數學論文寫作指導的教學心得

許釗泉

（暨南大學數學系，廣東 廣州)

眾所周知，數學一門重要的基礎學科，與其他學科不同的是，其有著更強的邏輯性，而數學論文的寫作一方面既要有新成果，另一方面又要能精確地把數學的研究成果轉化成文字，進而撰寫成文發表。這些對于剛接觸數學論文寫作的學生來說，特別是平時缺乏數學寫作訓練的學生來說，都不是容易的事。由于目前國內大部分高等院校考試都偏重于記憶，局限于書本知識的一般理解，導致對學生掌握理解知識的深度和實際運用能力難以全面理解。部分學生在學習教材時往往把重點放在內容理解和記憶上，而對書本章節內容的寫作技巧關注不夠，也沒思考這樣書寫的合理性以及改進的可能性，甚至有些學生平時在學習專業知識時死記硬背，缺少動手動筆和實際操作練習，課堂上也很少做筆記和讀書札記，對寫作知識了解不多，也很少進行寫作訓練，甚至對論文的基本格式都不甚了解。因而，很多學生在論文寫作上感到力不從心，在課題的選擇，設計，結果的推理陳述，論文的撰寫與修改等過程中總會犯一些錯誤。數學論文寫作有其自身的規律和技巧，要達到專業的水平需要長期的訓練。對于初步接觸研究工作的數學專業的學生，在大學階段學過很多數學專業課程，但往往把重心放在內容的理解上，而沒有重視內容的書寫結構和安排，這主要體現在閱讀教材時，只是為了力求理解和掌握課本知識，而沒有留意觀察和學習每一定理、引理、例題是怎么書寫證明的。這樣導致大部分學生在做題時，心里面大概知道用什么知識解題，但就是不能把解題步驟精確地敘述出來。由于大學期間缺少系統的數學寫作訓練，很多剛接觸數學論文寫作的研究生對論文寫作的基本要領不甚了解。此外，大部分學生平時很少閱讀英文數學論文，對數學專業英語不熟悉，專業詞匯量不夠[2]。由于專業英語詞匯缺乏，學生在運用專業英語組織語言時感到非常困難，往往在描述科學問題時用詞不夠精確，甚至詞不達意。同時學生對一些數學專業英語特有的語法不熟悉，也導致寫作思路不夠清晰，條理混亂，語句表達不夠流暢。其實很多學生感覺數學論文難寫，都是因為對于論文不夠了解，對論文的寫作方法、論文結構缺乏認識，以及專業英語水平低下。

基于上述考慮，本文將談談筆者近年來在《數學論文寫作與指導》教學上的一些心得體會。希望對學生如何有效查找文獻、確立課題，如何精確地書寫科研論文的各個部分，包括論文的標題、摘要、主體部分，以及討論總結起到一些指示性作用，從而少走彎路，提高數學論文的寫作能力。

一 確立課題

對于初步接觸數學寫作的學生來說，尋找課題的靈感從何而來？通常確立研究課題，首先要查找相關文獻，可以通過網絡搜尋（資料庫、搜索引擎）、通過實體空間（圖書館、書店、檔案室等）查找、請教相關專家等方法途徑；也可以聽相關課程或演講、閱讀圖書館內近期的重要期刊論文、查詢論文后面的參考書目、看參考論文后面的未來研究建議，或者與同學及老師討論。總的來說，確立研究課題，首先需要了解在某方面的研究，別人發表了什么觀點，這就是說，需要站在當前研究領域的最前沿，對當前的研究進展和成果非常熟悉。這就要求學生學會通過各種途徑搜索文獻資料，只有熟悉掌握搜索資料，才能準確了解當前的研究現狀，進而確立研究課題。既然是研究論文，那么選題范圍就不要太大了，太大太寬泛的論文一個是容易落入俗套，另外就是如果沒有深入研究的話，不容易闡述得清晰透徹，給人言之無物的感覺，不如選小一點的課題深入地說明，這樣效果會更好。數學研究作為一項基礎性研究，應反映作者本人所提供的新的事實，新的方法，新的見解。論文選題不新穎，實驗沒有新發現，即使有高超寫作技巧，也不可能妙筆生花，寫出新東西來吸引讀者[1]。因此，研究課題內容切忌低水平重復，如受試對象，處理因素，觀測指標，結果與前人雷同，這樣毫無新意的論文是很難發表的。課題選擇得太難可能做不出來，選得太小太簡單，學術價值不大或達不到發表的要求。因此，所選課題要合適，這樣才可以通過不懈努力在一段時間內獲得有價值的新成果。對于你所選擇的課題你要有自己獨特的見解，與眾不同的見解是你論文的核心和亮點，如果沒有這些那么這篇論文的質量無疑是值得質疑的，很難引起讀者的注意和評審的好感。總的來說選題應立足于：（1）創新性，即選題應是國內外還沒有人研究過或是沒有充分研究過的問題。(2)科學性，即選題應有最基本的科學事實作依據。(3)可行性，即選題應充分考慮從事研究的主客觀條件，研究方案切實可行。

