數學深度學習能力培養例談

梁宏暉（福建省莆田第五中學）

高三數學復習課最重要的環節就是提倡深度學習，讓學生達到“溫故知新”的目的。尤其是高三數學第二輪復習課，不能把解題、析題當作課堂的唯一目標，應該教會學生從“解題”到“解決問題”。通過精選例題的評析，讓學生能夠舉一反三，掌握科學的解題方法。以高三“恒成立不等式中參數范圍的確定”為例，在本節課上課之前，筆者通過微課中的典型例題的解決，幫助學生一起回顧總結恒成立不等式中含參數類型例題解決，恒成立不等式中參數范圍確定的通法，引發學生深度學習，積極探究。

一、案例概述

（一）教材分析

含參數的不等式恒成立問題將函數、導數、不等式有機地串聯，涉及到函數、圖象、性質，滲透著函數與方程、化歸與轉化、數形結合、分類討論等思想方法，綜合應用性強，屬于難度題。

（二）學情分析

本節課內容學生在高一時已經有不同層面的接觸學習，學生對于內容有所了解，但對含參不等式恒成立的系統知識的掌握還處于零散狀態，因此，有必要提高學生對該節課知識更深層次的認識。

（三）設計思想

本節課的設計思想是通過設置數學學習情景，在知識形成與發展過程中逐步培養學生數學地思考問題，有創造性去感悟問題本源，捕獲事件的內在聯系，從而提升綜合應用能力。教學內容由淺入深，層層遞進完成教學目標。

（四）教學目標

1.理解恒成立問題的本質，探究含參變量的不等式在某范圍內恒成立問題，會將問題的形式進行轉化。

2.熟悉掌握常見的含參數的不等式恒成立問題的求解方法。

二、教學過程

（一）觀看微課視頻，激發學習興趣

例：已知函數f(x)=x3+ax2+x+1，x∈R，設函數在區間內是減函數，求a的取值范圍。

設計意圖：微課視頻展示了四種解法，意在讓學生掌握利用導數判斷函數單調性的基礎上，拓寬思路，在一題多解中引導學生在研究的狀態下深度學習，掌握含參不等式問題處理的通性、通法，構建知識的網絡系統，將數學思想滲透到對問題的理解與解決中去，培養學生的邏輯推理、直觀想象和數學運算能力。

（二）學生暢談體會，促進深度思考

設計意圖：葉瀾教授提出，只有把“人”的發展置于課堂中心的提問，才會為學生的成長提供空間。本節課讓學生暢談觀看微課視頻自主復習后的體會，讓學生明白，只有深度思考，才能清晰表達自己。

生1：導函數是二次函數，利用二次函數圖象數形結合，容易發現只要兩個端點值小于等于零，即可求出解。但在處理此類問題時，兩個端點的值能否取到零比較容易產生錯誤。

生2：這幾種解法各有千秋，但都要用到結論：

若y=f(x)在(a，b)上是減函數，則f’(x)≥0這個性質，求變量取值范圍f’(x)≥0中“＝”不可少，填空題中要是少“＝”就整題不得分了。

生3：對恒成立不等式中參數范圍確定，分常數是通法。把變量分到不等兩邊，構造函數，然后求出該函數的最值，解法簡潔易懂，但會遇到一些函數求最值較難，可能要用到二階求導。

生4：解法3比較不容易想到，平常解題時遇到解一元二次不等式，若沒辦法因式分解，一般不去考慮用求根公式解。用集合包含法解很直觀，對運算能力有一定要求，求解時要關注“△＞0”這個隱含條件。

生5：用數形結合處理這個解法很巧妙，變量有范圍限制，可以在臨界位置考慮兩個圖象的關系，再轉移到考慮其他范圍，得出結果。

師：同學們發表了很好見解，說明在自主復習時充分開展了深度學習與思考。該題的四種解法都很有代表性，可以幫助我們提高解題能力，鞏固高考高頻知識點的應用。同學們要加強知識與方法之間的類比，不斷提升用數學的能力。

（三）抓住關鍵講解，規范解題模式

例1：當x∈-∞( ,]1時，不等式（a－a2）4x+2x+1＞0恒成立，求實數a的取值范圍。

設計意圖：例題先由學生簡單闡明思路后由教師完整講解。分離常數法是常用的一種數學方法，教師講解不僅關注例題本身解答，而且注重引導學生關注數學思想方法的滲透，總結出分離常數解題的一般步驟，提升學生綜合應用的能力。

生6：原題中4x是2x的平方，可以用換元法，令2x＝t（0＜t≤2）構造函數g（t）=（a－a2）t2+t+1（0＜t≤2）

問題轉化為討論g（x）＞0在（0，2]上恒成立，對t2的系數a－a2分三種情況進行討論，根據二次函數的特征，推導得出結論。

師：該同學用到函數與方程的思想，利用換元法，構造二次函數，由“三個二次”轉化，由二次函數圖象在（0，2]上的特點，可以得出最后結論。但這種方法要分類討論，不僅要對二次函數的開口方向進行討論，還要關注對稱軸變化，解題過程相對繁雜。同學們繼續發表見解，探究其他方法。

