化分析。

根據冠狀面輪廓曲線RBF神經網絡模型，用曲率和二階導數來進一步量化曲線形態。曲率能表明曲線在某一點處的彎曲程度，曲率越大，表示曲線彎曲程度越大。二階導數能表現擬合曲線的凹凸變化特征，二階導數大于零，表示那個部位呈現凹狀，反之呈凸狀。計算曲線的曲率 K 如下式 所示：

K=? y″? （1+y′ 2）?? 3 2 ?????（9）

式中： y′ 為擬合曲線的一階導數， y″ 為擬合曲線的二階導數。

將冠狀面輪廓點云按照從上到下排列的順序進行編號，計算出頸肩部、體側部冠狀面擬合曲線樣本點處的曲率，同時為分析擬合曲線的幾何特性，計算出每條擬合曲線樣本點處的二階導數，如圖9所示。

人體冠狀面輪廓擬合曲線曲率和二階導數變化規律表明，輪廓曲線曲率變化呈現波紋狀，峰值較多。從圖9得到：頸肩部冠狀面擬合曲線從第一個極大值下降至接近于零，隨后又增大到第二個極大值，此時二階導數大于零，曲線呈凹狀，與側頸部形態相符;體側部冠狀面擬合曲線的峰值主要集中在前三分之一樣本處，對照擬合圖位于腋下點到側腰點的點云之間，曲率變化劇烈。通過比對GB/T 16160—2008《服裝用人體測量的部位與方法》、GB/T 23698—2009《三維掃描人體測量方法的一般要求》，發現曲率值較大的樣本點主要集中在人體的特征部位附近，如側頸點、肩峰點、腋下點、側腰點等處，也是服裝制版的關鍵點。

最后，為了使縱向體型研究更具有針對性，本文按照以上方法對測量的631個實驗樣本進行冠狀面輪廓曲線RBF神經網絡模型構建，并計算其曲率和二階導數，獲取側頸點、肩峰點、腋下點、側腰點等特征點曲率，參考文獻[3]中基于特征點曲率細化輪廓線形態的方法，將冠狀面體型分為3類，量化區分了青年女性縱向體型差異，其中中間體冠狀面擬合曲線如圖10所示。

第一類冠狀面體型呈H形，肩寬約等于臀寬，腰部凹勢不明顯，側頸點處凹勢較緩，曲線整體曲率較小;第二類冠狀面體型呈O形，肩寬小于臀寬，腰部凹勢一般，側頸點處凹勢較明顯，曲線整體曲率一般;第三類冠狀面體型呈X形，肩寬大于臀寬，腰部凹勢明顯，側頸點處凹勢明顯，曲線整體曲率 較大。

4 結 論

參數化輪廓曲線是研究體型及其分類的一個基礎，本文通過對冠狀面輪廓曲線的研究，得到以下結論：

1） 利用逆向工程技術從人體三維掃描數據點云中能有效提取冠狀面輪廓線點云數據，降維優化，采用最小二乘法、三次樣條函數、RBF神經網絡分別構建冠狀面輪廓曲線數學模型，對比分析，結果顯示RBF神經網絡擬合精度優于前兩種方法;

2） 進一步量化分析，冠狀面輪廓擬合曲線曲率和二階導數變化規律表明，輪廓曲線曲率變化呈現波紋狀，曲率的極大值點主要集中在人體的側頸點、肩峰點、腋下點、側腰點等特征點處;

3） 最后在大規模三維人體測量實驗中采用RBF神經網絡建模，得到利用二維曲線表征三維人體特征空間的數學模型，量化曲線形態，聚類得到H形、O形、X形3類冠狀面擬合曲線。

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Mathematical model construction and quantitative analysis of human coronal profile curve

NI Shiming? 1a ， BAI Yunlong? 1b ， JIANG Yiqun 2

（1a.College of Architecture & Art Design; 1b.College of Information Engineering， Shaoxing Vocational & Technical College， Shaoxing 312000， China; 2.College of Engineering， Iowa State University， Iowa 50011， USA）

Abstract：

There are huge individual differences in human body shape， mainly manifested in height （length）， fatness and thinness （width and thickness）， body surface shape （curve and angle） and so on. Body shape research based on body surface curve can refine the existing body shape classification and is the key to improving clothing fitness. There are three human body sections in sagittal， coronal and transverse directions. Due to the irregular shape of the section curve， it is necessary to build a mathematical model to quantitatively describe the shape characteristics of the curve. The coronal curve shape that contains the body shape information of the neck， shoulder and side of the body is closely related to the clothing structure. However， there are few researches on coronal curves. Despite the common use of methods such as least square method， cubic spline function and RBF neural network in curve fitting， further research is needed for the optimal fitting method of human coronal plane curve.

For the purpose of the dimension reduction and optimization of the human bodys high-dimensional point cloud data， a mathematical model with high fitting accuracy and strong generalization ability is established to quantitatively analyze the coronal profile curve， and to better characterize human body surface shape. First， the human body point cloud data are obtained through [TC] 2 three-dimensional measurement. In order to enhance the universality of the mathematical model of human coronal profile curve， an experimental sample closest to the national standard 160/84A female body size is selected. The original point cloud is simplified， smoothed， projected and symmetrically processed by reverse engineering technology， and the coronal profile point cloud is collected. Secondly， the least square method， cubic spline function and Radical Basis Function （RBF） neural network are used for curve fitting respectively， and the ?RMSE ?and determination coefficient ?R 2 ?of the three models are compared. ?RMSE ?of RBF neural network is closer to 0 and ?R 2 ?is closer to 1 compared with the other two models， and the fitting effect of RBF neural network is the best. Then， the shape of the coronal profile curve is quantified by calculating the curvature and second derivative of the fitting curve. Finally， in the measurement of large populations for validation， the RBF neural network model of coronal profile curve for 631 experimental samples is established and the curvature and the second derivative are calculated. By refining the coronal profile line shape based on the curvature of feature points， coronal profile curves of three typical types of H， O and X are obtained through clustering. The longitudinal body size differences among young women are quantified and distinguished. This paper tries to introduce artificial neural network into the human coronal profile curve fitting， constructs the RBF neural network model， and compares with the fitting effect of least square method and cubic spline function. It has improved the precision of coronal profile curve fitting， and quantified the curve shape through the curvature and the second derivative， providing data support and technical support for the study of the human body shape and the structure design. It is found that the mathematical model using RBF neural network for the construction of two-dimensional curve has high fitting accuracy and strong generalization ability when characterizing three-dimensional human body feature space， and it can effectively characterize the longitudinal body surface features of human body.

Parameterized profile curve is the basis for body shape research and classification. The complex point cloud data can be optimized through machine learning， so as to quickly obtain the mathematical model using two-dimensional curve for the characterization of the human body feature space， which can lay a foundation for subsequently searching the mapping relationship between human body basic parameters and the coronal profile fitting curve.

Key words：

coronal profile curve; reverse engineering; RBF neural network; mathematical model; quantitative analysis