基于Kahan方法的磁流變拋光凸元件幾何特性分析

楊 航,佘 娜,張云飛,黃 文,賈 陽

(1.遵義師范學院工學院,貴州 遵義,563006；2.中國工程物理研究院 機械制造工藝研究所,四川 綿陽,621900；3.華中光電技術(shù)研究所 武漢光電國家實驗室,湖北 武漢,430073)

1 引 言

空間光學、天文光學、慣性約束聚變以及紫外光刻等高技術(shù)領(lǐng)域?qū)鈱W系統(tǒng)的要求不斷提高[1-2]。光學元件在以后的航空、國防、宇宙探索、核聚變等諸多鄰域都將起到越來越重要的作用,高精度的光學零件與高要求壓力場的光學元件對于某些領(lǐng)域更是具有不可替代的作用。為了一些光學元件的表面的精度、表面的質(zhì)量以及表面壓力場都能滿足需要的條件[3-4],世界上許多國家對光學元件的表面進行了大量的研究,并找尋加工的方法,這些方法中包括了離子束加工、在線電解修整磨削拋光、Teflon法拋光、磁流變拋光(MRF)等[5-6],但是因為其研究的工作還不夠,有些技術(shù)不是很完善。在這些技術(shù)中,MRF技術(shù)是利用了拋光液在磁場中形成一段凸起的“柔性緞帶”[7-8],通過“柔性緞帶”在加工工件表面進行拋光[9-10],為可控的柔性拋光技術(shù)[11]。MRF是用來獲得超高精度光學表面的技術(shù),運用磁流變拋光技術(shù)加工光學元件將變得越來越廣泛。對于磁流變拋光區(qū)域壓力的研究,董敏運用磁流變拋光技術(shù)對微結(jié)構(gòu)動壓平面進行了研究[12]。對于一些壓力場控制嚴格的凸光學元件,特別是對于航空、航天、激光核聚變等領(lǐng)域?qū)ν构鈱W元件的壓力場控制極為嚴格時,磁流變拋光區(qū)域的壓力場就變得極為重要。總的來說,磁流變拋光壓力場的實驗獲取方法存在三方面的困難:(1)因為流場尺度小,與設(shè)備屬于同一量級,不論是點式還是薄膜式的傳感器介入都會引起磁流變拋光區(qū)域壓力場畸變,導致測得的數(shù)據(jù)精度喪失或失效；(2)傳感器對壓力場的測定成本居高不下,且不能夠獲得實時、動態(tài)、多參數(shù)耦合流場；(3)目前基于牛頓法、榮格庫塔方法開展的數(shù)值計算由于受到多因素、多場耦合產(chǎn)生的非線性積分特性,計算效率低下甚至無法計算。面向這些問題,本文提出基于Kahan方法的快速數(shù)值計算,使高效率磁流變拋光區(qū)域流場幾何特性獲取成為可能。

2 凸光學元件與磁流變拋光區(qū)域壓力分析

2.1 磁流變拋光過程

磁流變拋光是指被加工工件(本文所研究的凸光學元件)放置在一個運動拋光輪上方,加工工件與拋光輪的上部會形成一個很小的距離,使加工工件便于在運動的拋光輪上部形成一個很小的間隙,如圖1所示。

圖1 磁流變拋光加工凸光學元件的示意圖

在運動的拋光輪下方布置一電磁鐵磁極,與加工工件相互對應(yīng),就會在加工工件與拋光輪的小間隙附近產(chǎn)生一個非均勻的磁場。當磁流變拋光液隨著拋光輪運動到加工工件與拋光輪形成的小間隙的附近時,以附著在拋光輪上流動的磁流變液轉(zhuǎn)變成一段凸起的“柔性緞帶”,拋光液受力凝聚、變硬,成為粘度很大的類似Bingham質(zhì)的流變液。當這樣具有較高粘度的“柔性緞帶”Bingham介質(zhì)進入狹小間隙時,拋光液會與加工工件相接觸,使介質(zhì)對光學元件表面所相接觸的區(qū)域會產(chǎn)生一定的剪切作用,進而把光學元件表面區(qū)域的部分材料去除,達到微量去除的目的,在加工工件的表面與拋光液相互接觸并被去除材料的部分被稱為拋光區(qū)。

2.2 凸光學元件曲率分析

本文研究凸光學元件曲率對磁流變拋光區(qū)域壓力場的影響,圖2為磁流變拋光過程中,磁流變液的中平面下凸光學元件與拋光液形成的拋光區(qū)在XOY坐標下的參數(shù),定義拋光區(qū)任意一點為Q,Q點與凸光學元件頂點的距離為h(m),x為該點在X坐標軸上的坐標值。

