借助函數思想 指導初中數學解題研究

張海濤

(中國礦業大學附屬中學 221116)

隨著知識要素在社會發展中的日益滲透，教育更加關注對于學生綜合能力和素質的提升.初中數學是學生后期學習知識的重要基礎和工具，然而初中數學涉及的方法和知識點較多，單純的理論學習和知識點的硬性記憶很難滿足學生后期對于數學解題思維的培養，要通過思維方面的訓練來強化其解題思維、解題邏輯，相關人員應該對此給予足夠重視.

1 函數思想的相關含義介紹

1.1 函數思想

眾所周知，函數是對一種映射關系的反映，其通過相應的符號表示物之間的基本數量特征關系以及制約因素.在初中整個三年的數學學習之中，函數思想始終與各個知識模塊存在著較大的互動和緊密聯系，將諸多獨立的知識模塊進行系統的串聯，從而形成系統性的知識網絡.

1.2 借助函數思想指導初中數學解題的含義

應用函數思想來對問題進行解決的主要含義在于運用函數的性質理論來解決函數問題，通過動點和變化的角度對問題之間的數量關系進行分析和研究，實現對問題的有效解決.整體而言，函數的思想方法就是能夠綜合運動和變化的觀點，運用集合和對應的關系分析問題，并通過類比、聯想和轉化等多種方式來構造函數，這樣就能夠充分地運用函數的圖像和相關性質，獲得對問題的有效解決辦法.

1.3 在初中階段的主要數學思想

在初中階段的教學中，通過函數思想解決問題，強調的是不僅要用其來解決函數問題，也可以通過構建函數關系式的方法來解決非函數的問題，這是函數思想的核心要素和價值所在.例如：中學的數學中，涉及到代數式、方程、數列、不等式等問題都可以將其中介入的函數思想一一表現，由此可見，函數思想的應用范圍非常廣泛.

2 應用函數思想解決初中數學問題探究的重要意義

從以上的闡述之中，我們能夠意識到函數思想不僅能夠有助于對相關數學知識體系的建立，也有助于對于學生解題問題能力的提升，對整體的學習目標的實現具有重要意義.同時，函數思想能夠體現在以下幾方面的顯著價值意義：

2.1 函數思想方法符合新的教學理念

在實際的初中教學過程當中，越來越強調教學理念與教學實踐方法的充分融合，注重對于學生思維和素質能力的培養，不再僅僅局限于對于知識的簡單認識.因此，將函數思想運用到初中數學的解題過程當中，是符合新的形勢需要，也符合課程改革和課程理念的深化.因此，其可以為相關教學工作的開展提供更多的視角.

2.2 進一步激發學生的學習興趣.

在傳統的教學過程當中，僅僅是針對于不同的模塊而采取單獨的教學方法，很容易讓學生忽略知識之間的聯系，而且長此以往，學生也很容易覺得知識比較枯燥.然而，通過函數思想方法的運用，能夠讓學生在另一角度認識到數學知識當中存在的巧妙聯系，而且用不同的方法來對于同一問題進行解決的過程當中，能夠發現更多的樂趣和奇妙之處，將活力元素滲透到課堂氛圍之中，促使學生在數學知識的學習中產生更多的積極熱情.

2.3 強化學生的邏輯思維和綜合能力

將函數思想方法運用到解題過程當中，能夠讓學生加強其自身的自主探究能力，認識和體認學習過程當中存在的發展空間，而且在分析問題時也能夠更加深入強化自身的邏輯能力，實現對于問題良好的分析歸納和總結，這對于其后期學習能力和生活能力的提升都具有重要的價值和作用.

3 在初中數學中函數思想對于問題解決的工具要素

3.1 函數的定義域、值域思想

在函數的學習中，常常會涉及到“給定定義域，求函數值的取值范圍”的問題.對于這種類型，我們首先需要對于題目進行分析，通常題目會指定函數的定義域作為設定條件，然后讓我們通過函數解析式的代入、分析和計算來考量自變量的取值范圍，在分析完題目之后，我們可以根據題目的設立，來對問題進行相關討論，實際上我們可以分段討論，假設對任何一段數值都是有意義的，然后對此前提進行分類討論，即當其處于什么階段時，滿足哪些要求.當處于另一條件判斷時，又滿足哪些要求，從而對于以上結果進行總結.從給定的定義域內容進行取值，通過函數關系進行數值的演變，從而能夠對函數的取值范圍進行最終的整合.

