航空齒輪的疲勞壽命分析*

劉 怡，陳玲萍

(湖南工程學院，湖南 湘潭 411100)

0 引言

一般而言，S-N曲線在對數形式下通常表現為三級線性關系，分別是低周疲勞線性區域、高周疲勞線性區域和無限疲勞壽命線性區域。前兩者在S-N曲線上表現為斜線段，后者在S-N曲線上表現為水平線段。

對于某型直升機主減速器分扭構型圓柱齒輪而言，其接觸疲勞壽命特性也可以用S-N曲線來描述。通常而言，其表達形式有如下3種：

1)Stromeyer方程

(1)

式中：S為交變載荷；S∞為材料的疲勞極限；Sa為應力幅；N為疲勞壽命；A和α為疲勞曲線的形狀參數。

2)冪函數形式

(2)

式中：m和C為疲勞曲線的形狀參數。

3)三參數對數形式

lgN=C-mlg(S-S∞)

(3)

在公式(1)-公式(3)中，{A，α，S∞}，{m，C}，{m，C，S∞}均為疲勞曲線的形狀參數，由材料原件或結構件的疲勞試驗獲得。

在以上各類型表達方式之中，本文選用冪函數的對數形式的表達式，即對公式(2)進行對數變換，可以得到：

lgN=lgC-mlgSa

(4)

式(4)可以看成兩元一次的線性關系表達式，因此選用該表達式來描述某型直升機主減速器分扭構型圓柱齒輪的疲勞特性，具有兩方面的優點：一是由于作為兩參數的表達形式，在結構上比三參數的表達形式更為精簡；二是由于作為兩元一次線性方程的表達形式，便于后期針對數據進行擬合處理。

可以看到，一旦確定了齒輪的接觸疲勞S-N曲線，并且得到了某工況下的齒輪接觸應力幅值，我們即可依據該確定的S-N曲線得到該齒輪在該工況下的疲勞壽命。齒輪的接觸疲勞S-N曲線可以通過試驗的方法得到，本文中不加以展開，于是重點工作就轉變成齒輪接觸應力幅值的求解。

傳統的齒輪接觸應力幅值通常取交變循環載荷作用下接觸應力的平均值，與之相比不同的是，本文將齒輪接觸應力幅值用最大接觸應力值來代替。這種替換方法與傳統方法相比較為保守，但對于嚴苛的直升機主減速器的可靠性要求，具有較高的保證。因而更適用于直升機主減速器中齒輪的疲勞壽命分析。

分扭構型圓柱齒輪傳動系統廣泛存在于帶有雙發動機的軍用直升機主減速器中，其目的是為了適應具有高轉速、重載荷和多工況綜合作用下的直升機主減速器的工作環境，提高各部件的可靠性。基于這種特點，有必要對其最重要的二、三級傳動鏈的齒輪(分扭級直齒輪和并車級人字齒輪)進行疲勞強度的校核和疲勞壽命的分析。對于齒輪的疲勞壽命關聯性因素，齒輪的應力分析最能反映齒輪的壽命狀態。有限元法是一種計算復雜力學模型的有效方法，由于ABAQUS適合解決非線性接觸問題，故本文選用ABAQUS對直齒輪傳動系統和人字齒傳動系統進行最大接觸應力的有限元分析，從而給出了一種利用軟件求解最大接觸應力和最大彎曲應力的方法，為后續對齒輪進行疲勞壽命預測提供依據。

1 有限元分析

1.1 原理闡述

根據動量守恒原理(靜態問題)，連續介質在接觸力學的表現可以得到以下控制方程：

σij+bi=ρai

(5)

其中，σij是應力張量，bi是體積力張量，ρ是密度，ai是加速度。由公式(1)可以看出，應力-應變關系和應變-位移關系對于連續介質力學的研究是非常有必要的。針對接觸問題，根據其運動學條件和動力學條件，考慮位移、應力、應變等參數，可以得到以下約束方程：

g(X)=0，X∈Γc

(6)

(7)

(8)

其中，Γc是發生接觸的邊界條件，g(X)是點集X在這兩個幾何體之間的距離，t是接觸力，n是外法線向量。公式(6)表示的是兩接觸實體接觸區域之間不存在縫隙，公式(7)表示的是兩接觸體之間的法向接觸力只能是壓力，公式(8)表示的是切向力與接觸力之間的表達關系。

在有限元方法中，處理接觸問題主要有兩種計算方法：變分等式方法和變分不等式方法。以位移張量u為自變量，則變分不等式可表示為：

B(u，v)+J(u，w)-J(u，u)≥f(w-u)

(9)

其中，B(u，v)、J(u，v)以及f(v)的表達式分別如下所示，

(10)

(11)

(12)

在以上計算公式中，σij為應力張量，εij為應變張量，bi為體積力張量，ti為接觸力張量，Ω為兩接觸體所占體積，Γt為位移施加的邊界，Γc為載荷施加的邊界。并且，u和w要滿足以下兩個條件：

a)u=w=0，位于Γt邊界上；

b)nw-g≤0，位于Γc邊界上。

變分等式的方法一般被廣大的商業軟件包所廣泛采用，其表達式為：

(13)

