《空間向量與立體幾何》新舊教材的變化

■ 武漢市第十一中學(xué) 余春芳

一、整體內(nèi)容安排變化

《空間向量與立體幾何》部分舊版教材在選修2-1第三章，共兩節(jié)3.1空間向量及其運(yùn)算，3.2立體幾何中的向量方法，教學(xué)時(shí)間大約12課時(shí)；

新版教材在選擇性必修一第一章，共四節(jié)1.1空間向量及運(yùn)算，1.2空間向量基本定理，1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示，1.4空間向量的應(yīng)用，教學(xué)時(shí)間大約14課時(shí)。

從整體內(nèi)容安排可以看出，新版教材內(nèi)容細(xì)化，邏輯關(guān)系更清晰，增加了空間向量基本定理及坐標(biāo)表示兩節(jié)內(nèi)容，教學(xué)時(shí)長(zhǎng)增加。因?yàn)榭臻g向量基本定理揭示出空間任何一個(gè)向量都可以用三個(gè)不共面的向量唯一表示，因此空間中三個(gè)不共面的向量就構(gòu)成了三維空間的一個(gè)基底，這為幾何問題代數(shù)化奠定了基礎(chǔ)。為了突出空間向量基本定理的基礎(chǔ)地位，新版教材將這一內(nèi)容單設(shè)一節(jié)，不僅學(xué)習(xí)空間向量基本定理，還應(yīng)用向量方法解決立體幾何問題。這是新舊教材這一單元最大的不同。

二、總體設(shè)計(jì)的變化

在兩本教材對(duì)應(yīng)的教師教學(xué)用書中，分別提出了對(duì)本章的總體設(shè)計(jì)目標(biāo)。

舊版教材教師教學(xué)用書中提出，空間向量為處理立體幾何問題提供了新的視角。空間向量的引入為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個(gè)十分有效的工具，在本章學(xué)生將平面向量及其運(yùn)算推廣到空間，運(yùn)用空間向量解決有關(guān)直線平面位置關(guān)系的問題，體會(huì)向量方法在研究幾何圖形中的作用，進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力。

而在新版教材教師教學(xué)用書中還明確指出用空間向量描述空間直線平面間的平行垂直關(guān)系，用空間向量解決空間距離、夾角問題等。通過本章學(xué)習(xí)，側(cè)重提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

從兩者的變化可以看出，新版教材更注重多方面的學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)。

三、學(xué)習(xí)目標(biāo)的變化

在兩本教材對(duì)應(yīng)的教師教學(xué)用書中，分別提出了對(duì)本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)，兩者的大部分目標(biāo)相同，但少部分有變化。這里提出有變化的部分。

舊版教材教師教學(xué)用書中提出了能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直，新版教材中沒有這一條。

舊版教材教師教學(xué)用書中提出了能用向量方法證明有關(guān)直線平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）。新版教材教師教學(xué)用書中提出的是能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理。

舊版教材教師教學(xué)用書中提出能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面夾角的計(jì)算問題。但新版教材教師教學(xué)用書在此基礎(chǔ)上還提出能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的平面的距離問題和簡(jiǎn)單夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序。

新版教材教師教學(xué)用書還要求，在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，了解空間直角坐標(biāo)系，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置，探索并得出空間兩點(diǎn)間的距離公式。從兩者的變化可以看出，新教材增加了向量方法解決距離問題；增加了空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置。

四、教材內(nèi)容的變化

1.新版教材將概念進(jìn)行整合。所有概念都集中在第一節(jié)，并將所有運(yùn)算律集中到一起，學(xué)生更好地類比和對(duì)比。

2.新版教材中直線的方向向量概念更明晰，應(yīng)用也更加廣泛，在多處可以看到方向向量的應(yīng)用。

3.新版教材增加了投影向量的概念（見教材p7）

4.新版教材增加了空間直角坐標(biāo)系的建立過程（見教材p16)，并指出本書建立的都是右手直角坐標(biāo)系，這比舊版教材更詳盡更嚴(yán)謹(jǐn)，有利于學(xué)生深入理解建立空間直角坐標(biāo)系的過程及規(guī)范。