3.2 要充分利用函數當中的單調性思想

在函數學習過程當中，單調性是后期集結實際的函數問題以及將后期其他問題進行轉化的重要工具，尤其是對于求值范圍的確定是非常有效的.例如，在研究二次函數時要充分結合二次函數圖像的開口方向和對稱軸以及給定區間相應的關鍵要素和前提，對相關的知識進行總結，充分認識到對稱軸和端點這些關鍵點對于數值確定的價值作用，從而在解題的過程當中，精準鎖定相關取值范圍.當然，還可以用函數的單調性來解決冪函數等相應問題，對問題進行精準的探討.

3.3 掌握函數的奇偶性性質

當函數是偶函數時，可以結合其對稱的性質，準確找到其對稱軸，從而將題干所給的信息進行相關知識的轉換，然后再結合圖像在實際的方向位置，進行平移，從而得出相應的對稱軸.當然，還可以從反面來進行分析，當其為偶函數時，推證其對稱軸有什么特征，以及其對稱軸兩面的數值有哪些特征，從而進一步推理，為整個邏輯推理的數學思想的轉換奠定基礎.

3.4 掌握函數的周期性的思想

在實際的解題過程當中，可以發現，當函數為周期函數時，需要對于函數的周期性進行分析，從而在探索的過程當中，加深學生對函數性質的深入學習，為后期問題的分析和解決提供思路.

3.5 利用函數圖像來解決問題的思想

函數的圖像能夠憑借其較強的具象化的特征，使問題變得更加明朗.例如，在給定條件當中設定某些條件，然后再對于實數的取值范圍進行求解，將該問題進行化簡，具體而言，根據題干條件，然后由誰能得到誰不斷地進行推理，并且結合相應的區間和其取值范圍、單調關系來做出相應的圖像，這樣能夠進一步分析其整體的變化關系，從而有助于學生有針對性地實現對于問題的解決.

4 借助函數思想轉換數學問題的案例分析

4.1 運用函數思想解決方程問題

函數和方程是初中數學中尤為關鍵的兩個模塊知識，二者之中存在著較為密切的聯系和關系架構.從某種程度來說，方程與函數呈現的是局部和整體的關系，因此，在遇到方程問題時，就可以及時聯想到函數的思想方法.例如：在解方程時，如果不確定答案是否唯一時，就可以將方程轉換，充分利用函數的單調性知識，對方程解的個數實現初步的探索.

4.2 運用函數思想解決不等式問題

函數是反映變量之間關系的，利用此關系可以對不等式問題給予進一步的探析，即運用函數思想來對不等式問題進行有效解決.例如：在銳角三角形ABC中，求證：sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.通常在面對此問題時，常規的思路是通過比較復雜的三角式變形的方式來對該不等式加以證明，但是這種途徑的復雜程度以及準確性都值得商榷，然而，如果我們能夠利用三角形的函數關系加以分析，就可以很快得到答案.因為，A、B、C在銳角三角形中，所以三個角都是小于90度的，并可以結合正弦函數的周期單調性進行驗證，進而可得sinC>cosA，sinA>cosB，sinB>cosC，從而左右各自相加，可以得到最終的結論.

4.3 運用函數思想解決數列問題

數列從定義的角度來看，是一種建立在一定正整數集的子集范圍內的特殊函數，因此可利用函數思想分析數列問題.函數思想介入，可以實現對數列的概念、通項、等差數列、等比數列的單調性和最值問題深入的理解，有效實現對問題的解決.例如：在等差數列{an}中，公差d的幾何意義可以從數列在坐標平面中的映射關系進行理解，其就是等差數列各點所在直線的斜率.

綜上所述，可以發現，初中數學學習中函數思想尤為關鍵，其不僅能夠幫助學生直觀解決函數的基本問題，同時也有助于對函數思想進行更好地理解，在其他題目當中進行廣泛的聯系與能力的遷移，進一步為問題的解決找到更為合理的流程和路徑.當然，在結合的過程當中要充分識別這些函數思想的重要解題思路和思想要素，這樣在解題的過程當中才能夠將這些關鍵的函數特征和價值工具進行有效的遷移，從而在一定程度上為整個初中數學教學質量的提升創造更多有利的條件.