其中：上標t和0分別表示的是時間變量為t時刻和初始時刻。文中對應力指標的分析，選用ABAQUS有限元分析軟件，計算方法選擇變分等式進行數值解析。

由于有限元法的應用范圍很廣，可以計算更復雜的問題，如沖擊和斷裂等，所以選擇有效的算法來計算接觸分析就顯得尤為重要。對于復雜的問題，預測何時何地發生接觸是非常困難和繁瑣的任務。有時候，兩實體已經發生了接觸。而有時，在當前步驟或者更遠的下一步會發生接觸，所以接觸的狀態不能提前預知。在有限元中，對于接觸的分析可以通過將其描述成為求解接觸區域內的位移場，從而在接觸邊界條件的約束下，將系統勢能達到最小值。邊界條件的約束算法常用的是：拉格朗日乘子法和罰函數法。

拉格朗日乘子法的系統矩陣的表達式為：

(14)

其中，*K為剛度矩陣，tFc為拉格朗日的乘子向量-未知接觸力向量，U為節點位移的向量，Q為在接觸面的約束矩陣，*R為在節點接觸部位的載荷向量，τP為節點外載荷向量。

罰函數法的原理是將接觸非線性問題轉化為材料非線性問題。其表達公式為：

(*K+Kα)U=*R-τPa

(15)

其中，*K是由懲罰參數得到的，而τPa由間隙函數得到的。此時如果兩實體相互接觸，抗力會阻止它們的邊界進行相互滲透。

在拉格朗日乘子法中，拉格朗日乘數為了滿足運動條件而產生一種抗力。而罰函數法中，懲罰參數就像一個彈簧的加入，以此來抵抗兩實體進行接觸。拉格朗日乘子法更準確，但總體剛度矩陣的大小有明顯的增大。收斂的刑罰方法的精度則取決于所選的懲罰參數。如果參數太大，由于系統矩陣是病態的，計算結果可能會偏離正確值。但是如果太小，接觸對可能會出現不合理的滲透。在實際分析中，導致非線性的原因是不同的，因此求解接觸問題時需根據不同的工況進行選擇。本文為了盡可能準確的計算出接觸應力和主應力的分布情況和大小，因此在計算過程中主要采用拉格朗日乘子法。

1.2 分扭級和并車級齒輪幾何建模

對齒輪接觸分析的第一步就是對其進行幾何建模，一般的有限元軟件能建立簡單的幾何模型，由于齒輪結構的幾何形狀較為復雜，建模時參數流程設計較為繁雜，且容易出錯，因此考慮采用常用的三維軟件SolidWorks對分扭級和并車級齒輪進行幾何建模。其中關于SolidWorks開發Geartrax插件能用于精確齒輪的自動設計和齒輪副的設計，能對直齒輪、斜齒輪、錐齒輪、鏈輪蝸輪蝸桿、帶輪進行設計。Geartrax直齒輪生成插件如圖1所示。

對于漸開線圓柱齒輪幾何建模，只需在Geartrax插件中輸入齒輪對的模數、齒數、齒數比、齒寬等就能在SolidWorks中分別生成大小齒輪。并在SolidWorks中將生成的齒輪裝配，圖2為兩級傳動系統單獨拆分出來的示意圖，圖3、圖4分別為分扭直齒輪幾何模型和并車人字齒幾何模型。

在ABAQUS中直接導入已建立好的齒輪模型，并設置相應的材料參數。本文所用分扭級和并車級的齒輪材料均為9310鋼，其基本力學性能如表1所示。

表1 齒輪材料的基本力學性能

對于分扭級傳動系統(直齒輪)可以直接在ABAQUS中通過六線法[1]對單齒進行切分后直接劃分出結構化的網格模型，然后通過陣列得到全齒的模型。由于大輪輪齒較多，為了簡化計算過程，本文對大輪只選用部分齒(兩個大輪各選用9齒)進行計算。推算出的有限元模型見圖5、圖6，有限元單元劃分成8節六面體的網格單元。其中共包含單元總數1035264個，節點總數1182236個。

Litvin等做過很多關于齒輪接觸分析的研究[2-5]，其所用的齒輪接觸分析大多為三齒或者五齒模型，因此上述采用部分齒來代替全齒進行接觸分析的方法是可行的。

在要分析的存在接觸的輪齒之間通過拉格朗日乘子法建立接觸關系。以齒輪的中心點作為模型建立的參考點，并在參考點上對應點位設計新的坐標系。結合齒輪內圈點位的布局情況，構建齒輪內圈相關的耦合約束模型。非完整齒輪的兩側面也應與參考點一起進行耦合。選取各參考點上的坐標系作為相應耦合約束中的坐標系。

1.3 邊界條件的設定

為確保齒輪在初始設定值呈收斂特征，文中對于設計的兩種模型，分成4個分析步驟對齒輪系統的接觸程度進行分析。

(1)分扭級傳動系統的邊界條件

分扭級由一個小輪和兩個大輪組成，在有限元分析時通過給小輪施加轉角，大輪施加扭矩的方式進行分析。

分析步1：在齒面接觸部位存在齒輪間隙處，作為齒輪運轉的初始值，通過對大齒輪施加較小的轉動作用力，而此時小齒輪加固定邊界條件，這樣兩個齒輪才能夠完全接觸，降低齒輪的間隙，實現在初始狀態下齒輪迭代收斂。

