逆向思維在中學數學幾何教學中的價值分析

胡小紅

摘 要：逆向思維和常規思維具有較大的差異性，它是突破定性思維、超越傳統理論的思維模式。在初中數學幾何教學中，合理應用逆向思維能夠打開新的教學領域，形成新的教學思維模式。在教學過程中，通過加強學生的逆向思維訓練和意識，不僅能使學生的思維能力更加活躍，還可以提高學生的創新意識。

關鍵詞：逆向思維;中學幾何;價值分析

【中圖分類號】G633.6? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】A? ? ? ? ? ? ?【文章編號】1005-8877（2022）03-0038-04

An Analysis of the Value of Reverse Thinking in the Teaching of Geometry of Mathematics in High Schools

HU Xiaohong? （Fucheng Junior High School， Kangle County， Linxia Prefecture， Gansu Province， China）

【Abstract】Reverse thinking and conventional thinking are quite different. It is a thinking mode that breaks through qualitative thinking and transcends traditional theories. In the teaching of mathematics and geometry in junior high schools， the rational application of reverse thinking can open up new teaching areas and form new teaching thinking modes. In the teaching process， by strengthening the students' reverse thinking training and awareness， not only can the students' thinking ability be more active， but also the students' sense of innovation can be improved.

【Keywords】Reverse thinking; High school geometry; Value analysis

初中數學是奠定學生數學基礎的重要階段，能夠使學生獲得較強的數學預算能力和思維邏輯能力，尤其是幾何教學，能夠有效提高學生的空間想象能力。在幾何教學過程中，需要合理應用逆向思維教學方式，有效培養學生的思維推理能力和分析能力。

1.利用逆向思維，進行幾何定義教學

在初中幾何教學中，會學習到大量的幾何定義，在幾何定義教學過程中時，可以應用逆向思維教學方式進行教學，以此來強化學生的逆向思維。比如，在對人教版初一數學七年級下冊《垂線》教學時，需要學生理解垂線、垂線段的概念，并會利用三角尺或者量角器過一點畫已知直線的垂線。垂線的定義為當兩條直線相交的四個角中，有一個角是直角時，那么這兩條直線是相互垂直的，其中一條直線是另外一條直線的垂線，兩條直線的相交點叫作垂足。而應用逆向思維也可以推理出，如果這兩條直線是相互垂直的，那么四個角都為直角。

如圖1所示，如果直線AB、CD在O點出相交，且∠AOD為直角，或者其他三個角任意一個角為直角，那么AB⊥CD;應用逆向思維推理，如果直線AB和CD互相垂直，垂足為O，那么四個角都為直角，即∠AOC=∠AOD=∠COB=∠BOD=90°，根據以上推理，利用幾何符號可以列出詳細運算步驟。

正向推理過程：

[∵∠AOD=90°]（已知）

[∴AB⊥CD]（垂直定義）

逆向推理過程：

[∵AB⊥CD]（已知）

[∴∠AOC=∠AOD=∠COB=∠BOD=90°]（垂直定義）

除了使用∠AOD論證垂直定義以外，還可以使用其他三個角的任意一角進行正向思維推理和逆向思維推理，通過學生反復練習推理，能夠使學生較為輕松的理解垂直定義，并且能夠靈活應用垂直定義。另外，在“余角”定義教學過程中，教師需要使學生從正向和逆向兩個方面充分理解并掌握定義。比如，從正向思維理解定義：如果α+β=90°，那么α和β互為余角;從逆向思維理解定義：如果α和β互為余角，那么α+β=90°。在“余角”教學過程中，需要教師詳細講解“互為余角”的含義，如α和[β]互為余角，那么α是[β]的余角，從逆向思維來說，[β]也是α的余角。另外，“互余”是以兩個角為基礎，既不是一個角，也不是兩個以上的角，而且兩個角之間不存在位置關系，只存在數量關系。因此，從逆向思維學習幾何定義，不僅能夠使學生較為深刻理解“余角”定義，還能使學生在幾何學習過程中靈活應用“余角”定義。