圖2 XOY坐標示意圖

從圖中可以得到關(guān)于x的方程,其表達式如下:

x2=R2-(R-h)2=2Rh-h2

(1)

式中,R為凸光學元件的半徑,由公式可知x是關(guān)于R的函數(shù)。

考慮到影響x的不止凸光學曲率,還有光學元件的嵌入深度,而嵌入的深度又與嵌入的角度相關(guān),所以本文主要研究影響壓力的主要因素有光學元件的曲率R、光學元件在磁流變液中的浸入深度L、光學元件浸入磁流變液的角度A三個方面。

2.3 凸元件與磁流變液壓力場的形成

磁流變拋光的數(shù)學模型是以Preston方程為依據(jù)所建立的。凸光學元件拋光時,磁流變拋光液對于加工工件的壓力P是由許多方面的因數(shù)來影響的參數(shù),但它主要由兩個部分組成:即磁場所產(chǎn)生的壓力和流體動壓力。其中流體動壓力,是在無滑動的邊界條件、恒定粘度和可忽略的物體作用力的假設(shè)條件下由Reynolds方程所解出；磁場產(chǎn)生的壓力也包括兩部分:磁化壓力和磁致伸縮壓力,但由于本文所研究的磁流變拋光液在流動過程中近似為不可壓縮流體,在梯度磁場中,隨著體積的變化,磁流變拋光液的磁致伸縮壓力可以近似為零,所以只考慮磁化壓力。則有:

(2)

式中,η0為拋光液粘度；h0為Q點在Y軸上的長度；Ux為拋光輪轉(zhuǎn)速；μ0在真空下的磁導率；Mf為磁流變拋光液的磁化強度；H是在外加磁場的磁場強度。其中磁場強度的表達式為:

(3)

式中,h1為磁極到工件的最小距離。

由式(2)與(3)壓力是關(guān)于x的函數(shù),再根據(jù)2.2小節(jié)得到的結(jié)論,可知壓力與光學元件的曲率R、光學元件在磁流變液中的浸入深度L、光學元件浸入磁流變液的角度A三個方面有關(guān)。

3 基于Kahan線性化的多場耦合積分的快速計算方法

3.1 Kahan線性化原理

對于一般形式的微分方程組:

(4)

其中:

f(x)?A(x)+B(x)+C

(5)

式中,A、B、C分別為n維二次型矩陣、n維方陣、n維列矩陣。采用固定點中心迭代,有:

xt+1=xt+s[A(xt+1,xt)+B(xt+1,xt)+C(xt+1,xt)]

(6)

其中,t為迭代步次；s為步長。有:

(7)

顯然,該積分方法是對稱和線性隱式的。

3.2 壓力場多因素耦合快速計算方法

對于式可以看作具有一般形式:

p?f(Ux,h,x,M,R,μ0,η0)

(8)

因此,按照式(6)開展數(shù)值積分計算,可以將多物理場、多因素耦合的非線性微分方程轉(zhuǎn)化為線性隱式方程進行求解。對多因素的獨立調(diào)控并不影響單次積分的迭代總時間。在時間效率上有極大的優(yōu)勢。這是開展幾何特性多工藝因素分析的基礎(chǔ)。

4 凸元件幾何特性計算

4.1 實驗設(shè)計

為了研究在磁流變拋光過程中磁流變拋光區(qū)域的壓力場,除了本文主要研究的凸光學元件的曲率、嵌入深度與嵌入角度以外,其影響該過程的工藝參數(shù)還有很多,如磁流變拋光液入口的運動速度、壓強以及拋光液參數(shù)等。

由于磁流變液在附加磁場的作用下,磁流變液轉(zhuǎn)變成一段凸起的“柔性緞帶”,拋光液受力凝聚、變硬,形成具有一定屈服應(yīng)力的類固體。考慮到流動狀態(tài)磁流變拋光液的流動特征,流體模型選取的是k-epsilon的湍流模型,由于磁流變液在梯度磁場下成為粘度很大的類似Bingham介質(zhì)的磁流變液可以近似由Herschel-Bulkley模型來代替,所以可采取Herschel-Bulkley模型參數(shù)進行試驗。具體磁流變液各關(guān)鍵參數(shù)如表1。

表1 選取的磁流變拋光各參數(shù)

確定了以上參數(shù)進行分析時,共分為三組實驗:

(1)第一組實驗是以拋)輪轉(zhuǎn)速150 r/min、嵌入深度為1 mm、嵌入角度為0°作定值,改變凸光學元件的曲率的情況下來分析磁流變拋光區(qū)域的壓力場,具體參數(shù)如表2所示。

