數學模型：建構生活與數學融合的育人場域

陳世美（福建省莆田市秀嶼區實驗小學）

所謂數學模型，通俗講就是老師引導學生為解決生活中的問題，不斷猜想、實驗并驗證而建立起來的數學性質、公式、定義等。本文結合數學廣角《植樹問題》，淺談在數學課堂中怎樣做到生活問題數學化，數學問題模型化化。

一、基于生活原型，感悟數學模型

數學問題藏在我們生活的每個角落里，在數學課堂上用生活中常見的具體事例進行教學，既可以大大降低學生害怕抽象性知識的程度，又剛好為建構數學模型提供了極好的便利。如《植樹問題》感知模型教學片斷：

師：孩子們，用數學的眼光看看老師伸出的這一只手（張開），你會想到哪個數字？生：數字5。

師：能說一說，這數字5指的是什么？生：指的是5個手指頭。

師：可是老師想到卻是數字4，這數字4藏在老師手上哪里？生：是手上4個間隔。

師：那么3個手指之間有幾個間隔？生：3個手指之間有2個間隔。

師：那么這手指上的間隔是啥意思？生：指的是每兩個相鄰手指頭之間的縫隙。

師：沒錯，這樣的“手指縫”在數學上可以稱作間隔，瞧瞧老師張開的這只手藏著幾個間隔。（老師伸手張開隨意變化手指頭個數，學生一一說出對應的間隔數）今天的數學秘密就藏在這只張開的手，誰知道？

生：間隔數比手指數少1，手指數比間隔數多1。

師：像這存在間隔的問題，稱為“植樹問題”。

在課堂上讓學生體驗生活，如手指間隔這樣的常見的生活原型，每個人身上都有，而且這樣的生活原型處處可見，形象生動，使得學生一下子發現生活原型里面隱藏的規律，進而感知數學知識的形成過程。

二、經歷知識形成過程，構建數學模型

小學數學模型的建模點主要由“數量關系”和“變化規律”兩個方面梳理建模點。在建構數學模型時要引導學生有針對性地進行猜想，然后讓學生動手操作進行驗證。

畫簡單的示意圖是進入高年級的學生常用的探究操作活動，從畫簡單示意圖到依據簡單示意圖進行推理，再到發現規律，形成了解決問題的數學模型，學生也就經歷了實際問題“數學化”和解決問題“模型化”的過程。

如《植樹問題》建構模型教學片斷：

課件出示《植樹問題》例題1，并讓學生讀題獲取數學信息后，

師問：這題中你覺得特別注意哪些信息？（學生匯報關鍵信息后師把一張紙條貼在黑板上）

師：假如把這張紙條當作一條路，“一側”是在哪里？兩端在又是紙條的哪里？（生上板指出一側，又指著紙條的兩端）

師：猜一猜看需要栽樹多少棵？生猜：19棵、20棵、21棵。

師：孩子們是怎樣算的？生匯報師板書算式（略）

師：發現了三種思路都有“100÷5”，它是求什么呢？生：是求這條路有幾個間隔，就是求間隔數。

師：三種思路都有求間隔數，意味著想求棵樹是離不開間隔數，接下來咱們就一起研究驗證下，100這數稍大些，可選用小點的數進行研究，比如10米、15米、20米……然后畫線段示意圖進行驗證。

（生畫線段示意圖驗證后上板貼作品并匯報，師板書算式）

生1：我選用15米長的路驗證（圖略），15÷5求出有3個間隔，兩端都要栽，就要栽3+1=4棵樹，栽21棵樹是對的。生2：我選用35米長的路驗證（圖略），35÷5求出有7個間隔，兩端都要栽，就要栽7+1=8棵樹，所以21棵樹是對的。生3：我選用30米長的路驗證（圖略），30÷5求出有6個間隔，兩端都要栽，就要栽6+1=7棵樹，與前面兩個想法是一樣的。

師：孩子們都通過驗證，發現100米路需要栽樹21棵，那觀察這些算式你可以發現什么？生：棵樹比間隔數多1，間隔數比棵樹少1。

師：孩子們用靈巧的手畫線段示意圖，用雪亮的眼睛觀察算式、用聰明的心思領會規律，這100米的小路平均分成幾個間隔？（20個間隔）栽了幾棵樹？（21棵樹）（師板書：100÷5+1=21（棵））

師：為什么要“加1”？孩子們，能不能具體說明一下？生：比如15米的路，看這圖就可以知道，兩端都栽的話，1棵樹對著1個間隔5米，最后1棵樹沒了間隔，這種情況下間隔數必須加最后1棵才可以。生：比如35米的路，看示意圖便知兩端都栽，每1棵樹對著前面1段5米，第1棵樹沒了5米，必須算上第1棵樹。

師：100米的路可以這樣栽，如果兩端都不栽，需要多少棵樹？生：100÷5－1=19棵樹。

師：那好，根據剛才兩端都栽的方法說明一下你的想法。生：比如30米的路，看示意圖知道，若頭尾不栽，一段5米對著1棵樹，最后1段5米沒有樹，這樣得減掉1個間隔。

師：如果只栽一端，需要多少棵樹？生：100÷5=20棵樹。

師：具體說明一下你的想法。生：比如35米的路，看示意圖就一目了然，若只栽頭則最后1棵樹不要加，若只栽尾則第1棵樹就不用加，這樣棵樹與間隔數剛剛好。

在本節植樹問題課中，通過引導學生用畫線段示意圖研究知識，發現規律，學生體驗到學習的樂趣，建構了正確的數學模型，對新知識掌握更加深刻。

三、變式生活問題，應用數學模型

在小學數學課堂教學中，要讓學生弄懂數學模型，再讓學生依照所建構的數學模型解決實際問題，這樣學生就清楚明白學習數學模型的實際應用。

如《植樹問題》升華模型教學片斷：

出示變式習題：丁丁乘獨戶電梯上樓，電梯從一層上升到二層約需2秒，照這樣的速度，丁丁家在15層，大約需要多少秒？

師：我們學習的植樹問題，是不是只適用于植樹問題？看看剛才的練習，多少時間呢？用植樹問題的知識能解決嗎？生：可以，這15層可以看作15棵樹。

師：說得真好，那間隔數怎么看？生：每上一層需要2秒是看作間隔長，15層就有14個間隔長。

師：這乘電梯是植樹問題中的哪種情況？生：兩端都栽。

當學生遇到乘坐電梯、敲鐘等現實生活情境時，只需稍作引導，學生就會對應植樹問題進行升華，就會聯想到題目中把什么看作樹？又是把什么看作間隔數？從而判斷是植樹問題的哪種情況，這樣學生學到的數學模型不但進行了鞏固也得到了升華，運用數學模型就要讓學生在解決數學問題時，能用所學的數學模型解決相類似的數學問題。