分析步2：保持小輪固定約束，釋放大輪參考節點上的旋轉位移約束，給兩個大輪施加初始扭矩，但該扭矩值不宜過大。

分析步3：將小齒輪的邊界條件進行固定，增加大齒輪的負載扭矩力，使其達到設定值的50%。

分析步4：保持大輪的扭矩值和邊界條件不變，釋放小輪的旋轉自由度，將小齒輪沿著旋轉軸繞自身旋轉至設計的角度，從而能夠模擬小齒輪與接觸面的齒合作用，降低大齒輪負載扭矩過高帶動齒輪運轉的工況值[6]。

(2)并車級傳動系統的邊界條件

由于并車級是一個大輪和兩個小輪組成的系統，因此在對其進行有限元分析時載荷和邊界條件的施加方式與分扭級存在一定的差別，各分析步的具體施加方式如下：

分析步1：在齒面接觸部位存在齒輪間隙處，作為齒輪運轉的初始值，通過對小齒輪自由轉度上施加較小的作用力，而此時大齒輪加固定邊界條件。

分析步2：將大齒輪按固定條件進行約束，釋放小齒輪在參考點的旋轉位移約束，并對小齒輪增加初始扭矩值，但扭矩值的選取不能過高。

分析步3：將大齒輪持續固定約束，調整小齒輪的負載扭矩值，使得該扭矩值達到設定的最高額定值。

分析步4：設定小齒輪的扭矩值、邊界條件恒定狀態，調整大齒輪的旋轉自由度，將齒輪沿著模型的軸線部位旋轉，從而能夠模擬大齒輪與接觸面的齒合作用，降低大齒輪負載扭矩過高帶動齒輪運轉的工況值。

2 分析與總結

待ABAQUS完成上述分析后，在ABAQUS后處理中可以直接讀取得到分扭級和并車級的最大接觸應力和最大彎曲應力的變化情況。有限元方法對模型的接觸應力分布，解析后的結果見圖7、圖8。

根據有限元分析結果可知，分扭級的重合度小于2，并車級的重合度小于3。因此，分扭級從第二齒進入嚙合時刻開始分析(在3.11時刻第二次進入嚙合)，且由于分扭級的網格劃分的較密，計算量大，最終只計算到3.7時刻時即終止計算。從上述圖形可知，該計算結果中包含兩對完整的輪齒的接觸過程，已能說明分扭級的齒根彎曲應力和接觸應力的變化情況。并車級從第三齒進入嚙合的時刻開始分析(在3.23時刻第三齒進入嚙合)，由于并車級重合度較高，讓其計算到4.0時刻后再退出有限元計算。

結合上述邊界條件可知，分扭級時小輪施加轉角，相當于小輪作主動輪，輪齒從齒根嚙合到齒頂，所以在單齒嚙合區其彎曲應力逐漸增大。同理，分扭級大輪在單齒嚙合區彎曲應力逐漸減小。圖6的分析結果與上述結論完全一致，由此也可說明整個分析過程是正確的。

由圖7和圖8可知，兩種情況下小輪的齒根彎曲應力要大于大輪，在分扭級大小輪的接觸應力差別不大且兩個大輪的接觸應力和彎曲應力基本一致。并車級大輪的接觸應力大于小輪且兩個小輪的接觸應力和彎曲應力基本一致。齒輪在基礎部位的疲勞值，在文中選取應力達到最大值的疲勞狀態進行計算。

根據圖7和圖8可知分扭級和并車級的最大接觸應力和齒根位置的最大主應力與通過AGMA和HB標準計算給出的結果比較如表2所示。

由表2可知，有限元分析結果和理論結果基本一致。但是并車級的接觸應力與理論值偏差較大。主要是因為該對齒輪存在一定的邊緣接觸(如圖9(b)所示)。

在ABAQUS中可以觀察到兩種情況下不同時刻小輪上的接觸應力和齒根應力的分布情況，分別如圖9、圖10所示。

由圖9(a)可以看出，分扭級齒輪系統在工作時齒寬方向的接觸較為均勻。由圖9(b)可知，并車級齒輪在嚙合過程中靠近輪齒端面和齒頂的地方均存在一定的邊緣接觸。由于邊緣接觸易引起應力集中(圖9(b))，從而大大影響輪齒的接觸疲勞壽命，因此這種現象應盡量避免。在工程中常通過修形的方法來避免邊緣接觸。

通過上述分析可知，本文選用ABAQUS對直齒輪傳動系統和人字齒傳動系統進行最大接觸應力的有限元分析，計算得到了兩種傳動系統在嚙合過程中的最大接觸應力和最大彎曲應力的變化情況。后續可以根據得到的接觸應力和彎曲應力與S-N曲線進行計算從而對齒輪進行疲勞壽命預測。