二 論文寫作

數學論文寫作已形成一種相對固定的論文格式，大體上由題目，一般不超過20字；摘要(應用的方法，得到的結果，具有意義等)；索引關鍵詞；引言；研究方法，討論，結果等部分組成。這種規范化的結構程序有利于數學成果的宣傳和推廣。一篇數學論文就是一個創作。在論文成稿之前，最初的工作是確定研究標題，以及如何解決問題，這是發現問題、解決問題的范疇。那么在問題解決之后如何精確呈現研究成果，做到清晰并正確地敘述研究成果，這是論文寫作問題。寫好數學論文基本是首先作者要思路清晰，對自己的研究課題，實驗結果和它的意義，有清楚的了解。下面談談數學論文的題目、摘要和關鍵詞；論文正文和參考文獻這三部分寫作的一些基本要領和技巧。

（一） 題目、摘要和關鍵詞

題目就是一篇文章的標題，是文章最重要的一句話，它須簡要地表達出文章的內容。一個新穎的題目可以給人耳目一新的感覺，而且容易給讀者留下深刻的印象，因此在題目的選擇和設定上要多花些心思。總的來說，論文題目須抓住整篇論文的精髓，不能過度推廣，也不能太狹隘，盡量準確地反映出論文的研究主題。另外要設想別人透過網絡查詢論文題目時，可以在你的題目里找到關鍵字。其次，題目盡量做到簡潔，其長短要適中，用詞要簡明、準確。當然，也要避免過分籠統或嘩眾取寵的所謂簡潔，缺乏可檢索性，以至于名實不符或無法反映出每篇文章應有的特色。

摘要相當于論文的簡本，濃縮了論文最重要的部分，能讓審稿人和讀者在不讀全文的情況下了解作者的科研成果，來判斷是否有必要閱讀全文。因此，摘要要反映出論文的主要內容，包括課題背景，要解決的問題和主要結論。一篇論文的摘要書寫須包含對論文的主要結果與方法準確的概述，也要包括對研究結果意義等進行簡要描述。摘要應該以直接客觀的文字敘述為主，盡量避免出現復雜的公式以及敏感的注釋和評論。此外，摘要一般不必要寫太長，控制在100-200詞為宜，力求簡潔明了，言簡意賅。

關鍵詞是表征論文信息的詞匯。對于日后閱讀你的論文的讀者，大部分是具有明確的目的性，如為了跟蹤研究領域科研動向，或者為了查新，或為了尋找自己所需的研究方法和成果。因此為了便于讀者從浩如煙海的書刊中尋找文獻，特別是適應計算機自動檢索的需要，應在書寫摘要后給出3-5個關鍵詞。關鍵詞一般選能反映文獻特征內容，通用性比較強的關鍵詞。

（二） 正文

論文正文是整篇論文的主體，這部分主要陳述論文的研究背景、研究動機，研究結果及其證明。論文的主體框架通常由引言介紹，預備知識，主要結果證明，討論總結構成。

1.引言。前言的目的是向讀者說明本研究的龍去脈，吸引讀者對本篇論產生興趣。 在寫前言之前首先應明確幾個基本問題：你想通過引言說明什么問題？有哪些新的發現，是否有學術價值？一般讀者讀了前言以后，可清楚地知道作者為什么選擇該題目進行研究。 因此，引言的寫作非常關鍵，需要介紹整個研究的背景，讓讀者有興趣繼續閱讀下去，做到給讀者一個印象：這是一篇有趣、有意義和有新意的論文。引言應該包括以下幾個方面：①簡潔地陳述論文的研究背景、研究動機，以及研究課題的重要性，即其理論價值和現實意義；②介紹有關的歷史背景、研究進展和現狀，包括研究現狀，即別人已經研究到怎樣的地步，相關研究已經解決了哪些問題，有哪些已知方法和結果，從而加以評析，并引出你將要研究的問題。③描述論文所獲得的主要結果，并陳述這些結果是通過利用或發展什么方法用到的，進一步以及所得主要結果的價值和用途； ④簡述論文內容安排和中心思想，即每一節要研究和解決什么問題，解決這些問題需要用到什么思想方法。此外，引言必須要有自己的觀點，要對現有結果進行評析，從而突出自己研究課題的必要性。

2.預備知識。預備知識主要敘述一些在主要結果證明用到的定義、命題、引理等。預備知識的大概由兩部分內容構成：一部分內容是參考了前人公開發表的結果，通常以引理或定理的形式直接給出，省略詳細證明（有時為了理論的系統性，也可以給出證明，或者給出一個新的證明）。對這部分內容需要注意的是，對所引用的每個結果（引理、定理或定義等）都應該注明出處。另一部分內容是建立若干新的結論，一般是以引理或命題的形式寫出來，并給出詳細證明。在列出主要結果之前，先羅列或證明一些引理，這樣便于后面引用，顯得依據充分，條理清楚，其中個別引理還可能將來在他文中用到。