表2 光學元件曲率在50 mm至500 mm的實驗參數(shù)

(2)第二組實驗是以拋)輪轉(zhuǎn)速150 r/min、凸光學元件曲率為200 mm、嵌入角度為0作定值,改變凸光學元件的嵌入深度的情況下來分析磁流變拋光區(qū)域的壓力場,具體參數(shù)如表3所示。

表3 嵌入深度在0.3 mm至1.1 mm的實驗參數(shù)

(3)第三組實驗是以拋)輪轉(zhuǎn)速150 r/min、凸光學元件曲率為200 mm、嵌入深度為1 mm作定值,改變凸光學元件的嵌入角度的情況下來分析磁流變拋光區(qū)域的壓力場,具體參數(shù)如表4所示。

表4 光學元件嵌入角度在0.5°至3.5°之間的實驗參數(shù)

4.2 凸元件曲率對凸面的壓力影響

在磁流變拋光的過程中,由于凸光學元件的曲率的不同會對拋光區(qū)域內(nèi)磁流變拋光液的壓力產(chǎn)生變化,以嵌入深度為1 mm與嵌入角度為0°作定值,凸光學元件不同的曲率作為研究對象,圖3為不同曲率時仿真實驗所得出的對磁流變拋光區(qū)域壓力對應(yīng)的結(jié)果。

圖3 曲率在50 mm至500 mm的磁流變拋光區(qū)域壓力分布圖

由曲率在50 mm至500 mm經(jīng)過計算到數(shù)據(jù),得到在磁流變拋光區(qū)域中凸光學元件曲率不同時,拋光液的壓力分布曲線圖,如圖4。

圖4 凸光學元件曲率在50 mm至500 mm的壓力分布曲線圖

從圖4中可以看出,凸光學元件曲率對磁流變拋光區(qū)域壓力的影響具有規(guī)律,由單個曲線可知,磁流變拋光區(qū)域中磁流變拋光液進入凸光學元件的x不斷增加,其壓力減小；這與工程經(jīng)驗一致,浸入長度出口方向存在較高的壓力梯度,邊緣部分存在急劇的壓力泄露現(xiàn)象。這也是磁流變拋光邊緣部分難以去除的原因。并由圖4可知,拋光液進入光學元件的前段壓力緩慢減小,中段壓力減小較快,后段壓力緩慢減小。由圖4中不同曲率壓力曲線的變化可知,磁流變拋光區(qū)域中凸光學元件的曲率不斷增加,其壓力不斷增大；在拋光區(qū)域中拋光液進入凸光學元件的前段時,凸光學元件曲率的增加使壓力增大更為顯著；在后段時變化微小,特別是在磁流變拋光液與凸光學元件出口的位置,凸光學元件曲率越大壓力反而較小。

4.3 相同曲率下凸元件嵌入深度對凸面的壓力影響

在磁流變拋光過程中,由于凸光學元件嵌入深度的不同會對拋光區(qū)域壓力產(chǎn)生變化,以凸光學元件曲率為200 mm與嵌入角度0°為定值,以不同的嵌入深度作為研究對象,圖5是不同的嵌入深度下計算出的對磁流變拋光區(qū)域壓力分布圖。

圖5 嵌入深度在0.3 mm至1.1 mm的磁流變拋光區(qū)域壓力分布圖

由嵌入深度在0.3～1.1 mm下經(jīng)過計算得到數(shù)據(jù),得到在磁流變拋光區(qū)域中凸光學元件嵌入深度不同時,拋光液進入的壓力分布曲線圖,如圖6。

由圖6可知,當深度一定時,磁流變拋光區(qū)域中磁流變拋光液進入凸光學元件的位移不斷增加,其壓力減小；拋光液進入凸光學元件的前段壓力緩慢減小,中段壓力減小較快,后段壓力緩慢減小。由圖6中不同深度曲線的變化可知,磁流變拋光區(qū)域中凸光學元件的嵌入深度不斷增大,其壓力不斷增加；當嵌入深度越小時,拋光液進入凸光學元件的位移壓力曲線越平緩,即變化速率越小；當嵌入深度越大時,拋光區(qū)域的壓力曲線越陡峭,即變化速率越大；當拋光液進入凸光學元件前段時,凸光學元件嵌入深度的增大使壓力增加更為顯著,在后段時變化微小,特別是在磁流變拋光液與凸光學元件出口的位置,圖中所有線合為一點,即凸光學元件嵌入深度改變時其壓力不變。這也就揭示了拋光過程入口區(qū)域與出口區(qū)域壓力場變化的不一致性,出口區(qū)域梯度較高,對于不同曲率條件并不能產(chǎn)生明顯的壓力差異。而入口區(qū)域由于有較長的壓力接觸區(qū),因此能夠明顯看到壓力的變化。