5.新版教材增加了兩平面的夾角的概念（見教材p37頁(yè)），并提出了“兩個(gè)平面的夾角和這兩個(gè)平面形成的二面角有什么關(guān)系？”的思考題，讓學(xué)生不再糾結(jié)舊版教材中所求是銳二面角還是鈍二面角。

6.新版教材增加了空間向量解決幾何問題的應(yīng)用。

7.新版教材增加了空間向量解決點(diǎn)線距離、點(diǎn)面距離公式（見教材p33頁(yè)p34頁(yè)）

五、例題思考題及課后習(xí)題的變化

1.新版教材減少了四點(diǎn)共面的思考題

2.新版教材刪去了公垂線的說法，但兩本書習(xí)題中均有求兩直線間的距離

3.新版教材刪去了舊版教材中物理知識(shí)中復(fù)雜的力的運(yùn)算，改成簡(jiǎn)單運(yùn)算

4.新版教材刪去了舊版教材里復(fù)雜的字母運(yùn)算，改成了具體的數(shù)字運(yùn)算

5.新版教材刪去了舊版教材里的作圖題p86練習(xí)2及練習(xí)3和p89練習(xí)3

6.新版教材增加了空間直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)的應(yīng)用p18練習(xí)1，2，3，4

7.新版教材增加了用空間向量基底證明平行垂直及所成角p13例2例3，p14練習(xí)1，2，3

8.新版教材增加了法向量的求法P28例1

9.新版教材增加了探索性問題空間向量的求法p30例3，p44拓展探索16

10.新版教材增加了以非正方體的幾何體為載體的應(yīng)用空間向量知識(shí)解決立體幾何問題p38練習(xí)1，2，3，4，p41頁(yè)練習(xí)2，3習(xí)題2，3，4，7

11.新版教材增加了兩個(gè)平面夾角的定義，減少了銳二面角鈍二面角的糾結(jié)p37例8p44習(xí)題

12.舊版教材中的p91例2三垂線定理變成了新版教材中的習(xí)題p19習(xí)題2

13.新版增加了空間向量的應(yīng)用。舊教材中的p98習(xí)題3變成了新教材的例題P7例2

六、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的變化

本章“空間向量與立體幾何”的研究對(duì)象是幾何圖形，所用的研究方法是向量方法，通過本章的學(xué)習(xí)，側(cè)重提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。通過新舊教材的對(duì)比，為了使學(xué)生得到思維方法上的訓(xùn)練，新版教材根據(jù)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，利用“觀察”“思考”“探究”“小結(jié)”等欄目提出問題，引導(dǎo)學(xué)生層層深入地進(jìn)行思考，逐步將學(xué)生的思維活動(dòng)引向深入，幫助學(xué)生在獲得“四基”的過程中，逐步提高“四能”，發(fā)展數(shù)學(xué)實(shí)踐能力及創(chuàng)新意識(shí)，培育科學(xué)精神，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

從新版教材的編排可以看出，新版教材更關(guān)注內(nèi)容的聯(lián)系性和整體性，構(gòu)建空間向量與立體幾何的研究框架，通過形與數(shù)的結(jié)合，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)整體性的理解，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

而且，新版教材中類比平面向量研究空間向量的概念及其運(yùn)算，關(guān)注其中維數(shù)帶來的變化，并關(guān)注空間向量與立體幾何知識(shí)間的聯(lián)系。例如，教材在定義共面向量時(shí)，通過畫出向量與平面平行的立體圖形幫助學(xué)生建立概念；在研究如何確定點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)時(shí)，注意引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀進(jìn)行研究，并根據(jù)直線和平面垂直的判定定理解釋其中的道理；等等。這些安排都凸顯了教材在構(gòu)建向量體系時(shí)對(duì)立體幾何的基本知識(shí)的重視。在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，直觀想象能力，提升數(shù)形結(jié)合的能力，感悟立體幾何的本質(zhì)。