2.利用逆向思維，強化幾何證明教學

在人教版初中幾何教學過程中，幾何證明是較為重要的題型，由于年級的不同，幾何證明題的形式和難易程度也在一定范圍內存在差異性。在對七年級進行幾何證明教學時，教師需要將幾何定義的基本定理和應用作為教學重點，從難易程度上來說，相對比較簡單。在對八年級進行幾何證明教學時，題型難度明顯增強，而且知識面也更為寬廣，如在對三角形全等進行證明過程中，需要運用到較多的幾何定義，有可能應用到軸對稱基本定理，并對軸對稱定理進行鞏固得到更深一層的定理知識，也有可能應用到四邊形幾何基本定義，并對其進行拓展，從而得到相關線條是否相等，是否有倍分關系，或者相關角是否相等，是否有倍分關系。

在對九年級進行幾何證明教學時，知識重點和難易程度都得到了全面提升，需要將七年級和八年級的幾何知識進行有效整合，使學生全方面掌握幾何重點知識，并且能夠在練題過程中靈活應用。為了使學生更好地學習幾何證明，針對各個年級的學習情況，可以將逆向思維模式融入具體教學過程中。比如，如圖2所示，準備一張長方形紙片，將其四個角依次標注為A、B、C、D，將長方形沿AC線對折，此時△ACD會翻至△ACD’，而且AD’和BC相交于E點，對△AEC的形狀做出準確判斷，并列出詳細判斷步驟。

在判斷三角形具體形狀之前，需要充分了解三角形的基本知識，按照角的大小分類，可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形三種類型;按照邊關系的分類，可以分為等腰三角形和等邊三角形;將直角三角形和等腰三角形結合，可以得到等腰直角三角形。根據以上三角形的基本理論知識，可以對△AEC進行逆向思維假設論證，由于銳角三角形和鈍角三角形沒有特殊性，因此，可以將直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形或者等邊三角形進行主要逆向思維證明。如果將△AEC看作等腰三角形，根據等腰三角形的基本定理只需證明∠EAC=∠ECA。由于△ACD’是由△ACD翻折得來，兩個三角形的形狀、大小具有一致性，因此∠DAC=∠EAC;同時，根據長方形ABCD的基本定義可知對邊平行，所以AD∥BC，也可得出∠DAC=∠ACE，此時可知，∠EAC=∠ACE，根據等腰三角形的基本定義可知△AEC為等腰三角形。如果將△AEC看作直角等腰三角形，∠AEC是∠ABE和∠BAE之和，而∠ABE=90°，可知∠AEC≠90°，因此，△AEC不可能是等腰直角三角形。另外，通過以上條件也可以得出，△AEC也不可能是等邊三角形。通過逆向思維分析，可以得出正確的幾何證明解題思路，按照思路列出詳細步驟，因此，也可得出正確的證明解題過程。詳細證明過程如下：

證明：∵長方形ACDE的對邊AD∥BC

∴∠DAC=∠ECA

∵△ACD=△ACD’

∴∠DAC=∠EAC

∴∠ECA=∠EAC

∴△AEC為等腰三角形

在證明過程中，需要列出重要的證明步驟，不需列出逆向思維思考步驟。但是教師通過逆向思維進行幾何證明教學，能使學生快速找到解題思路，從而強化學生的幾何證明練習。

3.利用逆向思維，正確引導學生思考

在初中幾何教學過程中，教師可以利用逆向思維引導學生進行幾何知識總結，從而使學生發現幾何知識的互逆性。比如，在人教版七年級下冊“平行線”教學過程中，課本上平行線的定義為永遠不會相交的兩條直線可稱為平行線。如果教師只是將平行線的定義講述給學生聽，學生無法深刻理解平行線定義，也無法在腦海中形成較為直觀的理解畫面。教師利用逆向思維進行平行線教學，讓學生思考平面內直線的位置關系都有哪些，在思考的過程中，不僅能夠鍛煉學生的思維能力，使之更加活躍，還能提高學生的學習興趣。另外，教師還可以鼓勵學生到講臺上對思考結果進行講述，并在黑板上將自己思考的平面內直線的位置關系畫出來。學生對所畫的直線進行觀察，有些直線是會相交于某點，有些直線則是不會相交，通過逆向思維教學使直觀的畫面呈現在黑板上，可以使學生更深刻地理解平行線概念。學生在學習平行線幾何知識的過程中，無法有效區分平行線的判定和性質，教師需要將平行線的判定和性質作為重點教學內容，使學生充分理解判定定理和性質定理，并對其進行充分比較。在對判定定理和性質定理進行比較的過程中，不難發現兩者存在互逆性，即判定定理的條件是性質定理的結論，而判定定理的結論是性質定理的條件，條件和結論有著相反關系，從而學生可以從本質上理解判定定理和性質定理。比如，從角的大小關系得到兩條直線平行的結論，是平行線的判定;從逆向思維考慮，從兩條直線平行得到角存在相等或者互補關系，是平行線的性質，如圖3所示。

