高等數學課程思政的教學設計探究
——以“傅里葉級數”為例

朱 艷

（上海理工大學 上海 200093）

高等教育的新時代對高校大學生的思想政治教育提出了新的要求，高校踐行課程思政是全面立德樹人的重要舉措，鑄就教育之魂的理念與實踐創新，青年教師應該利用課堂教學的主渠道，發揮課堂思政的思想政治教育功能，將單純的知識傳授拓廣至有意識的立德樹人。高等數學是面向理工科專業學生的一門公共基礎課，可以作為實現對大學生進行思想政治教育的重要載體。由于課程特點，高等數學蘊含多個課程思政切入點[1-3]，本文將以高等數學課程中的“傅立葉級數”這一知識點為例，探索如何在教學設計中融入思政元素。

傅里葉級數的講授一方面是讓學生掌握函數展開成傅里葉級數的方法，另一方面是理解傅里葉級數的意義和應用。課程大致分為五個部分，第一，簡單介紹傅里葉的生平和他對數學及物理學的杰出貢獻，引起學生的興趣，盡快進入上課狀態，并且以傅里葉的科研精神鼓勵大家積極向上；第二，通過多媒體展示讓學生對曲線疊加有個直觀的認識，進而引出無窮多項三角函數疊加的問題，培養學生抽象思維同形象思維相結合的意識；第三，給出傅里葉級數的定義，利用板書推導傅里葉系數的計算過程，培養學生分析問題和解決的能力；第四，給出傅里葉級數的收斂定理（狄利克雷條件），并以實例計算讓學生熟練掌握周期函數的傅里葉級數展開，培養學生在學習過程中的邏輯嚴謹性；第五，介紹傅里葉級數的意義和應用，讓學生體驗如何應用所學知識分析解決實際問題。具體的教學進程安排如下：

1 傅立葉生平

以法國著名數學家和物理學家傅立葉的生平和貢獻作為課堂的開始，通過講述他開始對熱學的研究以及他的研究成果向同學們展示傅立葉與“熱”相伴的一生。于1822年出版的《熱的解析理論》對數學和物理學的發展都產生了深遠的影響（譯本參考文獻[4]），傅立葉確定了熱傳導方程的解，并且斷言：任何溫度分布都可以寫成正弦波的（無限）和的形式，該級數以傅里葉命名。

傅立葉最初研究是物理中的熱傳導方程，這是19世紀的數學家研究的重要問題之一，但是基于他對該問題的研究促進了“泛函分析”這一數學分支的形成，為數學研究做出了偉大的貢獻，讓學生體會到知識體系的博大、不同學科之間的聯系和傅立葉級數的重要性和實用性；傅里葉1807年提交的論文由于朗格朗日的反對未能發表，1811年重新撰寫論文,但是拉格朗日依舊認為不適于發表，他的專著《熱的解析理論》直到1822年才得以發表，并且成為19世紀最廣泛閱讀的書籍之一，以傅立葉的坎坷人生和成就激勵學生遇到任何困難都不要輕言放棄，以此勉勵學生堅定努力拼搏和勇于創新的信念。

2 傅立葉級數

傅立葉級數是將滿足狄利克雷條件的周期函數表示為正弦或者余弦函數的疊加。課程中將采取直覺觀察、數學推導、實例計算和拓展思考四個部分讓學生掌握傅里葉級數的相關內容。

2.1 直覺觀察

首先分別給出不同振幅和頻率的正弦波的圖像，通過播放視頻分別向學生展示兩個正弦波以及它們的疊加圖，然后進一步調整正弦波頻率和振幅讓同學們觀察多個正弦波的動態疊加效果，在觀察的過程中引導學生注意疊加函數仍然具有周期性。基于上述觀察引入問題：如何將一個周期函數展開為（無限個）三角函數（正弦或余弦函數）的線性組合？

2.2 傅里葉系數

傅立葉系數的確定是非常關鍵的步驟，授課中會板書推導，讓學生熟練掌握傅里葉級數的計算過程。

2.3 收斂定理

關于傅立葉級數有幾個需要思考的問題：首先，是不是任何一個周期函數都存在傅立葉級數展開？其次，如果可以，那該傅立葉級數是否收斂，以及如果收斂的話，它是否收斂于給定的函數？那么（狄利克雷）收斂定理就回答了上述問題。簡單介紹數學家狄利克雷對數論、數學分析和數學物理的突出貢獻。

2.4 實例計算

通過一個具體的例子，分析和確定它的傅立葉級數，這里考慮周期為的分段函數（例1），它在上定義如下：

給同學們介紹此函數圖像是現實世界中的矩形波，它是一種非正弦曲線的波形，通常會于電子和訊號處理時出現。展示動畫疊加效果，隨著傅立葉級數中項數的增加，疊加曲線會越來越收斂于矩形波圖像。通過這個例子展示確定周期函數的傅里葉級數的關鍵步驟：首先計算該函數的傅里葉系數，然后利用收斂定理確定級數的收斂范圍。增加形式有所變化的例題將傅立葉級數的計算和收斂性判定過程進行鞏固。

計算上述周期函數的傅立葉級數，并對級數的收斂性進行判定。

2.5 拓展思考

2.6 正弦和余弦函數

一般來講，傅里葉級數中會同時包含正弦和余弦函數，但是有些函數的傅里葉展開只含正弦項（例1），或者只含余弦項（例3），引發學生思考原因。實際上，這是與函數的奇偶性密切相關的。也就是說，當函數為奇函數時，其傅里葉級數就是正弦級數；當函數為偶函數時，其傅里葉級數就是余弦級數。

3 傅立葉級數的意義和應用

傅里葉級數的意義在于將復雜的周期函數分解為簡單的三角函數，將各種復雜振動（或復雜波）分解為簡諧振動（或簡諧波），即：周期為的函數傅里葉級數為

傅里葉級數時時處處存在于我們的生活中，在逼近理論、信號處理、圖像處理、光學、聲學等多個領域均有重要應用。比如電子音樂中要用固定的頻率震蕩器合成指定的音樂，這可以通過調整不同頻率和振幅來組合實現，音樂合成器可以利用傅里葉級數模擬長笛或者小提琴的聲音，甚至創造出人們從來沒有聽過的聲音；無限電收音機利用這一分解原理可以選擇特定的頻道，也就是隨著時間變化的信號中找到特定的波長；利用歐拉公式

可以將傅里葉級數改寫為復數形式，進而可以得到傅里葉變換，通過一些視頻向學生展示復數形式的傅里葉級數可視化的過程，建議感興趣的同學可以進一步了解代碼實現傅立葉級數的可視化。

4 內容小結

本文通過高等數學課程中“傅里葉級數”作為切入點，以講述數學家傅里葉的故事和傅里葉級數的意義及諸多應用的形式融入課程思政，這一嘗試啟發我們可以從高等數學的教學大綱出發，根據課程的教學要求，遵循學生學習的特點和認知規律，形成問題引入、問題分析、知識建構、問題求解和應用拓展的五步式教學模式，挖掘這門課程更多的思政元素。課程思政主要形式是將思想政治教育元素，包括思想政治教育的理論知識、價值理念以及精神追求等融入到課程中去，潛移默化地對學生的思想意識、行為舉止產生影響。對于高等數學這一課程的特點，課程思政可以融入古代經典的數學問題、古今中外數學家的生平及其在相關專業領域的突出貢獻、專業數學知識在實際生活中的應用等元素，充分更好地將價值塑造、知識傳授和能力培養融為一體，“潤物無聲”地實現立德樹人這一根本任務。