在本章，突出用向量方法解決立體幾何問題，向量方法有別于綜合幾何方法。綜合幾何方法是借助圖形直觀理解，從公理、定義和定理等出發(fā)，通過邏輯推理解決幾何問題；而向量方法則是用向量表示幾何元素，通過向量運(yùn)算解決幾何問題。通過空間向量，降低了綜合幾何方法中求異面直線所成角、直線與平面所成角、平面與平面所成角的難度，使學(xué)生能夠通過數(shù)學(xué)運(yùn)算解決這些問題。學(xué)生還可以通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問題的習(xí)慣，形成一絲不茍嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神。

七、結(jié)論和教學(xué)建議

結(jié)合新舊教材的變化，我們不難看出，新版教材知識(shí)更詳盡，更體系化，邏輯關(guān)系更強(qiáng)，更注重?cái)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。通過新舊教材的對(duì)比，特別是新舊教材的變化，筆者得出以下結(jié)論供大家參考：

1.深刻理解空間向量基本定理并會(huì)應(yīng)用基底法解決空間幾何問題，特別是非正方體為載體的空間點(diǎn)線面位置關(guān)系、夾角及距離。教學(xué)中，應(yīng)注意把具體的立體幾何問題作為學(xué)習(xí)向量方法的載體，通過問題的解決加深對(duì)向量法和立體幾何內(nèi)容的理解。不能把向量方法等同于坐標(biāo)法，一定要強(qiáng)調(diào)空間向量基本定理的核心地位，也要強(qiáng)調(diào)利用基底法解決立體幾何問題。

2.空間直角坐標(biāo)系是空間向量運(yùn)算坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，對(duì)于空間直角坐標(biāo)系的編排，基于使本章內(nèi)容邏輯主線更加清晰的考慮，新舊教材有較大不同。新教材選擇了利用空間任意給定的一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，并強(qiáng)調(diào)了右手系。

3.關(guān)注投影向量的意義及其在解決距離問題中的作用。空間向量的投影是新教材新增加的內(nèi)容，課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)空間向量投影的概念及其應(yīng)用都有明確的要求，所以，大家要特別關(guān)注課程標(biāo)準(zhǔn)的這一變化。向量的投影是高維空間到低維子空間的一種線性變換，得到的投影向量是變換的結(jié)果。空間向量投影概念的建立對(duì)于學(xué)生利用投影向量研究立體幾何問題有重要意義。

4.新版教材增加了空間點(diǎn)線距離、點(diǎn)面距離、面面距離及夾角公式。通過新舊教材的對(duì)比，垂直反映了距離的本質(zhì)，法向量是反映垂直方向的最為直觀的表達(dá)形式，因此教材中利用法向量和向量的投影研究距離和夾角問題，并給出了公式及解決此類問題的基本步驟。

5.新版教材增加了用向量方法解決探索性問題。探索性問題即存在性問題，在某線段上或某平面內(nèi)找點(diǎn)或線滿足某些距離夾角等問題，這類問題用向量方法解決起來直觀快捷也降低了難度，新教材增加了對(duì)應(yīng)的例題和習(xí)題。

6.新版教材通過一系列問題的引導(dǎo)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生獲得“四基”提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。為了使學(xué)生得到思維上的訓(xùn)練，新教材根據(jù)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，利用“觀察”“思考”“探究”等欄目提出問題，引導(dǎo)學(xué)生層層深入思考，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

總的說來，2020版教科書是在2017版教科書的基礎(chǔ)上修改補(bǔ)充完善的，我們要注意這些變化，在教學(xué)中深刻研究，在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生能夠更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。