生7：是否可以把2x與a這兩個變量，分到不等式兩邊要研討？

師：分析題干發現4x與2x之間的關聯，因為4x＞0，所以不等式兩邊可以同時除以4x，得到，欲求a的取值范圍，分離參數得到，問題轉化為求的最大值。

本題首先要學會觀察問題，發現變量之間可以相互轉化，巧妙地將問題轉化為求函數的最大值問題，考查了函數單調性定義、冪的指數運算、一元二次不等式求解等知識點，滲透了函數與方程思想，轉化與化歸思想。

解題的主要方法是分離參數法，是一道較為典型的例題。

（四）展示學習成果，引發深度研討

例2（2008年江蘇高考）：設函數f（x）=ax3－3x+1，x∈R，若對于任意x∈[－1，1]，都有f（x） ≥0成立，求實數a的值。

設計意圖：抽取兩名學生將自己練習成果展示在投影臺上，并充當“小老師”講解，用高考真題來檢測學生“學以致用”的成果。對于分類討論問題如何把控，區別“不重復，不遺漏”，對于分類依據要清楚，讓學生學會更全面分析問題和解決問題。

生8：由已知，只要求出f（x）在[－1，1]上最小值，且最小值大于等于零即可，由f’（x）=3ax2－3易知可以分為“a≤0與a＞0兩種情況。當a＞0時，因為x有范圍限制，比較極值點與端點值大小，又將a＞0分為a≥1與0＜a＜1兩種情況進行討論，分別求出最小值，即可得a的取值范圍。

生9：從觀看微課視頻中典型例題解法知道，用分離常數法，處理較為直觀。分三種情況：

①當x=0時，f（x）=1≥0成立，故a∈R。

②當0＜x≤1時，由f（x）=ax3－3x+1≥0可得構造函數問題轉化為求g（x）在x∈（0，1]上的最大值。

③當－1≤x＜0時，同理可求得g（x）的最大值。

師：本題為2008年江蘇高考題，側重考查利用導數判斷函數單調性的結論。要求熟練掌握函數求導法則。若a≥f（x），（x∈[a，b]）恒成立則a≥[f（x）]max （x∈[a，b]）該題要求能熟練運用分類討論，轉化與化歸的數學思想，構造函數是函數、導數與不等式的一個難點，如何巧妙恰到好處地引入新函數，是一個難點，要求同學們能充分挖掘題目內在的聯系，在宏觀上把控好正確解題方向，對鞏固復習該專題有很大幫助。

三、教學反思

（一）堅持課標為本，注重方向引領

新修訂《高中數學課程標準》提出的高中數學課程基本理念和課程目標，規定了高中數學教學內容與要求，是高中數學教學與評價的重要依據。高三教師每一節的數學復習課，都要依據新課標，制定貼近學生“最近發展區域”的主題。課堂教學要圍繞主題目標，開展有趣的數學探究活動。

（二）堅持微課導學，激發學習興趣

教育家陶行知認為“人生應該讀幾本墊底的書”。數學學習不僅僅是在題海中遨游，更要引導學生學會閱讀，包括對數學教材、與數學有關的科普知識、數學文化及相關的專業書籍的閱讀。有些內容可以通過微課讓學生領會掌握，學生自己深入學習后，完成導學案進行檢測，是非常好的一種途徑。學生用微課學到方法，在應用中遇到問題，帶著問題進課堂，在問題解決中又會產生新的問題，不斷反思、探究，從而將學習推向深入。

（三）堅持以學生為本，注重學習指導

高三數學復習要充分考慮學生的認知規律，課堂教學目標設計要以學生為主體。問題設計要精準突破學生學習中的難點，提升學習效率。同時，精心預設高中數學課堂問題，通過情景設置引導學生思考。

（四）堅持雙向反饋，共同促進提升

在高三課堂上，教師往往將大量關注點聚焦在“對現有問題的解決”，卻沒有注重“對數學問題的產生、表達和提出的過程”給予直接的關注，于是出現了學生“上課一聽就懂，一考又不會”的現象，這就是沒有深入學習、沒有大膽質疑造成的結果。學生上課僅滿足“聽懂”“沒有問題了”，這是錯誤的數學學習方式。數學課堂是師生雙方共同成長的平臺，教師應當適時讓學生表達自己對數學問題的理解、看法與疑惑。

（五）堅持發展思維，注重深度學習

要實現深度學習，學生要自主參與各項探究活動，充分展示自己的理解，要敢于暴露自己的思維方式。學生參與不僅體現在基礎知識建構環節，在問題解決的過程中更要激勵學生敢于去激活問題。問題是數學的心臟。高三復習要在發展核心素養的視角下進行問題設計，在解決問題中去產生新的問題。建構主義學習觀認為“學習要放在活動中進行建構，只有在活動過程中不斷進行反省、概括和抽象，重構自己的理解，才能真正理解知識的本質”。

綜上所述，教師在教學中應該循循善誘，引導學生去“數學地”思考、主動質疑，關注課堂中教學問題的“根源”，即教學的“生長點”， 在探究中建構知識體系，在縱向、橫向的聯系中提升思維品質，培養有自我認知、有活力的數學思維。