圖6 凸光學元件嵌入深度在0.3 mm至1.1 mm的壓力分布曲線圖

4.4 相同曲率下凸元件嵌入角度對凸面的壓力影響

在磁流變拋光過程中,由于凸光學元件的嵌入角度的不同會對拋光區(qū)域產(chǎn)生影響,以凸光學元件曲率為200 mm與嵌入深度為1 mm為定值,不同的嵌入角度作為研究對象,圖7是不同的嵌入角度時計算所得出的拋光區(qū)域壓力分布圖。

圖7 嵌入角度在0.5°至3.5°的磁流變拋光區(qū)域壓力分布圖

由嵌入角度在0.5°～3.5°的計算得到數(shù)據(jù),得到在磁流變拋光區(qū)域中凸光學元件嵌入角度不同時,拋光液進入的壓力分布曲線圖,如圖8。

由圖8可知,當角度一定時,當磁流變拋光液進入凸光學元件的位移不斷增加,前段壓力緩慢減小,中段壓力減小較快,后段壓力緩慢減小。受到壓力場形成機制的影響,前端與后端出現(xiàn)明顯的壓力角度響應(yīng)機制。由圖8中不同嵌入角度的變化曲線圖可知,磁流變拋光區(qū)域中凸光學元件的嵌入角度越小,其位移壓力曲線圖越平緩,即壓力減小速率越慢；凸光學元件的嵌入角度越大,其位移壓力曲線圖越陡峭,即壓力減小速率越快；當磁流變拋光液進入凸光學元件前段時,磁流變拋光區(qū)域中凸光學元件的嵌入角度不斷增大,其壓力不斷增加；在拋光液進入凸光學元件最深點附近,也就是凸光學元件的頂點位置(X軸的0點位置)靠左段,拋光區(qū)域壓力曲線相交,即壓力趨于相等；當磁流變拋光區(qū)域中拋光液進入凸光學元件后半段時,磁流變拋光區(qū)域中凸光學元件的嵌入角度不斷增大,其壓力不斷減小,最終在磁流變拋光液與凸光學元件出口的位置,圖中所有線合為一點,即凸光學元件嵌入角度改變時其壓力不變。

圖8 凸光學元件嵌入角度在0.5°～3.5°的壓力分布曲線圖

5 結(jié) 論

本文依賴于Kahan方法對變拋光區(qū)域壓力場進行快速多因素耦合計算研光學元件幾何特性對磁流變液拋光區(qū)域壓力場影響機制的問題。該方法較為方便的處理多場耦合計算問題。主要結(jié)論如下:

(1)無論凸光學元件曲率、嵌入深度、嵌入角度怎么變化,磁流變拋光區(qū)域中磁流變拋光液進入凸光學元件的位移不斷增加,其壓力減小。

(2)基于嵌入深度10 mm為定值,凸光學元件曲率在50 mm至500 mm的變化下對磁流變拋光區(qū)域壓力的研究,當拋光區(qū)域中凸光學元件的曲率不斷增大,其壓力不斷增加；當拋光液進入凸光學元件的不同位移下,位移較小時壓力變化顯著,壓力隨曲率的增大而增加；當位移較大時壓力變化變化微小,特別是在磁流變拋光液與凸光學元件出口的位置,凸光學元件曲率越大壓力反而較小。

(3)基于曲率200 mm為定值,凸光學元件嵌入深度在0.3 mm至1.1 mm的變化下對磁流變拋光區(qū)域壓力的研究,當拋光區(qū)域中凸光學元件的嵌入深度不斷加大,其壓力不斷增加；當嵌入深度越小時,壓力的變化速率越小；當拋光液進入凸光學元件的不同位移下,隨嵌入深度的增大；當位移較小時壓力變化顯著,位移較大時壓力變化趨于零。

(4)基于曲率200 mm與嵌入深度1 mm為定值,凸光學元件嵌入角度在0.5°至3.5°的變化下對磁流變拋光區(qū)域壓力的研究,當拋光區(qū)域中磁流變拋光液進入凸光學元件前段時,磁流變拋光區(qū)域中凸光學元件的嵌入角度不斷增大,其壓力不斷增加；當磁流變拋光區(qū)域中磁流變拋光液進入凸光學元件后半段時,磁流變拋光區(qū)域中凸光學元件的嵌入角度不斷加大,其壓力不斷減小；當磁流變拋光液與凸光學元件出口的位置時,壓力變化為零。