可得出平行線的判定：如果[∠1=∠2]那么[AB∥CD];如果[∠2=∠3]，那么[AB∥CD];如果[∠2+∠4=180°]，那么[AB∥CD];也可得出平行線的性質：如果[AB∥CD]，那么[∠1=∠2=∠3];如果[AB∥CD]，那么[∠2+∠4=180°]。

4.利用逆向思維，加強幾何反面例題訓練

教師在應用逆向思維進行幾何教學過程中，不僅需要利用正面例題進行幾何教學，還需要利用反面例題進行幾何教學，并使正反例題教學進行有效整合，形成獨具特色的幾何教學模式。傳統的教學模式通常是應用正面例題教學模式，這種教學模式較為枯燥，有可能降低學生對幾何知識的學習興趣，而應用反面例題的逆向思維教學模式，不僅能不斷培養學生的思考力，有效激發學生對幾何知識的學習興趣，還能使學生更為深刻地理解幾何知識，并在數學學習中靈活運用。比如，在人教版七年級數學“對頂角”教學過程中，可以對學生加強思維訓練，反復進行幾何反面例題訓練，讓學生深刻理解對頂角的含義。如圖4所示：如何判斷∠1和∠2是對頂角？

在幾何學中，對頂角是兩個角之間的一種位置關系。兩條直線相交時會產生一個交點，并產生以這個交點為頂點的四個角，稱其中不相鄰的兩個角互為對頂角?；蛘哒f，其中的一個角是另一個的對頂角。通過逆向思維可得出，只有圖4（5）的∠1和∠2是對頂角，兩個角是兩條直線相交而構成的角，同時有共同的定點，沒有共同邊。又比如，在平行線性質定理進行教學時，教師會對同位角進行講解，如果兩直線平行，那么同位角相等。而學生在幾何學習過程中，經常會忽略已知條件，認為只要兩個角存在同位角的關系，那么這兩個角就是相等的。教師可以通過反問的形式對學生進行提問，如果兩個角是同位角關系，那么兩個角的大小是否相等？部分學生會回答相等，部分學生會回答需要根據情況而定。教師可以在黑板上畫出圖形（見圖5），兩條直線AB、CD被直線EF所截，圖上的∠1和∠2是否存在同位角關系，直線AB和CD是否存在平行關系？

學生觀察圖形可以得出，兩個角是同位角，但是直線AB和CD不存在平行關系，因此，∠1≠∠2。通過反面例題可知，同位角相對是平行線特有的性質，但不是所有同位角都具有相等的關系，只有在兩條直線存在平行關系的條件下，同位角才具有相等的特性。

5.利用逆向思維，強化正反邏輯推理

教師在應用逆向思維進行幾何教學過程中，需要有效培養學生的發散性思維能力，可以將正反邏輯推理的教學方法融入日常教學過程中，使逆向思維和正反邏輯推理能夠形成相輔相承的特色幾何教學模式，從而有效提高幾何教學效率。比如，在人教版幾何教學過程中，需要論證一個三角形中至少有一個角是小于或者等于60°，教師可以通過正反邏輯推理的方式進行論證，假設這個三角形的三個角都大于60°，論證這個三角形是否存在。而根據三角形的基本定理可知，三角形的三個內角之和為180°，如果三個角都大于60°，那么之和也大于180°，與三角形的基本定理相違背，因此，可得出這個三角形不存在。通過逆向思維和正反邏輯推理結合，可得出一個三角形中只有一個角是小于或者等于60°的結論是正確的。

6.結語

綜上所述，逆向思維教學模式是初中幾何教學的重要教學部分，通過逆向思維教學，可以有效提高學生的學習興趣，使學生開動腦筋，培養學生的思考能力和發散思維能力，從而使學生得到全面發展。

參考文獻

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