3.主要結果與證明。主要結果及其證明部分是整個論文最核心的部分。是體現當前研究新穎性和重要意義的地方，從中應能體現論文對當前研究領域的貢獻。因此在寫作伊始，就應該盡可能清楚地知道如何呈現你的研究成果。數學是一門以邏輯推理為主的學科，因此對結果的論述要有很好的系統性，從前到后一步步進行推理，每一步都有依有據，這樣的論文即使在文采方面并不出眾，也是容易因其邏輯性和系統性而成為一篇好的論文的。因為數學是一門以邏輯推理為主的學科，因此文章的論述要有很好的系統性，從前到后一步步進行推理，這樣的論文即使在文采方面并不出眾，也是容易因其邏輯性和系統性而成為一篇好的論文的。除了結果的呈現外，應進行分析證明，說清楚研究結果和既有理論的關系。通常主要結果應該以定理的形式出現，其證明一般是給出定理之后就給出，也有論文的個別定理的證明放在定理之前或放在論文末尾作為補充給出。一篇論文的主要結果可以以一個定理給出，也可以分多個定理給出。在證明定理結論時，務必要做到思路清晰，推導嚴謹。如果有必要，數學論文中對于自己要闡述的問題可以通過插圖、列表展示，但務必求排版合理。在敘述定理的證明時，要講清楚每一步的根據是什么，是定義，還是公理和定理，決不能含糊，更不能想當然[3-4]。論文成稿之后還需要按照三個基本原則①結構合理、條理清楚；②推導無誤、論證嚴密；③敘述嚴謹、語句通順，進行反復修改。事實上，人的認識不是一次完成的，很難一次就達到完善恰當的程度。仔細檢查，反復修改，總會發現還有不恰當、不完善之處，大致問題是否提得鮮明中肯，論點和事例有無說服力，結構層次是否嚴謹，小至文字的修飾加工，有無廢話，語言是否準確、鮮明、生動等等。經過檢查，總會發現尚需修改的地方，發現很多在提綱中看不出的毛病和原先估計不到的問題。因此，寫成初稿后反復審查和修改，是十分必要的。做到每一部分內容都層次清晰、條理清楚、表述準確、語義連貫、銜接自然。文章涉及的公式的編排要整齊美觀，其中出現的較復雜的表達式可以引入新的記號來代替，從而簡化式子。此外， 段落之間的安排、語句邏輯順序以及標點符號的使用等都要仔細琢磨檢查。每一步的推導都要反復檢查驗算，直至確信正確無誤[5-6]。

4.討論總結。在主要結果與證明之后，可以對論文的研究內容及結果進行一個討論總結。討論部分將進一步向讀者展示論文研究的創新性和意義。需要指出的是，討論總結不是科技論文的必要組成部分。其主要是回答“研究出什么”它應該以正文獲得的結果、數據和闡述分析作為依據，討論所獲得的結果對課題研究的進一步認識和意義，當然也要說明結論的局限性。要注意，總結并不是把論文各章節中的結果又重復說一遍，而是將論文的研究結果再進一步理論化。可以強調說明研究結果的建立的主要依據是什么，用的關鍵技術條件是什么，當這些條件放寬時，這些結果是否還成立。也可以討論當前的研究課題做完了，進一步規劃未來研究的方向和意義是什么。一般來說，討論總結包含：一是由研究對象進行考察或實驗得到的結果所揭示的原理及其普遍性；二是研究中有無發現當前研究的局限性或本論文尚未解釋和解決的問題；三是與其他研究結果的異同；四是本論文在理論上與應用上的意義與價值；五是對進一步深入研究本課題的展望和建議。

三 參考文獻

論文最后就是附上研究相關的文獻。參考文獻的表明除了要按照規定的格式之外，還要注意其嚴謹性，不要出現錯誤，報刊雜志等參考文獻要詳細到哪一期，甚至要求標注哪一頁，這些都要實事求是地標注，這是做學問起碼的要求和素質。參考文獻的用意在于當讀者對于作者引用的文獻有興趣的時候，可以據以找到全文來閱讀，以了解此引文的脈絡。要注意的是所列的參考文獻務必與你的研究論文有關系，比如，你引用了某文獻的結論，你推廣了某文獻的結果，你的研究思想源自某文獻等等。確保所列的參考文獻在正文都有引用，與正文中所引用的文獻準確對應，做到每一個正文引用的文獻都可以在參考書目中找到，同時每一條參考書目也都對應到正文中引用的文獻。參考書目的標注格式，一般應遵循所投雜志的要求。